弦を伝わる波の速さ

次元解析入門　第4章 §4.2　★ 「無次元量が0個」に見えるときは、階数を計算し直す

張力 $F$ で張った、線密度 $\lambda$ の弦を伝わる波の速さ $v$ を考える。量は $v,F,\lambda$ の3つで、基本量も $\mathsf{M},\mathsf{L},\mathsf{T}$ の3つあるので、「$3-3=0$ 個で無次元量が作れない」と考えたくなる。しかし次元行列

$$\begin{array}{c|ccc} & v & F & \lambda\\\hline \mathsf{M} & 0 & 1 & 1\\ \mathsf{L} & 1 & 1 & -1\\ \mathsf{T} & -1 & -2 & 0 \end{array}$$

の行列式は0で、階数は2である（$F$ の列は $v$ の列の2倍と $\lambda$ の列の和に等しい。$F$ と $\lambda v^2$ は同じ次元を持つ）。したがって無次元量は $3-2=1$ 個あり、それは$\Pi=\lambda v^2/F$ である。無次元量が1個なので

$$v = C\sqrt{\frac{F}{\lambda}}$$

となる。速さは張力の平方根に比例し、線密度の平方根に反比例する。弦の波動方程式を立てると $C=1$ になる。バイオリンの弦（$F=50$ N、$\lambda=1$ g/m）なら $v\approx224$ m/s である。

この例は、個数を「基本量の数」でなく「次元行列の階数」で数える理由を示している（第3.2節）。