確率論入門 第1章 §1.2 ★★ 起こりうる結果の集合と、その部分集合としての事象。事象の論理と集合の演算の対応、事象の列の上極限と下極限
標本空間
定義 1.1（標本空間・標本点）
偶然に左右される試行について、起こりうる結果をすべて集めた空でない集合を標本空間 と呼び、Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω ω \omega ω 標本点 （または根元事象）と呼ぶ。
標本空間の選び方は1通りではなく、何を観測したいかで決める。代表的な例を挙げる。
標本空間の例
サイコロを1回振る：Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
サイコロを2回振る：Ω = { 1 , … , 6 } 2 \Omega=\{1,\dots,6\}^2 Ω = { 1 , … , 6 } 2
コインを投げ続ける：表を 1、裏を 0 として Ω = { 0 , 1 } N \Omega=\{0,1\}^{\mathbb{N}} Ω = { 0 , 1 } N
[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] Ω = [ 0 , 1 ] \Omega=[0,1] Ω = [ 0 , 1 ] 放射性原子が崩壊するまでの時間：Ω = [ 0 , ∞ ) \Omega=[0,\infty) Ω = [ 0 , ∞ )
例の3と4は無関係に見えるが、[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x x x
x = ∑ k ω k 2 − k x=\sum_k\omega_k2^{-k} x = k ∑ ω k 2 − k
で書けば、数字の列 ( ω 1 , ω 2 , … ) (\omega_1,\omega_2,\dots) ( ω 1 , ω 2 , … )
事象と集合の演算
「サイコロの目が偶数」という主張は、それが成り立つ標本点の集合 { 2 , 4 , 6 } \{2,4,6\} { 2 , 4 , 6 } 事象 と呼ぶ。事象は Ω \Omega Ω A A A A A A
この同一視のもとで、主張の論理的な組み合わせは集合の演算に対応する。
表 1.1 事象の言葉と集合の演算の対応 事象の言葉 集合の記号 意味 必ず起こる事象（全事象） Ω \Omega Ω どの ω \omega ω 決して起こらない事象（空事象） ∅ \emptyset ∅ どの ω \omega ω A A A A c = Ω ∖ A A^c=\Omega\setminus A A c = Ω ∖ A ω ∉ A \omega\notin A ω ∈ / A A A A B B B A ∪ B A\cup B A ∪ B ω ∈ A \omega\in A ω ∈ A ω ∈ B \omega\in B ω ∈ B A A A B B B A ∩ B A\cap B A ∩ B ω ∈ A \omega\in A ω ∈ A ω ∈ B \omega\in B ω ∈ B A A A B B B A ∖ B = A ∩ B c A\setminus B=A\cap B^c A ∖ B = A ∩ B c A A A B B B A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) 対称差 A A A B B B A ⊂ B A\subset B A ⊂ B A A A B B B A ∩ B = ∅ A\cap B=\emptyset A ∩ B = ∅
可算個の事象 A 1 , A 2 , … A_1,A_2,\dots A 1 , A 2 , …
和 ⋃ n A n \bigcup_n A_n ⋃ n A n A n A_n A n
共通部分 ⋂ n A n \bigcap_n A_n ⋂ n A n A n A_n A n
補集合と和・共通部分を入れ替える規則が De Morgan の法則である。
命題 1.2（De Morgan の法則）
任意の添字集合 Λ \Lambda Λ { A λ } λ ∈ Λ \{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} { A λ } λ ∈ Λ
( ⋃ λ ∈ Λ A λ ) c = ⋂ λ ∈ Λ A λ c , ( ⋂ λ ∈ Λ A λ ) c = ⋃ λ ∈ Λ A λ c . (1.5) \Bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\Bigr)^c=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^c,\qquad
\Bigl(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\Bigr)^c=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^c .\tag{1.5} ( λ ∈ Λ ⋃ A λ ) c = λ ∈ Λ ⋂ A λ c , ( λ ∈ Λ ⋂ A λ ) c = λ ∈ Λ ⋃ A λ c . ( 1.5 )
証明 第1式を示す。標本点 ω \omega ω A λ A_\lambda A λ λ \lambda λ ω ∈ A λ c \omega\in A_\lambda^c ω ∈ A λ c A λ c A_\lambda^c A λ c
指示関数
事象 A A A Ω \Omega Ω
1 A ( ω ) = { 1 ( ω ∈ A ) 0 ( ω ∉ A ) (1.6) \mathbf 1_A(\omega)=\begin{cases}1 & (\omega\in A)\\ 0 & (\omega\notin A)\end{cases}\tag{1.6} 1 A ( ω ) = { 1 0 ( ω ∈ A ) ( ω ∈ / A ) ( 1.6 )
を A A A 指示関数 と呼ぶ。集合の演算は指示関数の算術に置き換わる。
1 A c = 1 − 1 A , 1 A ∩ B = 1 A 1 B , 1 A ∪ B = 1 A + 1 B − 1 A 1 B . (1.7) \mathbf 1_{A^c}=1-\mathbf 1_A,\qquad \mathbf 1_{A\cap B}=\mathbf 1_A\mathbf 1_B,\qquad
\mathbf 1_{A\cup B}=\mathbf 1_A+\mathbf 1_B-\mathbf 1_A\mathbf 1_B .\tag{1.7} 1 A c = 1 − 1 A , 1 A ∩ B = 1 A 1 B , 1 A ∪ B = 1 A + 1 B − 1 A 1 B . ( 1.7 )
第3式は、第1式と第2式を De Morgan の法則 A ∪ B = ( A c ∩ B c ) c A\cup B=(A^c\cap B^c)^c A ∪ B = ( A c ∩ B c ) c
1 A ∪ B = 1 − ( 1 − 1 A ) ( 1 − 1 B ) \mathbf 1_{A\cup B}=1-(1-\mathbf 1_A)(1-\mathbf 1_B) 1 A ∪ B = 1 − ( 1 − 1 A ) ( 1 − 1 B )
となり、これを展開すればよい。指示関数は、第5章で期待値を構成するときの最初の部品になる（E [ 1 A ] = P ( A ) E[\mathbf 1_A]=P(A) E [ 1 A ] = P ( A )
事象の列の上極限と下極限
事象の列 A 1 , A 2 , … A_1,A_2,\dots A 1 , A 2 , …
無限に多くの n n n A n A_n A n
ある番号から先はずっと A n A_n A n
定義 1.3（上極限事象・下極限事象）
事象の列 { A n } \{A_n\} { A n }
lim sup n → ∞ A n = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k , lim inf n → ∞ A n = ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ A k (1.8) \limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k,\qquad
\liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k\tag{1.8} n → ∞ lim sup A n = n = 1 ⋂ ∞ k = n ⋃ ∞ A k , n → ∞ lim inf A n = n = 1 ⋃ ∞ k = n ⋂ ∞ A k ( 1.8 )
をそれぞれ上極限事象 、下極限事象 と呼ぶ。両者が一致するとき、それを lim n A n \lim_n A_n lim n A n
定義の意味を確かめる。
上極限事象。 番号 n n n ω ∈ ⋃ k ≥ n A k \omega\in\bigcup_{k\ge n}A_k ω ∈ ⋃ k ≥ n A k n n n A k A_k A k 下極限事象。 番号 n n n ω ∈ ⋂ k ≥ n A k \omega\in\bigcap_{k\ge n}A_k ω ∈ ⋂ k ≥ n A k n n n
英語では上極限事象を「A n A_n A n A n A_n A n
定義から次の性質が出る。
lim inf n A n ⊂ lim sup n A n \liminf_n A_n\subset\limsup_n A_n lim inf n A n ⊂ lim sup n A n ( lim sup n A n ) c = lim inf n A n c \bigl(\limsup_n A_n\bigr)^c=\liminf_n A_n^c ( lim sup n A n ) c = lim inf n A n c (1.5) を2回使えば得られる。「無限回起こる」の否定は「ある番号から先はずっと起こらない」である。増加列 A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⋯ A_1\subset A_2\subset\cdots A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⋯ lim n A n = ⋃ n A n \lim_nA_n=\bigcup_nA_n lim n A n = ⋃ n A n
減少列 A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⋯ A_1\supset A_2\supset\cdots A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⋯ lim n A n = ⋂ n A n \lim_nA_n=\bigcap_nA_n lim n A n = ⋂ n A n
指示関数で書くと次が成り立つ（右辺は実数列の上極限・下極限）。
1 lim sup n A n = lim sup n 1 A n , 1 lim inf n A n = lim inf n 1 A n . \mathbf 1_{\limsup_nA_n}=\limsup_n\mathbf 1_{A_n},\qquad \mathbf 1_{\liminf_nA_n}=\liminf_n\mathbf 1_{A_n}. 1 lim sup n A n = n lim sup 1 A n , 1 lim inf n A n = n lim inf 1 A n .
最後の性質を上極限の側で確かめる。lim sup n 1 A n ( ω ) = 1 \limsup_n\mathbf 1_{A_n}(\omega)=1 lim sup n 1 A n ( ω ) = 1 1 A n ( ω ) \mathbf 1_{A_n}(\omega) 1 A n ( ω ) ω ∈ lim sup n A n \omega\in\limsup_nA_n ω ∈ lim sup n A n
上極限事象は第4章 §4.4 の Borel–Cantelli の補題で、減少列・増加列の極限は §1.4 の確率の連続性で使う。
例題 1.2 コイン投げの事象を可算個の演算で書く ★★
オリジナル コインを投げ続ける試行の標本空間を Ω = { 0 , 1 } N \Omega=\{0,1\}^{\mathbb{N}} Ω = { 0 , 1 } N
H k = { ω : ω k = 1 } H_k=\{\omega:\omega_k=1\} H k = { ω : ω k = 1 } k k k S n ( ω ) = ω 1 + ⋯ + ω n S_n(\omega)=\omega_1+\cdots+\omega_n S n ( ω ) = ω 1 + ⋯ + ω n n n n
次の事象を、H k H_k H k n n n
表が無限回出る。
ある回から先はずっと表が出る。
表の相対頻度 S n / n S_n/n S n / n 1 / 2 1/2 1/2
解答
定義 1.3 の意味そのものなので
{ 表が無限回 } = lim sup k → ∞ H k = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ H k . \{\text{表が無限回}\}=\limsup_{k\to\infty}H_k=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty H_k . { 表が無限回 } = k → ∞ lim sup H k = n = 1 ⋂ ∞ k = n ⋃ ∞ H k .
{ ある回から先はずっと表 } = lim inf k → ∞ H k = ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ H k . \{\text{ある回から先はずっと表}\}=\liminf_{k\to\infty}H_k=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty H_k . { ある回から先はずっと表 } = k → ∞ lim inf H k = n = 1 ⋃ ∞ k = n ⋂ ∞ H k . x n = S n ( ω ) / n x_n=S_n(\omega)/n x n = S n ( ω ) / n 1 / 2 1/2 1/2
任意の ε > 0 に対し、ある N があって、すべての n ≥ N で ∣ x n − 1 / 2 ∣ < ε . \text{任意の }\varepsilon>0\text{ に対し、ある }N\text{ があって、すべての }n\ge N\text{ で }\left\vert x_n-1/2\right\vert <\varepsilon . 任意の ε > 0 に対し、ある N があって、すべての n ≥ N で ∣ x n − 1/2 ∣ < ε .
ε \varepsilon ε 1 / m 1/m 1/ m
「任意の」を可算個の共通部分に。
「ある」を可算個の和に。
「すべての」を可算個の共通部分に。
すると
{ S n n → 1 2 } = ⋂ m = 1 ∞ ⋃ N = 1 ∞ ⋂ n = N ∞ { ω : ∣ S n ( ω ) n − 1 2 ∣ < 1 m } . (1.9) \Bigl\{\frac{S_n}{n}\to\frac12\Bigr\}=\bigcap_{m=1}^\infty\ \bigcup_{N=1}^\infty\ \bigcap_{n=N}^\infty
\Bigl\{\omega:\Bigl\lvert\frac{S_n(\omega)}{n}-\frac12\Bigr\rvert<\frac1m\Bigr\}.\tag{1.9} { n S n → 2 1 } = m = 1 ⋂ ∞ N = 1 ⋃ ∞ n = N ⋂ ∞ { ω : n S n ( ω ) − 2 1 < m 1 } . ( 1.9 )
右辺の一番内側の集合は、最初の n n n ( ω 1 , … , ω n ) (\omega_1,\dots,\omega_n) ( ω 1 , … , ω n ) 2 n 2^n 2 n H 1 , … , H n H_1,\dots,H_n H 1 , … , H n
3番目の事象は第12章の強法則が「確率 1 で起こる」と主張する事象である。この事象を作るのに必要だったのは補集合・可算個の和・可算個の共通部分だけで、非可算個の演算は1度も使っていない。ε \varepsilon ε 1 / m 1/m 1/ m
確認テスト
オリジナル
1.2-1 事象 A , B , C A,B,C A , B , C A , B , C A,B,C A , B , C
1.2-2 可算個の事象の列について De Morgan の法則 ( ⋂ n A n ) c = ⋃ n A n c \bigl(\bigcap_nA_n\bigr)^c=\bigcup_nA_n^c ( ⋂ n A n ) c = ⋃ n A n c
1.2-3 指示関数について次を示せ。
1 A △ B = ( 1 A − 1 B ) 2 \mathbf 1_{A\triangle B}=(\mathbf 1_A-\mathbf 1_B)^2 1 A △ B = ( 1 A − 1 B ) 2 1 A ∪ B ∪ C = 1 A + 1 B + 1 C − 1 A 1 B − 1 B 1 C − 1 C 1 A + 1 A 1 B 1 C \mathbf 1_{A\cup B\cup C}=\mathbf 1_A+\mathbf 1_B+\mathbf 1_C-\mathbf 1_A\mathbf 1_B-\mathbf 1_B\mathbf 1_C-\mathbf 1_C\mathbf 1_A+\mathbf 1_A\mathbf 1_B\mathbf 1_C 1 A ∪ B ∪ C = 1 A + 1 B + 1 C − 1 A 1 B − 1 B 1 C − 1 C 1 A + 1 A 1 B 1 C
1.2-4 Ω = R \Omega=\mathbb{R} Ω = R A n = [ 0 , 1 + ( − 1 ) n / n ] A_n=\bigl[0,\ 1+(-1)^n/n\bigr] A n = [ 0 , 1 + ( − 1 ) n / n ] lim sup n A n \limsup_nA_n lim sup n A n lim inf n A n \liminf_nA_n lim inf n A n
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
