確率測度と基本公式

1. $A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots=\emptyset$ とおいて (M2) を使い、(M1) から $P(\emptyset)=0$ の項を消す。

2. $A$ とその補集合は交わらず、和は $\Omega$ である。よって 1 から $P(A)+P(A^c)=P(\Omega)=1$。

3. $A\subset B$ なら、$B=A\cup(B\setminus A)$ は交わらない和である。よって $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)$。$P(A)\le1$ は有限なので移項できる。

4. 3 から $P(B)-P(A)=P(B\setminus A)\ge0$。

5. $A\cup B=A\cup(B\setminus(A\cap B))$ は交わらない和である。また $A\cap B\subset B$ なので、1 と 3 から

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

$n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ は自明で、$n=2$ は命題 1.10 の5である。$n$ 個で成り立つとして、$n+1$ 個の場合を示す。$B=\bigcup_{i=1}^nA_i$ とおくと、2つの和の公式から

$$P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\Bigr)=P(B)+P(A_{n+1})-P(B\cap A_{n+1}).$$

分配法則から次が成り立つ。

$$B\cap A_{n+1}=\bigcup_{i=1}^n(A_i\cap A_{n+1}).$$

そこで帰納法の仮定を、$n$ 個の事象 $A_i\cap A_{n+1}$ に使うと

$$P(B\cap A_{n+1})=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}\cap A_{n+1}).$$

$P(B)$ にも帰納法の仮定を使う。そのうえで、$n+1$ 個の事象から $k$ 個を選ぶ共通部分を2種類に分ける。

• $A_{n+1}$ を含まないもの。これは $P(B)$ の展開に現れる、$k$ 個の共通部分の項である。符号は $(-1)^{k+1}$ である。
• $A_{n+1}$ を含むもの。これは、$P(B\cap A_{n+1})$ の展開に現れる $k-1$ 個の共通部分に、この事象を加えたものである。ただし $k=1$ では $P(A_{n+1})$ の項になる。$-P(B\cap A_{n+1})$ の展開での符号は次のとおりで、前者と同じである。

$$-(-1)^{(k-1)+1}=(-1)^{k+1}.$$

したがって全体は、$n+1$ 個の事象についての (1.12) の右辺に一致する。

重なりを取り除いた列を作る。

$$B_1=A_1,\qquad B_n=A_n\setminus\bigl(A_1\cup\cdots\cup A_{n-1}\bigr)\quad(n\ge2).$$

$B_n$ は次の3つの性質を持つ。

1. $B_n\in\mathcal F$（命題 1.5）。
2. 互いに交わらない。$m<n$ なら $B_m\subset A_m$ である。一方 $B_n$ は $A_m$ と交わらない。
3. $\bigcup_nB_n=\bigcup_nA_n$。標本点 $\omega$ が属する最初の $A_n$ を考える。その番号 $n$ について $\omega\in B_n$ となるからである。

$B_n\subset A_n$ なので、(M2) と単調性から

$$P\Bigl(\bigcup_nA_n\Bigr)=P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr)=\sum_nP(B_n)\le\sum_nP(A_n).$$

有限個の場合は $A_{N+1}=A_{N+2}=\cdots=\emptyset$ とおけばよい。

1. $A_0=\emptyset$ として $B_n=A_n\setminus A_{n-1}$ とおく。$B_n$ は互いに交わらず、次を満たす。

$$\bigcup_{k=1}^nB_k=A_n,\qquad \bigcup_{k=1}^\infty B_k=\bigcup_kA_k .$$

(M2) と有限加法性から

$$P\Bigl(\bigcup_kA_k\Bigr)=\sum_{k=1}^\infty P(B_k)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nP(B_k)=\lim_{n\to\infty}P(A_n).$$

2. 補集合の列 $A_n^c$ は増加列なので、1 と De Morgan の法則から

$$1-P\Bigl(\bigcap_nA_n\Bigr)=P\Bigl(\bigcup_nA_n^c\Bigr)=\lim_nP(A_n^c)=1-\lim_nP(A_n).$$

3. 次の2つの列を考える。

• $C_n=\bigcap_{k\ge n}A_k$ は増加列で、$\bigcup_nC_n=\liminf_nA_n$。
• $D_n=\bigcup_{k\ge n}A_k$ は減少列で、$\bigcap_nD_n=\limsup_nA_n$。

$C_n\subset A_n\subset D_n$ と単調性から $P(C_n)\le P(A_n)\le P(D_n)$。1 と 2 から、両端はそれぞれ $P(\liminf_nA_n)$ と $P(\limsup_nA_n)$ に収束する。仮定より、この2つはどちらも $P(\lim_nA_n)$ に等しい。はさみうちで $P(A_n)\to P(\lim_nA_n)$。

1 から 2：定理 1.13 の2の証明は可算加法性と有限加法性だけを使っているので、$\mathcal A$ の上でもそのまま成り立ち、$P(A_n)\to P(\emptyset)=0$。

2 から 1：交わらない $A_k\in\mathcal A$ で $A=\bigcup_kA_k\in\mathcal A$ とする。次の集合 $R_n$ は $\mathcal A$ の要素の減少列で、共通部分は空である。

$$R_n=A\setminus\bigl(A_1\cup\cdots\cup A_n\bigr).$$

有限加法性から

$$P(A)=\sum_{k=1}^nP(A_k)+P(R_n).$$

2 より $P(R_n)\to0$ なので、$P(A)=\sum_{k=1}^\infty P(A_k)$ を得る。