Borel 集合族

確率論入門　第1章 §1.5　★★★ 実数の上の標準的なσ加法族。開集合・区間・半直線のどれから生成しても同じものになる

定義

実数値の観測量（測定値、待ち時間、粒子の位置）の確率を扱うには、$\mathbb{R}$ 上の $\sigma$加法族が必要になる。§1.1 で見たように冪集合 $2^{\mathbb{R}}$ は大きすぎる。一方、区間に確率を割り当てられないと実用にならない。そこで区間や開集合を含む最小の $\sigma$加法族を使う。

名前は É. Borel に由来する。定義は開集合から始めているが、実際の計算では区間や半直線から生成するほうが扱いやすい。次の定理が、どれを使ってもよいことを保証する。

証明

4つの族を順に次のようにおく。

• $\mathcal C_1=\mathcal O$：開集合の全体。
• $\mathcal C_2$：開区間の全体。
• $\mathcal C_3$：左開右閉区間の全体。
• $\mathcal C_4$：閉半直線の全体。

要点の箱の定石により、次の4つの包含を示せば足りる。

$$\mathcal C_{i+1}\subset\sigma(\mathcal C_i)\quad(i=1,2,3),\qquad \mathcal C_1\subset\sigma(\mathcal C_4).$$

実際、これらから次が順に従う。

$$\sigma(\mathcal C_4)\subset\sigma(\mathcal C_3)\subset\sigma(\mathcal C_2)\subset\sigma(\mathcal C_1)\subset\sigma(\mathcal C_4).$$

$\mathcal C_2\subset\sigma(\mathcal C_1)$：開区間は開集合である。

$\mathcal C_3\subset\sigma(\mathcal C_2)$：$(a,b]=\bigcap_{n=1}^\infty(a,\,b+1/n)$ は開区間の可算個の共通部分である。

$\mathcal C_4\subset\sigma(\mathcal C_3)$：$(-\infty,a]=\bigcup_{n=1}^\infty(a-n,\,a]$ は左開右閉区間の可算個の和である。

$\mathcal C_1\subset\sigma(\mathcal C_4)$：まず $\sigma(\mathcal C_4)$ が開区間を含むことを示す。次が成り立つ。

$$(a,b]=(-\infty,b]\setminus(-\infty,a]\in\sigma(\mathcal C_4).$$

よって開区間 $(a,b)=\bigcup_{n}(a,\,b-1/n]$ も $\sigma(\mathcal C_4)$ に入る。和は $b-1/n>a$ となる $n$ についてとる。

次に、任意の開集合 $U$ が、両端が有理数の開区間の可算個の和で書けることを示す。点 $x\in U$ を取る。開集合の定義から、ある $\varepsilon>0$ について $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U$ となる。有理数の稠密性から、次を満たす有理数 $r,s$ を選べる。

$$x-\varepsilon<r<x<s<x+\varepsilon .$$

このとき $x\in(r,s)\subset U$ である。したがって

$$U=\bigcup\bigl\{(r,s):\ r,s\in\mathbb Q,\ r<s,\ (r,s)\subset U\bigr\}.$$

右辺は有理数の組 $(r,s)$ で番号付けられているので可算個の和であり、$U\in\sigma(\mathcal C_4)$ となる。

最後の生成系 $\{(-\infty,a]\}$ は、第3章で分布関数 $F_X(x)=P(X\le x)$ を定義するときに使う。分布関数は $(-\infty,x]$ の確率しか定めていないのに、それで分布全体が決まるのは、この半直線が $\mathcal B(\mathbb{R})$ を生成するからである（その一意性の議論は第2章 §2.3 の Dynkin の定理で完成する）。

Borel 集合の例と、Borel でない集合

$\mathcal B(\mathbb{R})$ は開集合から可算個の操作で作れる集合をすべて含むので、具体的に書ける集合はほとんど Borel 集合である。

• 閉集合は開集合の補集合なので Borel 集合である。とくに1点集合 $\{a\}$ と閉区間は Borel 集合である。
• 可算集合は1点集合の可算個の和なので Borel 集合である。とくに $\mathbb Q$ と、無理数の集合 $\mathbb{R}\setminus\mathbb Q$ は Borel 集合である。
• 半開区間 $[a,b)$ や無限区間はすべて Borel 集合である。
• 連続関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ について、$\{x:f(x)>c\}$ は開集合なので Borel 集合である（第3章で、これを確率変数の可測性として一般化する）。

一方、すべての部分集合が Borel 集合なのではない。§1.1 の Vitali 集合は Borel 集合でない。Borel 集合上の Lebesgue 測度は平行移動で不変なので、もし Vitali 集合が Borel 集合なら (1.4) の矛盾がそのまま起こるからである。

また、$\mathcal B(\mathbb{R})$ の濃度は連続体濃度（$\mathbb{R}$ と同じ大きさ）であることが知られている。これは $\mathbb{R}$ の部分集合全体の濃度より真に小さい（この主張の証明には超限帰納法を使うので、集合論の本に譲る）。

部分集合の上の Borel 集合族

部分集合 $E\subset\mathbb{R}$ を標本空間にすることがある。たとえば $[0,1]$ や $[0,\infty)$ である。そのときは

$$\mathcal B(E)=\{B\cap E:\ B\in\mathcal B(\mathbb{R})\}\tag{1.16}$$

を使う。これは $E$ 上の $\sigma$加法族になる（確認テスト 1.5-4）。この族を跡 $\sigma$加法族と呼ぶ。$E$ 自身が Borel 集合なら、$\mathcal B(E)$ は、その中に含まれる Borel 集合の全体に一致する。

§1.1 で考えた一様分布の確率空間は、$(\,[0,1],\ \mathcal B([0,1]),\ \mathrm{Leb}\,)$（$\mathrm{Leb}$ は長さを延長した Lebesgue 測度）である。

多次元の Borel 集合族

$\mathbb{R}^d$ の場合も、定理 1.17 と同じ議論が成り立つ。$\mathcal B(\mathbb{R}^d)$ は、次の2種類の集合のどちらの全体からも生成される。

$$(a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d],\qquad (-\infty,a_1]\times\cdots\times(-\infty,a_d].$$

開集合を、有理数の頂点を持つ開直方体の可算個の和で書くところだけが変わる。これは第4章で確率ベクトルの同時分布を、多変数の分布関数で決めるときに使う。

確認テスト

オリジナル

1. 1.5-1 1点集合 $\{a\}$ と有理数の集合 $\mathbb Q$ が Borel 集合であることを示せ。定義 1.16 と、$\sigma$加法族の性質を使う。

2. 1.5-2 $\mathcal B(\mathbb{R})=\sigma\bigl(\{(-\infty,q]:q\in\mathbb Q\}\bigr)$ を示せ（端点を有理数に限っても Borel 集合族が生成される）。

3. 1.5-3 $[0,1]$ から次の手順で集合を取り除く。

   • 第1段では、中央の長さ $1/4$ の開区間を取り除く。
   • 2段目以降の第 $n$ 段では、残っている $2^{n-1}$ 個の閉区間を考える。それぞれの中央から、長さ $4^{-n}$ の開区間を取り除く。

すべての段のあとに残る集合 $F$ の、一様分布での確率を求めよ。（各段で、取り除く長さは残っている閉区間の長さより短いので、この手順は最後まで実行できる。）4. 1.5-4 $E\subset\mathbb{R}$ とする。(1.16) の $\mathcal B(E)$ を考える。これが $E$ 上の $\sigma$加法族であることを示せ。