この章のまとめ

確率論入門　第1章 §1.6

確率を数え上げの比として定義する方法は、標本空間が無限になると使えなくなる。連続な現象では1点の確率が 0 になり、極限を含む事象を扱うには可算加法性が必要になる。ところが可算加法性と平行移動不変性を両方満たす長さは、Vitali 集合のような集合には割り当てられない。

そのため確率空間は、次の3つ組 $(\Omega,\mathcal F,P)$ として定義する。

• 標本空間 $\Omega$。
• 補集合と可算個の和で閉じた事象の族 $\mathcal F$（$\sigma$加法族）。
• $\mathcal F$ 上の可算加法的で、全体の値が 1 の関数 $P$（確率測度）。

$\sigma$加法族の要素を書き並べることは、一般にはできない。そこで、指定した集合の族 $\mathcal C$ を含む $\sigma$加法族すべての共通部分を考えた。これが、$\mathcal C$ の生成する最小の族 $\sigma(\mathcal C)$ である。$\sigma(\mathcal C)\subset\mathcal F$ を示すには、$\mathcal C\subset\mathcal F$ を示せば足りる。

確率測度の公理からは、余事象・単調性・包除原理 (1.12)・劣加法性 (1.13)・連続性（定理 1.13）が導ける。連続性は可算加法性と同値であり（命題 1.14）、無限回の試行についての確率を有限回の確率の極限として計算する道具になる。

確率 1 の事象について性質が成り立つことを「ほとんど確実に」と呼び、可算個のほとんど確実な性質は同時にほとんど確実に成り立つ。実数の上では、開集合が生成する Borel 集合族 $\mathcal B(\mathbb{R})$ を使い、これは区間からも半直線 $(-\infty,a]$ からも生成される。

次の第2章では、区間の長さ（あるいは分布関数）だけを与えて、それを $\mathcal B(\mathbb{R})$ 全体の確率測度に延長する方法（Carathéodory の拡張定理）と、その延長がただ1通りであること（Dynkin の定理）を示す。この章で「存在は第2章で示す」と保留した Lebesgue 測度は、そこで構成される。コイン投げの確率は、その Lebesgue 測度の上に第4章 §4.2 で実現する。第3章では Borel 集合族を使って確率変数を定義し、第4章では上極限事象と連続性から Borel–Cantelli の補題を導く。