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σ\sigma加法族と可測空間

2026年10月15日14分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第1章 確率空間
目次
  1. 定義
  2. 生成された 加法族
  3. 確認テスト
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

確率論入門　第1章 §1.3　★★★ 確率を割り当てる事象の族が満たす3条件。生成されたσ加法族は「最小の」σ加法族として定義する

定義

§1.1 の結論は、確率を割り当てる集合を、補集合と可算個の和で閉じた族に制限することだった。これを定義にする。

定義 1.4（σ\sigma加法族・可測空間）

集合 Ω\Omega を固定する。その部分集合の族 F\mathcal F が次の3条件を満たすとき、これをσ\sigma加法族と呼ぶ。別名は σ\sigma集合体、σ\sigma代数である。

  1. (F1) Ω∈F\Omega\in\mathcal F。
  2. (F2) A∈FA\in\mathcal F ならば Ac∈FA^c\in\mathcal F。
  3. (F3) A1,A2,⋯∈FA_1,A_2,\dots\in\mathcal F ならば ⋃n=1∞An∈F\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal F。

組 (Ω,F)(\Omega,\mathcal F) を可測空間と呼び、F\mathcal F の要素を可測集合（確率論では事象）と呼ぶ。

(F3) を有限個の和に弱めたものを有限加法族（集合代数）と呼ぶ。接頭辞の σ\sigma は「可算個の和」を表す慣用の記号である（ドイツ語の Summe の頭文字に由来する）。

3つの条件から、ほかの演算についても閉じていることが導ける。

命題 1.5（σ\sigma加法族の基本性質）

F\mathcal F を (F1)〜(F3) を満たす族とする。

  1. ∅∈F\emptyset\in\mathcal F。
  2. A1,…,An∈FA_1,\dots,A_n\in\mathcal F ならば

⋃k=1nAk∈F,⋂k=1nAk∈F.\bigcup_{k=1}^nA_k\in\mathcal F,\qquad \bigcap_{k=1}^nA_k\in\mathcal F . 3. A1,A2,⋯∈FA_1,A_2,\dots\in\mathcal F ならば ⋂n=1∞An∈F\bigcap_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal F。4. A,B∈FA,B\in\mathcal F ならば

A∖B∈F,A△B∈F.A\setminus B\in\mathcal F,\qquad A\triangle B\in\mathcal F . 5. A1,A2,⋯∈FA_1,A_2,\dots\in\mathcal F ならば

lim sup⁡nAn∈F,lim inf⁡nAn∈F.\limsup_nA_n\in\mathcal F,\qquad \liminf_nA_n\in\mathcal F .

証明

  1. (F1) と (F2) から ∅=Ωc∈F\emptyset=\Omega^c\in\mathcal F。

  2. An+1=An+2=⋯=∅A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots=\emptyset とおいて (F3) を使えば、有限個の和が F\mathcal F に入る。共通部分は De Morgan の法則で ⋂kAk=(⋃kAkc)c\bigcap_kA_k=\bigl(\bigcup_kA_k^c\bigr)^c と書け、(F2) と和の場合から F\mathcal F に入る。

  3. 同様に ⋂nAn=(⋃nAnc)c\bigcap_nA_n=\bigl(\bigcup_nA_n^c\bigr)^c に (F2)・(F3)・(F2) を順に使う。

  4. A∖B=A∩BcA\setminus B=A\cap B^c は 2 から F\mathcal F に入る。A△B=(A∖B)∪(B∖A)A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) も、それと 2 から入る。

  5. 各 nn で ⋃k≥nAk∈F\bigcup_{k\ge n}A_k\in\mathcal F が (F3) から従う。その可算個の共通部分は 3 から F\mathcal F に入る。下極限も同様である。

σ\sigma加法族の例

  1. {∅,Ω}\{\emptyset,\Omega\}：最小の σ\sigma加法族。自明な σ\sigma加法族とも呼ぶ。何も観測しない状態を表す。
  2. 2Ω2^\Omega：最大の σ\sigma加法族。Ω\Omega のすべての部分集合の族（冪集合）である。Ω\Omega が可算なら、通常これを使う。
  3. A⊂ΩA\subset\Omega を1つ固定する。{∅,A,Ac,Ω}\{\emptyset,A,A^c,\Omega\} は「AA が起こったかどうか」だけを観測できる状態を表す。
  4. Ω\Omega が非可算のとき、「可算集合、または補集合が可算な集合」の全体（確認テスト 1.3-3）。

有限加法族では足りない例

Ω=N\Omega=\mathbb{N} で、「有限集合、または補集合が有限な集合」の全体 A\mathcal A は有限加法族である。しかし偶数全体 {2,4,6,… }=⋃n{2n}\{2,4,6,\dots\}=\bigcup_{n}\{2n\} は1点集合の可算個の和なのに、有限でも補集合が有限でもないので A\mathcal A に入らない。有限加法族は (F3) を満たさないので、極限の操作で作った事象が族から外れることがある。

σ\sigma加法族は「どの事象について情報を得られるか」を表すと読める。例3の {∅,A,Ac,Ω}\{\emptyset,A,A^c,\Omega\} は「AA が起こったかどうかだけを知っている」状態に対応する。σ\sigma加法族を大きくすることは、情報が増えることに対応する。この読み方は第14章でフィルトレーション（時刻とともに増える σ\sigma加法族の列）として使う。

生成された σ\sigma加法族

実際に使う σ\sigma加法族は、要素を全部書き並べて与えることがほとんどない。代わりに「この集合たちは事象であってほしい」という集合の族 C\mathcal C を指定し、それを含む最小の σ\sigma加法族を使う。その存在を保証するのが次の補題である。

補題 1.6（σ\sigma加法族の共通部分）

添字集合 Λ\Lambda は空でないとする。σ\sigma加法族の族 {Fλ}λ∈Λ\{\mathcal F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} を考える。どれも Ω\Omega 上の族とする。

このとき共通部分 ⋂λ∈ΛFλ\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\mathcal F_\lambda も σ\sigma加法族である。ここで共通部分とは、すべての Fλ\mathcal F_\lambda に属する集合の全体のことである。

証明

G=⋂λFλ\mathcal G=\bigcap_\lambda\mathcal F_\lambda とおき、3条件を確かめる。

  1. (F1) どの Fλ\mathcal F_\lambda も Ω\Omega を含む。よって Ω∈G\Omega\in\mathcal G。
  2. (F2) A∈GA\in\mathcal G とする。AA はどの Fλ\mathcal F_\lambda にも属する。各 Fλ\mathcal F_\lambda は (F2) を満たすので、AcA^c もそれぞれに属する。よって Ac∈GA^c\in\mathcal G。
  3. (F3) An∈GA_n\in\mathcal G（n=1,2,…n=1,2,\dots）とする。すべての AnA_n はどの Fλ\mathcal F_\lambda にも属する。各 Fλ\mathcal F_\lambda は (F3) を満たすので、⋃nAn\bigcup_nA_n もそれぞれに属する。よって ⋃nAn∈G\bigcup_nA_n\in\mathcal G。

定義 1.7（生成された σ\sigma加法族）

C⊂2Ω\mathcal C\subset 2^\Omega を部分集合の族とする。C\mathcal C を含む σ\sigma加法族すべての共通部分

σ(C)=⋂{F: F は Ω 上の σ加法族で C⊂F}(1.10)\sigma(\mathcal C)=\bigcap\{\mathcal F:\ \mathcal F\text{ は }\Omega\text{ 上の }\sigma\text{加法族で }\mathcal C\subset\mathcal F\}\tag{1.10}

を、C\mathcal C が生成する σ\sigma加法族と呼ぶ。

冪集合 2Ω2^\Omega は C\mathcal C を含む。しかも冪集合は σ\sigma加法族なので、右辺は空でない族についての共通部分である。よって補題 1.6 から、σ(C)\sigma(\mathcal C) は σ\sigma加法族になる。作り方から、σ(C)\sigma(\mathcal C) は次の2つの性質を持つ。

  • C⊂σ(C)\mathcal C\subset\sigma(\mathcal C)。
  • 任意の σ\sigma加法族 F\mathcal F について、次が成り立つ。

C⊂F ⟹ σ(C)⊂F.\mathcal C\subset\mathcal F\ \Longrightarrow\ \sigma(\mathcal C)\subset\mathcal F .

つまり σ(C)\sigma(\mathcal C) は、C\mathcal C を含むものの中で最小である。2番目の性質は証明でよく使う形をしているので、要点として書いておく。

生成された σ\sigma加法族についての定石

示したい包含を σ(C)⊂F\sigma(\mathcal C)\subset\mathcal F とする。それには次の2つを示せば足りる。

  1. F\mathcal F が σ\sigma加法族である。
  2. C⊂F\mathcal C\subset\mathcal F。

σ(C)\sigma(\mathcal C) の要素を1つずつ調べる必要はない。とくに次の2つが成り立てば、σ(C1)=σ(C2)\sigma(\mathcal C_1)=\sigma(\mathcal C_2) である。

C1⊂σ(C2),C2⊂σ(C1).\mathcal C_1\subset\sigma(\mathcal C_2),\qquad \mathcal C_2\subset\sigma(\mathcal C_1).

一方、σ(C)\sigma(\mathcal C) の要素を具体的に書き並べるのは一般には難しい。C\mathcal C から補集合と可算個の和を「1回」取っただけでは閉じず、それを繰り返しても可算回では閉じないことが知られている。ただし Ω\Omega が有限個の集合に分割される場合は、要素を完全に書ける。

命題 1.8（有限分割が生成する σ\sigma加法族）

集合 E1,…,EkE_1,\dots,E_k は空でなく、互いに交わらないとする。さらに、それらの和は Ω\Omega に等しいとする。このとき

σ({E1,…,Ek})={⋃i∈IEi: I⊂{1,…,k}}(1.11)\sigma(\{E_1,\dots,E_k\})=\Bigl\{\bigcup_{i\in I}E_i:\ I\subset\{1,\dots,k\}\Bigr\}\tag{1.11}

であり、要素の個数は 2k2^k である（I=∅I=\emptyset は空集合に対応する）。

証明

右辺を G\mathcal G とおく。

  1. G\mathcal G は σ\sigma加法族である。 I={1,…,k}I=\{1,\dots,k\} とすれば Ω∈G\Omega\in\mathcal G となる。⋃i∈IEi\bigcup_{i\in I}E_i の補集合は、分割であることから ⋃i∉IEi\bigcup_{i\notin I}E_i となり、やはり右辺の形をしている。G\mathcal G の要素を可算個取って和をとると、添字集合の和 ⋃nIn\bigcup_n I_n に対応する要素になる。
  2. σ({Ei})⊂G\sigma(\{E_i\})\subset\mathcal G。 Ei∈GE_i\in\mathcal G は明らかなので、要点の箱の定石から従う。
  3. G⊂σ({Ei})\mathcal G\subset\sigma(\{E_i\})。 {Ei}\{E_i\} を含む σ\sigma加法族は有限個の和で閉じている。したがって G\mathcal G のすべての要素を含む。
  4. 要素の個数は 2k2^k。 EiE_i は空でなく互いに交わらないので、異なる II からは異なる集合が得られる。よって要素の個数は、{1,…,k}\{1,\dots,k\} の部分集合の個数 2k2^k に等しい。

分割の各集合 EiE_i を、この σ\sigma加法族の原子と呼ぶ。原子より細かい情報は、この σ\sigma加法族からは得られない。

図

図 1.1　2つの事象 A,BA,B が作る4つの原子。σ({A,B})\sigma(\{A,B\}) の要素は、これらの原子のいくつかの和である。

例題 1.3　2つの事象が生成する σ\sigma加法族 ★★★

オリジナル事象 A,B⊂ΩA,B\subset\Omega を考える。次の4つの集合はどれも空でないとする。

A∩B,A∩Bc,Ac∩B,Ac∩Bc.A\cap B,\qquad A\cap B^c,\qquad A^c\cap B,\qquad A^c\cap B^c .

  1. σ({A,B})\sigma(\{A,B\}) が、図 1.1 の4つの原子が生成する σ\sigma加法族に等しいことを示せ。
  2. σ({A,B})\sigma(\{A,B\}) の要素の個数を求めよ。また、次の3つの集合がそれぞれどの原子の和かを答えよ。

A∪B,A△B,(A∩B)∪(Ac∩Bc).A\cup B,\qquad A\triangle B,\qquad (A\cap B)\cup(A^c\cap B^c).

解答
  1. 4つの原子を次のようにおく。

E1=A∩B,E2=A∩Bc,E3=Ac∩B,E4=Ac∩Bc.E_1=A\cap B,\qquad E_2=A\cap B^c,\qquad E_3=A^c\cap B,\qquad E_4=A^c\cap B^c .

さらに C1={A,B}\mathcal C_1=\{A,B\}、C2={E1,E2,E3,E4}\mathcal C_2=\{E_1,E_2,E_3,E_4\} とする。要点の箱の定石を両方向に使う。

  • 各 EiE_i は、A,BA,B とその補集合の共通部分である。よって命題 1.5 により σ(C1)\sigma(\mathcal C_1) に入り、C2⊂σ(C1)\mathcal C_2\subset\sigma(\mathcal C_1) となる。
  • A=E1∪E2A=E_1\cup E_2 と B=E1∪E3B=E_1\cup E_3 が成り立つ。よって C1⊂σ(C2)\mathcal C_1\subset\sigma(\mathcal C_2)。

したがって σ(C1)=σ(C2)\sigma(\mathcal C_1)=\sigma(\mathcal C_2) である。2. E1,…,E4E_1,\dots,E_4 は空でなく互いに交わらず、和は Ω\Omega である。実際、どの標本点も、AA に入るか入らないか、BB に入るか入らないかの4通りのどれか1つに当てはまる。命題 1.8 から、要素の個数は 24=162^4=16 である。各集合は

A∪B=E1∪E2∪E3,A△B=E2∪E3,(A∩B)∪(Ac∩Bc)=E1∪E4A\cup B=E_1\cup E_2\cup E_3,\qquad A\triangle B=E_2\cup E_3,\qquad (A\cap B)\cup(A^c\cap B^c)=E_1\cup E_4

と書ける。最後の集合は「AA と BB が同時に起こるか、同時に起こらないか」を表す。これは A△BA\triangle B の補集合である。

一般に nn 個の事象が「どの組み合わせの共通部分も空でない」位置にあるとする。このとき原子は 2n2^n 個ある。生成される σ\sigma加法族の要素は 22n2^{2^n} 個になる。

確認テスト

オリジナル

  1. 1.3-1 Ω={1,2,3}\Omega=\{1,2,3\} とする。次の族が σ\sigma加法族かどうかを判定せよ。

    1. {∅,{1},{2,3},{1,2,3}}\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}
    2. {∅,{1},{2},{1,2,3}}\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2,3\}\}

  2. 1.3-2 Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} とする。事象 A={1,2}A=\{1,2\} と B={2,3}B=\{2,3\} を考える。σ({A,B})\sigma(\{A,B\}) の原子をすべて求め、要素の個数を答えよ。また、{1,3}\{1,3\} が σ({A,B})\sigma(\{A,B\}) に入るかどうかを答えよ。{4}\{4\} についても同じことを答えよ。

  3. 1.3-3 Ω=R\Omega=\mathbb{R} とし、F\mathcal F を「可算集合、または補集合が可算な集合」の全体とする（有限集合も可算集合に含める）。F\mathcal F が σ\sigma加法族であることを示せ。また、区間 (0,1)(0,1) が F\mathcal F に入らないことを示せ。

  4. 1.3-4 Ω={1,2,3}\Omega=\{1,2,3\} とする。2つの族 F1=σ({{1}})\mathcal F_1=\sigma(\{\{1\}\}) と F2=σ({{2}})\mathcal F_2=\sigma(\{\{2\}\}) を考える。F1∪F2\mathcal F_1\cup\mathcal F_2 が σ\sigma加法族でないことを示せ。また、σ(F1∪F2)\sigma(\mathcal F_1\cup\mathcal F_2) を求めよ。

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