Riemann 積分・和との関係と変数変換公式

4段階の構成をそのままなぞる。

指示関数：$B\in\mathcal B(\mathbb{R})$ に対し $g=\mathbf 1_B$ とする。このとき $g(X)=\mathbf 1_{\{X\in B\}}$ である。左辺は $P(X\in B)$、右辺は $P_X(B)$ で、分布の定義から等しい。

単関数：$g=\sum_ia_i\mathbf 1_{B_i}$ なら、$g(X)=\sum_ia_i\mathbf 1_{\{X\in B_i\}}$ も単関数である。両辺の線形性から等式が成り立つ。

非負：非負の $g$ の標準近似列 $\phi_n\uparrow g$ をとる（(5.6) の確率変数をこの関数に替えたもの。$\mathbb{R}$ 上の単関数）。$\phi_n(X)$ は標本空間の上の単関数で、$\phi_n(X)\uparrow g(X)$ である。単調収束定理を両辺に使えば

$$E[g(X)]=\lim_nE[\phi_n(X)]=\lim_n\int\phi_n\,\mathrm{d} P_X=\int g\,\mathrm{d} P_X.$$

一般：$\left\vert g\right\vert$ に (i) を使うと $E[\left\vert g(X)\right\vert ]=\int\left\vert g\right\vert \,\mathrm{d} P_X$ となる。よって可積分性は同値である。$(g(X))^\pm=g^\pm(X)$ に (i) を使って差をとれば (5.9) を得る。

(i) $S=\{x_1,x_2,\dots\}$ と置くと $P_X(S^c)=0$ である。命題 5.8 (ii)（$P_X$ について）から $\int g\,\mathrm{d} P_X=\int g\mathbf 1_S\,\mathrm{d} P_X$ である。

$g\ge0$ のとき、$g\mathbf 1_S=\sum_ig(x_i)\mathbf 1_{\{x_i\}}$ は非負の項の級数である。系 5.10（$P_X$ について）から

$$\int g\mathbf 1_S\,\mathrm{d} P_X=\sum_ig(x_i)P_X(\{x_i\})=\sum_ig(x_i)p(x_i).$$

一般の $g$ は $g^\pm$ に分けて差をとる。

(ii) 示すべき式は $\int g\,\mathrm{d} P_X=\int gf\,\mathrm{d} x$ である。指示関数 $g=\mathbf 1_B$ では、左辺は $P_X(B)$ である。右辺は $\int_Bf\,\mathrm{d} x$ であり、これは密度の定義そのものである。

単関数へは線形性で広がる。非負の関数へは、標準近似列 $\phi_n\uparrow g$ に対して $\phi_nf\uparrow gf$ となることと、単調収束定理（両辺に1回ずつ）で広がる。一般の $g$ は $g^\pm$ に分ける。

$[a,b]$ を $2^n$ 等分する。小区間 $I_{n,k}$ の上での関数の下限と上限を、$m_{n,k},M_{n,k}$ とする。これで階段関数

$$\varphi_n=\sum_km_{n,k}\mathbf 1_{I_{n,k}},\qquad\psi_n=\sum_kM_{n,k}\mathbf 1_{I_{n,k}}$$

を作る。小区間の端点は可算個で Lebesgue 測度 0 なので、端点での値の決め方は積分に関係しない。

• $\varphi_n,\psi_n$ は単関数である。その Lebesgue 積分は、Darboux の下和 $L_n$ と上和 $U_n$ に等しい。
• 分割を細かくすると、下限は大きく、上限は小さくなる。よって $\varphi_n\uparrow$、$\psi_n\downarrow$ である。また $\varphi_n\le f\le\psi_n$ である。
• Riemann 積分可能性から、下和と上和 $L_n,U_n$ はどちらも Riemann 積分 $R$ に収束する。2等分を繰り返す分割でも、分割の幅が 0 に近づけば Darboux 和は $R$ に収束するからである。

$\varphi=\lim\varphi_n,\ \psi=\lim\psi_n$ と置くと、$\varphi\le f\le\psi$ である。$\left\vert \varphi_n\right\vert ,\left\vert \psi_n\right\vert$ は $f$ の上界で抑えられるので、有界収束定理から

$$\int\varphi\,\mathrm{d} x=\lim L_n=R,\qquad\int\psi\,\mathrm{d} x=\lim U_n=R.$$

すると $\psi-\varphi\ge0$ かつ $\int(\psi-\varphi)\,\mathrm{d} x=0$ である。命題 5.8 (i) から $\psi=\varphi$ a.e. で、$f=\varphi$ a.e. である。命題 5.8 (iii) から $\int f\,\mathrm{d} x=\int\varphi\,\mathrm{d} x=R$ を得る。

$X(\omega)$ は、0 から $X(\omega)$ までの長さとして

$$X(\omega)=\int_0^\infty\mathbf 1\{t<X(\omega)\}\,\mathrm{d} t$$

と書ける。関数 $(t,\omega)\mapsto\mathbf 1\{t<X(\omega)\}$ は可測である。実際、$t<X(\omega)$ は「$t<q<X(\omega)$ を満たす有理数がある」と同値である。したがって

$$\{(t,\omega):t<X(\omega)\}=\bigcup_{q\in\mathbb Q}\bigl([0,q)\times\{X>q\}\bigr)$$

は長方形の可算和である。Tonelli の定理（$S=\Omega$、$T=[0,\infty)$）から

$$E[X]=\int_\Omega\int_0^\infty\mathbf 1\{t<X(\omega)\}\,\mathrm{d} t\,P(\mathrm{d}\omega)=\int_0^\infty P(X>t)\,\mathrm{d} t$$

となる。整数値の場合は、$t\in(k-1,k]$ で $P(X>t)=P(X\ge k)$ なので積分が和になる（直接の証明は確認テスト 5.3-4）。$E[X^p]$ の式は、(5.13) を $X^p$ に使って得る。$P(X^p>s)=P(X>s^{1/p})$ とし、$s=t^p$ と置換すればよい。