分散・共分散と独立な確率変数の積の期待値

$E[Y^2]=0$ なら $Y=0$ a.s. である。命題 5.8 (iii) から $E[XY]=0$ なので成り立つ。$E[Y^2]>0$ とすると、任意の実数 $t$ について

$$0\le E\bigl[(X-tY)^2\bigr]=E[X^2]-2tE[XY]+t^2E[Y^2]$$

である。$t=E[XY]/E[Y^2]$ を代入すると、

$$0\le E[X^2]-\frac{(E[XY])^2}{E[Y^2]}$$

となり、不等式を得る。$X'=X-E[X]$、$Y'=Y-E[Y]$ に使えば、共分散の不等式になる。等号は、上の値で $E[(X'-tY')^2]=0$ のとき、すなわち $X'=tY'$ a.s. のときに限る。

(i) まず単関数の場合を考える。次の形の2つの単関数をとる。

$$s=\sum_ia_i\mathbf 1_{A_i}\quad(A_i\in\sigma(X)),\qquad t=\sum_jb_j\mathbf 1_{B_j}\quad(B_j\in\sigma(Y))$$

$\sigma(X)$ と $\sigma(Y)$ の独立性から

$$E[st]=\sum_{i,j}a_ib_j\,P(A_i\cap B_j)=\sum_{i,j}a_ib_j\,P(A_i)P(B_j)=E[s]\,E[t]$$

である。1つ目の等号は、$st=\sum_{i,j}a_ib_j\mathbf 1_{A_i\cap B_j}$ と補題 5.2 による。

次に標準近似列 $s_n=\phi_n(X)$、$t_n=\phi_n(Y)$ をとる。$\{s_n=c\}=\{X\in\phi_n^{-1}(c)\}\in\sigma(X)$ である。よって $s_n$ は $\sigma(X)$ の事象の指示関数で書ける。

$t_n$ も同様である。よって $E[s_nt_n]=E[s_n]E[t_n]$ である。

$s_n,t_n$ は非負の増加列なので、積も非負の増加列で $s_nt_n\uparrow XY$ である。単調収束定理を3回使って

$$E[XY]=\lim E[s_nt_n]=\lim E[s_n]\lim E[t_n]=E[X]E[Y]$$

を得る。$E[X]=0$ なら $X=0$ a.s. なので、積も 0 a.s. である。したがって $0\cdot\infty=0$ の約束と整合する。

(ii) $\left\vert X\right\vert ,\left\vert Y\right\vert$ は独立である（第4章 §4.2 の「独立な確率変数の関数は独立」）。

(i) から $E[\left\vert XY\right\vert ]=E[\left\vert X\right\vert ]E[\left\vert Y\right\vert ]<\infty$ である。正負の部分 $X^\pm$ は $X$ だけの関数である。相手の側も同様である。よって $X^\pm$ と $Y^\pm$ の組はどれも独立である。展開して (i) を4回使うと

$$\begin{aligned}E[XY]&=E\bigl[(X^+-X^-)(Y^+-Y^-)\bigr]\\ &=E[X^+]E[Y^+]-E[X^+]E[Y^-]-E[X^-]E[Y^+]+E[X^-]E[Y^-]=E[X]E[Y]\end{aligned}$$

となる。

(i) $g(X)$ と $h(Y)$ は独立なので定理 5.21 を使う。

(ii) $X_1\cdots X_{n-1}$ と $X_n$ は、第4章 §4.2 のまとめ方の補題により独立である。番号についての帰納法で定理 5.21 を繰り返す。

(iii) (5.18) と定理 5.21 から、$i\ne j$ なら $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0$ である。よって (5.19) の交差項が消える。