この章のまとめ

確率論入門　第14章 §14.6

確率過程は、同じ確率空間の上に時刻で番号をつけて並べた確率変数の族であり、1つの標本点が1本の見本路を選ぶ。過程の法則は有限次元分布の族で決まる。

両立条件を満たす有限次元分布の族からは、Kolmogorov の拡張定理によって過程を作ることができる。ただし、そうして作った σ加法族には可算個の時刻で決まる事象しか入らないので、見本路の連続性のような性質は別に作り込む必要があった。

時刻 $t$ までの情報をフィルトレーション $(\mathcal F_t)$ で表し、未来を見ずに決められる時刻を停止時刻と定めた。集合への到達時刻は停止時刻だが、最後にいた時刻はそうではない。

独立増分過程は、重ならない区間の増え方が独立な過程で、時刻 $s$ 以後の増分の全体がその時刻までの情報と独立になる。Poisson 過程は増分が Poisson 分布に従う計数過程で、Brown 運動は増分が正規分布に従う連続な過程であり、どちらも共分散が $\min\{s,t\}$ に比例する。Brown 運動の見本路は連続だが、2次変動が $t$ に等しいことから全変動は無限大になり、決まった時刻で確率 1 で微分できない。

2つの過程は、定常な独立増分を持つ Lévy 過程という枠にまとまり、その時刻 1 の分布は無限分解可能である。

Poisson 過程については、到着の間隔が独立な指数分布、$n$ 回目の到着時刻がガンマ分布 $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ に従うことを示した。証明では、小さな区間の確率の積から同時密度を求めた。回数 $N_t=n$ が分かったもとでは、到着時刻は $(0,t)$ 上の独立な一様な点を並べたものと同じで、強度は答えに残らない。

到着に独立な印をつけて分けると独立な Poisson 過程に分かれ（間引き）、独立な Poisson 過程を合わせると強度の和の Poisson 過程になる（重ね合わせ）。

マルコフ連鎖は、現在の状態のもとで未来が過去と切り離される離散時間の過程で、経路の確率は初期分布と遷移確率の積で書ける。$n$ ステップの遷移確率は遷移確率行列の $n$ 乗で、Chapman–Kolmogorov 方程式は行列の積の結合法則にあたる。マルコフ性は、決まった時刻だけでなく停止時刻でも成り立つ（強マルコフ性）。

最後に、状態のあいだの到達可能性で状態空間をクラスに分け、出られない閉集合と、戻る歩数の最大公約数である周期を定めた。周期はクラスで共通で、有限状態の既約で非周期的な連鎖では、十分大きな $n$ で $P^n$ の全成分が正になる。

第15章では、この章の道具を使ってマルコフ連鎖の長時間の振る舞いを調べる。強マルコフ性から状態への戻りの回数の分布が出て、再帰と過渡の判定につながる。

閉じていないクラスの状態は過渡的であり、有限状態の閉じたクラスでは定常分布が存在する。例題 14.6 で見た $P^n\to\Pi$ という収束は、既約で非周期的という2つの条件のもとで一般の連鎖に広がる。周期を持つ連鎖でこの収束が起きない理由は、§14.5 の巡回的な分解で説明される。