量子統計積分と多重対数関数

統計熱力学入門　第5章 §5.4　★★ $\dfrac{N}{V}\lambda_T^{3}=\operatorname{Li}_{3/2}^{\mp}(z)$、$p\lambda_T^3/ k_{\mathrm{B}} T=\operatorname{Li}_{5/2}^{\mp}(z)$。高温展開・BEC で便利な標準形。

以上で物理量は $\int Df$ 型の積分にまとまった。高温や絶対零度のような特定の極限では、以降の各章のようにこの積分を直接評価すればよい。ここでは、$z$ の全域で使える標準形を一度だけ用意しておく（必須ではないが、第6章と第9章で便利になる）。$N$ の積分(5.7)で $D=C\varepsilon^{1/2}$ を代入し $x=\beta\varepsilon$ と無次元化すると（第6章の(6.3)と同じ操作）、前因子と無次元積分に分かれて

$$N=\frac{2}{\sqrt\pi}\,\frac{V}{\lambda_T^3}\int_0^\infty\frac{x^{1/2}}{z^{-1}\mathrm{e}^x\pm1}\mathop{}\!\mathrm{d} x$$

となる。この無次元積分は、分母を等比級数$\dfrac{1}{z^{-1}\mathrm{e}^x\pm1}=\sum_{l\ge1}(\mp1)^{l-1}z^l\mathrm{e}^{-lx}$ に開いて項別積分すれば（$\int_0^\infty x^{\nu-1}\mathrm{e}^{-lx}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\Gamma(\nu)/l^\nu$）、次の級数に等しい：

$$\operatorname{Li}_\nu^{\mp}(z)\equiv\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_0^\infty\frac{x^{\nu-1}}{z^{-1}\mathrm{e}^x\pm1}\mathop{}\!\mathrm{d} x =\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(\pm1)^{l-1}z^l}{l^{\nu}} =z\pm\frac{z^2}{2^{\nu}}+\frac{z^3}{3^{\nu}}\pm\cdots\tag{5.14}$$

（上が Fermi、下が Bose。Bose 側は $g_\nu(z)$、Fermi 側は $f_\nu(z)$ とも書かれる）。$\operatorname{Li}_\nu^{\mp}$ はこの積分＝この級数に付けた名前にすぎず、特殊関数論を持ち込んでいるわけではない。$\Gamma(3/2)=\tfrac{\sqrt\pi}2$ を使えば上の $N$ は $\frac{2}{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt\pi}2\operatorname{Li}_{3/2}^{\mp} =\operatorname{Li}_{3/2}^{\mp}$ とまとまり、圧力も $pV=\tfrac23E$（(5.10)）と $E$ の同様の無次元化（$\varepsilon^{3/2}$ 積分、$\Gamma(5/2)=\tfrac32\Gamma(3/2)$）から、

$$\dfrac{N}{V}\lambda_T^{3}=\operatorname{Li}_{3/2}^{\mp}(z),\qquad \frac{p\lambda_T^3}{ k_{\mathrm{B}} T}=\operatorname{Li}_{5/2}^{\mp}(z)\tag{5.15}$$

が得られる（$g=1$）。$N$ が $\operatorname{Li}_{3/2}$、$pV$ が $\operatorname{Li}_{5/2}$ と次数が $1$ だけ違うのは、$pV$（と $E$）の被積分関数が $N$ のそれより $\varepsilon$ を 1 つ余分に含む（$\varepsilon^{3/2}$ 対 $\varepsilon^{1/2}$）ことの反映にすぎない。(5.15)は、高温展開を $z$ の低次で切ること（第6章）にも、Bose–Einstein 凝縮で $\operatorname{Li}_{3/2}^{-}(1)=\zeta(3/2)$ の有限性を使うこと（第9章）にも便利な形である。