Poisson 括弧：交換子の古典的な祖先

量子力学入門　第7部 第2章 §7.2.4　★ 交換子の古典対応（背景）

任意の物理量 $f(x,p)$ の時間変化は、正準方程式 (7.2.2) を使うと

$$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial f}{\partial x}\dot x+\frac{\partial f}{\partial p}\dot p =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial x}$$

とまとまる。右辺の組合せをPoisson 括弧

$$\{f,g\}:=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial x}$$

と呼べば、力学の全法則は

$$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\},\qquad \{x,p\}=1$$

の2行に圧縮される。この形は量子力学の Heisenberg 方程式 $\frac{\mathrm{d}\hat A}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat A\right]$、正準交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ と完全に同型であり、Dirac の対応原理

$$\{f,g\}\quad\longleftrightarrow\quad\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat f,\,\hat g\right]$$

が量子化の処方箋（正準量子化）そのものである。「$H$ と Poisson 括弧が消える量は保存する」（古典）と「$\hat H$ と交換する演算子は保存する」（量子；第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の一般定理）は同じ定理の2つの顔である。