正準変換：位相空間の座標を選ぶ自由

量子力学入門　第7部 第2章 §7.2.5　★ 位相空間の座標選び（背景）

動機：良い座標は問題を解いてしまう。

力学の問題が難しいか易しいかは、しばしば座標の選び方で決まる。中心力は極座標で分離し、2体問題は重心・相対座標で分離する。Lagrange 形式でも座標変換 $x\to Q(x)$（点変換）は自由だが、Hamilton 形式にはそれを大きく超える自由がある：位相空間 $(x,p)$ を座標と運動量を混ぜて

$$X=X(x,p),\qquad P=P(x,p)$$

と取り替えてよいのである。狙いはこうだ——新しい変数で見たとき Hamiltonian が簡単になる（究極的には循環座標だけになる・定数になる）ように変換を選べば、運動方程式は解く前に解けている。この「うまい取り替え」の理論が正準変換であり、その極限形が次節の Hamilton–Jacobi 理論である。

定義と判定条件。

変換 $(x,p)\to(X,P)$ が正準変換であるとは、新変数でも力学が同じ形——ある新 Hamiltonian $K(X,P)$ に対する正準方程式

$$\dot X=\frac{\partial K}{\partial P},\qquad \dot P=-\frac{\partial K}{\partial X}$$

——で書けることをいう。判定は Poisson 括弧で与えられる：

$$\boxed{\ \{X,P\}:=\frac{\partial X}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial p}-\frac{\partial X}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial x}=1\ } \qquad\Longleftrightarrow\qquad\text{正準変換}$$

（このとき任意の $f,g$ の Poisson 括弧が新旧どちらの変数で計算しても同じ値になり、$\dot f=\{f,H\}$ の構造がそっくり保たれる）。1自由度では $\{X,P\}$ は変換の Jacobian そのものだから、この条件は位相空間の面積を保つ変換と言い換えられる——Bohr–Sommerfeld 量子化（第5章）で「面積」が主役になることの伏線である。実際、正準方程式に従う時間発展そのものが面積を保存する（Liouville の定理；時間発展は $H$ 自身が生成する正準変換の連続列である）。

簡単な例で感触をつかむ。(i) 点変換 $X=\lambda x$ は、$P=p/\lambda$ とセットで正準になる（$\{X,P\}=\lambda\cdot\frac1\lambda=1$）——座標を伸ばしたら運動量は同じ倍率で縮める。(ii) もっと過激に、$X=p,\ P=-x$（座標と運動量の入れ替え）も正準である。「何が座標で何が運動量か」は力学の構造からは決まらない——位相空間には本来、座標と運動量の区別すらないのである。

母関数：正準変換の作り方。

正準変換を場当たり的に探す代わりに、1つの関数から系統的に生成する方法がある。新旧の力学が同じ運動を選ぶには、どちらの変分原理

$$\delta\!\int\bigl(p\dot x-H\bigr)\mathrm{d} t=0,\qquad \delta\!\int\bigl(P\dot X-K\bigr)\mathrm{d} t=0$$

も成り立てばよく、それには2つの被積分関数がある関数 $F$ の全微分 $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t}$ の差しかもたなければ十分である（全微分の積分は端点だけで決まり、端点固定の変分に効かないから）。$F$ を旧座標と新座標の関数 $F(x,X,t)$ に取ると

$$p\dot x-H=P\dot X-K+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t} =P\dot X-K+\frac{\partial F}{\partial x}\dot x+\frac{\partial F}{\partial X}\dot X+\frac{\partial F}{\partial t}$$

で、$\dot x,\dot X$ の係数を比べて

$$\boxed{\ p=\frac{\partial F}{\partial x},\qquad P=-\frac{\partial F}{\partial X},\qquad K=H+\frac{\partial F}{\partial t}\ }$$

——関数 $F$ を1つ決めるごとに正準変換が1つ生成される（$F$ を母関数という。独立変数の取り方で $F(x,X)$ 型のほか $F(x,P)$ 型などの変種があり、相互に Legendre 変換で移り合う）。

量子論との接続：正準変換の量子版はユニタリ変換。

この節の構造は、量子力学の読者には既視感があるはずだ。対応は次のとおりである。

• 保存すべき構造：古典の正準変換は $\{X,P\}=1$ を保つ変換だった。量子力学でその役を担うのがユニタリ変換 $\hat X=\hat U^\dagger\hat x\hat U,\ \hat P=\hat U^\dagger\hat p\hat U$ である：相似変換は交換子を保つから $\left[\hat X,\,\hat P\right]=\hat U^\dagger\left[\hat x,\,\hat p\right]\hat U=\mathrm{i}\hbar$——Dirac の辞書 $\{,\}\leftrightarrow\left[\cdot,\,\cdot\right]/\mathrm{i}\hbar$ がそのまま「正準変換 $\leftrightarrow$ ユニタリ変換」に持ち上がる。上の例 (i)（スケール変換 $x\to\lambda x,\ p\to p/\lambda$）はスクイージング（拡大縮小）のユニタリに、例 (ii)（$X=p,\ P=-x$）はFourier 変換に対応する——「波動関数を運動量表示に書き換える」操作は、量子版の正準変換なのである。
• 生成子：恒等変換に近い微小正準変換は、1つの関数 $G(x,p)$ から $\delta f=\varepsilon\{f,G\}$ の形で生成される（例：$G=p$ が並進、$G=H$ が時間発展そのもの）。量子側の対応物はまさに $\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon\hat G/\hbar}$——第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の「対称性 $\Leftrightarrow$ 保存量」の定理で使った生成子の概念は、古典側では「微小正準変換の母」だったのである。
• 面積保存の行き先：正準変換・時間発展が位相空間の面積を保つ（Liouville）ことの量子版が、ユニタリ性＝確率の保存である。さらに Bohr–Sommerfeld の描像（面積 $h$ につき1状態；第5章）と合わせると、「時間発展やパラメータの断熱変化で状態の数が保存される」ことの半古典的な理由も面積保存に帰着する。
• 作用・角変数の量子版：上の例題の $H=\omega J$ と、調和振動子の代数的解法 $\hat H=\hbar\omega(\hat N+\tfrac12)$（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第0章§0.1）を見比べてほしい。対応は $J\leftrightarrow\hbar(N+\tfrac12)$——生成消滅演算子 $\hat a,\hat a^\dagger$ による対角化は、作用・角変数への正準変換の量子版である（実際 $\hat a\propto\sqrt{m\omega}\hat x+\mathrm{i}\hat p/\sqrt{m\omega}$ は古典側の複素座標 $\sqrt{J}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ に対応する）。調和振動子で Bohr–Sommerfeld が厳密になった（第5章例題5.1）のは、この系では「量子版の作用・角変数変換」が厳密に遂行できることの反映と読める。