超高密度符号化と量子テレポーテーション

量子情報入門　第1章 §1.4

もつれの実用例として、二つの基本的なプロトコルを述べる。

超高密度符号化

AliceがBobに2古典ビット送りたい。事前にベル状態 $\ket{\Phi^+}$ を共有していれば、Aliceは自分の量子ビットに $I, X, Z, XZ$ の4通りの操作のいずれかを施すことで状態を4つのベル状態のいずれかに変え、それをBobに送るだけでよい。Bobは自分の量子ビットと合わせてベル基底で測定すれば、Aliceの選択を完全に識別できる。すなわち1量子ビットの送信+事前に共有したもつれ = 2古典ビットの伝送となる。

量子テレポーテーション

逆に、Aliceが未知の量子状態 $\ket\psi = \alpha\ket 0+\beta\ket 1$ をBobに送りたい。ベル状態を共有しておけば、Aliceが $\ket\psi$ と自分の側のもつれ量子ビットをベル基底で測定し(結果は2古典ビット)、それをBobに古典通信すれば、Bobはその2ビットに応じて $\{I, X, Z, XZ\}$ のいずれかを自分の量子ビットに施すことで $\ket\psi$ を復元できる。

代数的には、3量子ビット状態を

$$\ket\psi\otimes \ket{\Phi^+} = \frac12\sum_{ij\in\{0,1\}^2} \ket{\text{ベル}_{ij}}_{12}\otimes (X^i Z^j\ket\psi)_3$$

と書き直すことで直ちに理解できる。1・2番目をベル基底で測って結果 $(i,j)$ を得れば、3番目は $X^i Z^j\ket\psi$ になり、Bobは $Z^j X^i$ を作用させれば $\ket\psi$ を得る。