光の曲がりと Shapiro 遅延

相対論入門　第12章 §12.3　★★★ 光の軌道の式から曲がりの角 $4GM/(c^2b)$ を厳密な計量で出し直し、同じ計算で太陽の近くを通る電波の遅れを求める

光の軌道の式

光の世界線は光的測地線で、固有時の代わりにアフィン径数 $\lambda$ を使う（第9章 §9.4）。光の4元波数は $k^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda$ である。時刻と方位角の Killing ベクトルから作った

$$k_0=\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)c\,\frac{d t}{d \lambda},\qquad -k_\varphi=r^2\frac{d \varphi}{d \lambda}$$

が光の進路に沿って一定である（赤道面 $\theta=\pi/2$ で考える）。その比

$$b\equiv\frac{-k_\varphi}{k_0}\tag{12.24}$$

は長さの次元をもつ。無限遠では計量は平らで、$-k_\varphi/k_0$ は光の進路の直線と中心との距離（衝突径数）になる。光が中心に最も近づく面積半径を $r_0$ とすると、2つは次の式で結ばれる（確認テスト 12.3-1）。

$$b^2=\frac{r_0^2}{1-r_{\mathrm s}/r_0}$$

光の進路の条件 $g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu=0$ は、粒子の規格化の式で $c^2$ を 0 に置き換えたものである。(12.16) と同じ計算で

$$\Bigl(\frac{d r}{d \lambda}\Bigr)^2=k_0^2-\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)\frac{k_\varphi^2}{r^2}$$

を得る。$u=1/r$ として

$$\frac{d r}{d \lambda}=k_\varphi\,\frac{d u}{d \varphi}$$

を使い、$k_\varphi^2$ で割ると

$$\Bigl(\frac{d u}{d \varphi}\Bigr)^2=\frac{1}{b^2}-u^2\bigl(1-r_{\mathrm s}u\bigr)\tag{12.25}$$

であり、これを $\varphi$ で微分して $2\,\mathrm{d} u/\mathrm{d}\varphi$ で割ると

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}+u=\frac{3r_{\mathrm s}}{2}u^2=\frac{3GM}{c^2}u^2\tag{12.26}$$

となる。粒子の軌道の式 (12.20) で $L\to\infty$（光の速さに近づく極限）とした形である。

光の曲がり

$r_{\mathrm s}=0$ なら、(12.26) の解は $u_0=\sin\varphi/b$ である。これは直線 $r\sin\varphi=b$、すなわち中心からの距離が $b$ で横軸に平行な直線である。方位角 0 が入射の方角、$\pi$ が出ていく方角になる。

$r_{\mathrm s}$ の1次の補正 $u_1$ は

$$u_1''+u_1=\frac{3r_{\mathrm s}}{2b^2}\sin^2\varphi=\frac{3r_{\mathrm s}}{4b^2}\bigl(1-\cos2\varphi\bigr)$$

に従う。右辺の2つの項に特解を作る。

• 定数項の特解は $3r_{\mathrm s}/(4b^2)$ である。
• $\cos2\varphi$ の項の特解は $A\cos2\varphi$ とする。$-3A=-3r_{\mathrm s}/(4b^2)$ から $A=r_{\mathrm s}/(4b^2)$ である。

$\cos2\varphi=2\cos^2\varphi-1$ を使って

$$u=\frac{\sin\varphi}{b}+\frac{r_{\mathrm s}}{4b^2}\bigl(3+\cos2\varphi\bigr)=\frac{\sin\varphi}{b}+\frac{r_{\mathrm s}}{2b^2}\bigl(1+\cos^2\varphi\bigr)\tag{12.27}$$

を得る。光が無限遠にあるのは $u=0$ のときである。入射側では $\varphi=-\delta_1$（$\delta_1$ は小さな正の角）として、1次まで

$$0=-\frac{\delta_1}{b}+\frac{r_{\mathrm s}}{2b^2}\cdot2\quad\Longrightarrow\quad\delta_1=\frac{r_{\mathrm s}}{b}$$

である。出ていく側も対称で、$\varphi=\pi+\delta_1$ で $u=0$ になる。直線なら入射と出射の方角の差は $\pi$ である。実際の差は $\pi+2\delta_1$ で、光は全体として $2\delta_1$ だけ中心の側へ曲がる。

第9章 §9.4 では、弱い場の計量

$$g_{00}=1+\frac{2\Phi}{c^2},\qquad g_{ij}=-\Bigl(1-\frac{2\Psi}{c^2}\Bigr)\delta_{ij}$$

から曲がりの角

$$\delta=\frac{2GM}{c^2b}\Bigl(1+\frac{\Psi}{\Phi}\Bigr)$$

を導いた。(12.28) は、これで $\Psi=\Phi$ とした値と一致する。Schwarzschild 計量の空間部分 $-\mathrm{d} r^2/(1-r_{\mathrm s}/r)-r^2(\dots)$ はこの形をしていないが、面積半径 $r$ の代わりに

$$r=\rho\Bigl(1+\frac{r_{\mathrm s}}{4\rho}\Bigr)^2\tag{12.29}$$

で定まる $\rho$ を使うと、計量は

$$\mathrm{d} s^2=\biggl(\frac{1-r_{\mathrm s}/(4\rho)}{1+r_{\mathrm s}/(4\rho)}\biggr)^2c^2\mathrm{d} t^2-\Bigl(1+\frac{r_{\mathrm s}}{4\rho}\Bigr)^4\bigl(\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\theta^2+\rho^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\bigr)$$

となり、空間部分が平らな計量の定数倍の形（等方座標）になる（確認テスト 12.3-3）。$r_{\mathrm s}/\rho$ の1次まで展開すると

$$g_{00}\simeq1-\frac{r_{\mathrm s}}{\rho},\qquad g_{ij}\simeq-\Bigl(1+\frac{r_{\mathrm s}}{\rho}\Bigr)\delta_{ij}$$

なので、$\Phi=\Psi=-GM/\rho$ である。こうして第9章の計算の前提 $\Psi=\Phi$ が Einstein 方程式の解から確かめられた。曲がりの半分は $g_{00}$（第7章 §7.4 の素朴な評価 $2GM/(c^2b)$）、残りの半分は空間の計量のずれから生じる。

Shapiro 遅延

光の曲がりは光の進路の空間的な形の変化であった。同じ光の測地線から、光が太陽の近くを通るのに要する時間の延びも計算できる。この延びを Shapiro 遅延と呼ぶ。

光の進路の条件と2つの保存量から、座標の時刻 $t$ で測った動径方向の速さを求める。

$$\frac{d r}{d t}=\frac{\mathrm{d} r/\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d} t/\mathrm{d}\lambda},\qquad \frac{d t}{d \lambda}=\frac{k_0}{c(1-r_{\mathrm s}/r)}$$

なので、

$$\Bigl(\frac{d r}{d t}\Bigr)^2=\frac{c^2(1-r_{\mathrm s}/r)^2}{k_0^2}\Bigl[k_0^2-\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)\frac{k_\varphi^2}{r^2}\Bigr] =c^2\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)^2\Bigl[1-\frac{b^2}{r^2}\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)\Bigr]$$

である。衝突径数と最も近い点の関係を入れると、最も近い点から面積半径 $r$ の点まで光が進む座標時間は

$$t(r,r_0)=\frac1c\int_{r_0}^{r}\frac{\mathrm{d} r'}{(1-r_{\mathrm s}/r')\sqrt{1-\dfrac{r_0^2}{r'^2}\,\dfrac{1-r_{\mathrm s}/r'}{1-r_{\mathrm s}/r_0}}}\tag{12.30}$$

である。被積分関数を $r_{\mathrm s}$ の1次まで展開する。根号の中は

$$1-\frac{r_0^2}{r'^2}\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r'}+\frac{r_{\mathrm s}}{r_0}\Bigr) =\Bigl(1-\frac{r_0^2}{r'^2}\Bigr)\Bigl[1-\frac{r_{\mathrm s}r_0^2}{r'^2}\,\frac{1/r_0-1/r'}{1-r_0^2/r'^2}\Bigr] =\Bigl(1-\frac{r_0^2}{r'^2}\Bigr)\Bigl[1-\frac{r_{\mathrm s}r_0}{r'(r'+r_0)}\Bigr]$$

となる。最後は $(1/r_0-1/r')/(1-r_0^2/r'^2)=r'/(r_0(r'+r_0))$ を使った。したがって

$$\frac{c\,\mathrm{d} t}{\mathrm{d} r'}\simeq\frac{r'}{\sqrt{r'^2-r_0^2}}\Bigl[1+\frac{r_{\mathrm s}}{r'}+\frac{r_{\mathrm s}r_0}{2r'(r'+r_0)}\Bigr]$$

である。3つの項を積分すると、それぞれ

$$\sqrt{r^2-r_0^2},\qquad r_{\mathrm s}\ln\frac{r+\sqrt{r^2-r_0^2}}{r_0},\qquad \frac{r_{\mathrm s}}2\sqrt{\frac{r-r_0}{r+r_0}}$$

になる（最後の1つは微分して確かめられる）。

証明

(12.31) の導出は上で済んだ。往復の遅れは、最も近い点から地球までと、最も近い点から惑星までの遅れの和の2倍である。$r\gg r_0$ では

$$\ln\frac{r+\sqrt{r^2-r_0^2}}{r_0}\simeq\ln\frac{2r}{r_0},\qquad \sqrt{\frac{r-r_0}{r+r_0}}\simeq1$$

なので、片道の遅れは

$$\frac{r_{\mathrm s}}{c}\Bigl[\ln\frac{2r_{\mathrm E}}{r_0}+\ln\frac{2r_{\mathrm P}}{r_0}+1\Bigr]=\frac{r_{\mathrm s}}{c}\Bigl[\ln\frac{4r_{\mathrm E}r_{\mathrm P}}{r_0^2}+1\Bigr]$$

である。これを2倍する。

遅れの主要部分は対数の項で、$r_0$ が小さいほど大きくなる。電波が太陽の縁をかすめるとき（$r_0\approx R_\odot$）、遅れは $250\,\mu\mathrm s$ 程度になる（例題 12.4）。

「遅れ」は、面積半径の差を光速で割った値と比べた量である。比較の基準の長さをどう定義するかで、定数の部分（$[\ \ ]$ の中の $+1$）は変わる。観測で確かめるのは、惑星が太陽の向こう側を通過するあいだに $r_0$ が変わることで生じる遅れの時間変化で、これは座標の選び方によらない。

この効果は 1964 年に Shapiro が提案し、金星・水星へのレーダーの往復時間で確かめられた。2002 年には、土星へ向かう探査機 Cassini との電波の往復時間の測定で、一般相対論の値と $10^{-5}$ 程度の精度で一致することが示された。

確認テスト

オリジナル

1. 12.3-1 光が最も近づく点 $r_0$ では $\mathrm{d} r/\mathrm{d}\lambda=0$ である。このことから $b^2=r_0^2/(1-r_{\mathrm s}/r_0)$ を導き、$b>r_0$ であることを示せ。太陽の縁をかすめる光で $b-r_0$ はいくらか。
2. 12.3-2 木星の縁をかすめる光の曲がりの角を秒角で求めよ。木星の値と光速は次のとおりとする。

$$GM=1.267\times10^{17}\,\mathrm{m^3/s^2},\qquad \text{半径 }7.149\times10^7\,\mathrm m,\qquad c=2.998\times10^8\,\mathrm{m/s}$$ 3. 12.3-3 (12.29) の変換で、Schwarzschild 計量 (12.13) が等方座標の形になることを示せ。4. 12.3-4 地球から金星（$r_{\mathrm P}=1.082\times10^{11}\,\mathrm m$）へのレーダーの電波が太陽の縁をかすめるとき、(12.32) の対数の項による往復の遅れを求めよ。ほかの値は例題 12.4 と同じとする。