重力赤方偏移の厳密な式

相対論入門　第12章 §12.4　★★ 静止した観測者の振動数の比 $\sqrt{g_{00}}$ の比を Schwarzschild 計量で厳密に書き、弱い場の近似が破れる中性子星まで使えるようにする

静止した観測者の時計と振動数

第9章 §9.4 では、静的な時空で、静止した2人の観測者が測る光の角振動数が

$$\omega\sqrt{g_{00}}=\text{一定}\tag{12.33}$$

を満たすことを、Killing ベクトル $\partial_0$ の保存量 $k_0$ から導いた。この式は弱い場の近似を使っていない。Schwarzschild 計量の $g_{00}=1-r_{\mathrm s}/r$ を入れると、次の厳密な式を得る。

同じ比は、静止した時計の進み方の比としても読める。面積半径 $r$ に静止した時計の固有時は、$\mathrm{d} r=\mathrm{d}\theta=\mathrm{d}\varphi=0$ を計量に入れて

$$\mathrm{d}\tau=\sqrt{1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}}\;\mathrm{d} t\tag{12.36}$$

である。計量は時刻によらないので、光の山が送り手から受け手に届くまでの座標時間は、どの山についても同じである。したがって、送り手が座標時間 $\Delta t$ のあいだに出した山の数は、受け手が同じ長さの座標時間のあいだに受ける山の数に等しい。両者の固有時は (12.36) で異なるので、山の数を各自の固有時で割った振動数の比が (12.34) になる（確認テスト 12.4-4）。

$r_{\mathrm s}/r\ll1$ では、(12.34) を1次まで展開して

$$\frac{\omega_2}{\omega_1}\simeq1-\frac{r_{\mathrm s}}{2r_1}+\frac{r_{\mathrm s}}{2r_2}=1+\frac{\Phi(r_1)-\Phi(r_2)}{c^2}\qquad\Bigl(\Phi=-\frac{GM}{r}\Bigr)$$

となり、第7章 §7.3 の $\Delta f/f=-\Delta\Phi/c^2$ に戻る。地上の Pound–Rebka の実験や GPS の補正（第7章）は、この1次の範囲で十分であった。

強い場での赤方偏移

(12.35) の赤方偏移は、星の半径が $r_{\mathrm s}$ に近づくと無限大になる。$z$ を $r_{\mathrm s}/R$ の関数として描くと、弱い場の近似との差は図 12.4 のようになる。白色矮星では $r_{\mathrm s}/R\sim10^{-4}$ で近似は十分によいが、中性子星では $r_{\mathrm s}/R\sim0.3$ で、近似は3割ほど小さな値を与える（例題 12.5）。$r\to r_{\mathrm s}$ で赤方偏移が発散することは、$r=r_{\mathrm s}$ の面から外へ届く光が無いこと（事象の地平面）の最初の手がかりで、第13章 §13.1 で詳しく扱う。

動く時計

円軌道を回る時計の進みも、Schwarzschild 計量から厳密に求められる。円軌道では

$$\mathrm{d} r=0,\qquad \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \frac{d \varphi}{d t}=\Omega$$

なので、計量 (12.13) を $c^2\mathrm{d} t^2$ で割って

$$\Bigl(\frac{d \tau}{d t}\Bigr)^2=1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}-\frac{r^2\Omega^2}{c^2}$$

である。測地線の円軌道では (12.19) により $r^2\Omega^2=GM/r$ なので、

$$\frac{d \tau}{d t}=\sqrt{1-\frac{3GM}{c^2r}}=\sqrt{1-\frac{3r_{\mathrm s}}{2r}}\tag{12.37}$$

を得る。重力による遅れ $r_{\mathrm s}/r$ と速さによる遅れ $GM/(c^2r)$ が、近似なしにこの形でまとまる。第7章 §7.3 の $\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t\simeq1+\Phi/c^2-u^2/(2c^2)$ はこの式の1次の展開である。

確認テスト

オリジナル

1. 12.4-1 重力赤方偏移の式 (12.34) が、弱い場の近似なしに成り立つ理由を、第9章のどの性質を使ったかを挙げて答えよ。
2. 12.4-2 太陽の表面から出て無限遠で受ける光の赤方偏移 $z$ を求め、Doppler 効果の速さ $cz$ に直せ。数値は次の値とする。

$$r_{\mathrm s}=2.953\times10^3\,\mathrm m,\qquad R_\odot=6.957\times10^8\,\mathrm m,\qquad c=2.998\times10^8\,\mathrm{m/s}$$ 3. 12.4-3 半径 $R$ の星のまわりの円軌道を回る時計の進みが、星の表面に静止した時計の進みとちょうど等しくなる軌道半径を、(12.37) を使って近似なしに求めよ。4. 12.4-4 静止した観測者が測る振動数の比が、それぞれの位置に静止した時計の進みの比の逆数になることを、計量が $t$ によらないことから示せ。また、赤方偏移が $z=1$ になる発射位置の面積半径を $r_{\mathrm s}$ で表せ。