この章のまとめ

相対論入門　第12章 §12.5

この章では、真空の Einstein 方程式 $R_{\mu\nu}=0$ を、球対称で静的な計量の形 (12.5) に絞って解いた。Ricci テンソルの3つの成分の式から、$\alpha+\beta=0$ と $(r\mathrm{e}^{2\alpha})'=1$ が出た。残る1つの積分定数は、Newton 極限との比較で $r_{\mathrm s}=2GM/c^2$ と決まった。

こうして得た Schwarzschild 計量 (12.13) は、Birkhoff の定理により、静的という仮定を外しても球対称な真空解としてただ1つである。計量の $r$ は球面の面積で定めた半径で、半径の向きの固有の距離は $r$ の差より長い。太陽でも $r_{\mathrm s}/R_\odot\approx4\times10^{-6}$ で、太陽系では一般相対論の効果はこの大きさの補正として現れる。

軌道の計算では、時刻と方位角の並進の Killing ベクトルから作った2つの保存量を使い、粒子の動径の運動を有効ポテンシャル (12.17) の中の1次元の運動にした。Newton 力学に $-GML^2/(c^2r^3)$ の項が加わると軌道は閉じなくなり、近日点は1周あたり $6\pi GM/(c^2a(1-e^2))$ ずつ進む。水星ではこれが1世紀あたり $43''$ で、観測で説明できずに残っていた値に一致した。

光の軌道の式 (12.26) からは曲がりの角 $4GM/(c^2b)$ が出た。等方座標に直すと $\Phi=\Psi$ が確かめられ、第9章で弱い場から求めた結果と一致する。同じ光の測地線から、太陽の近くを通る電波の遅れ（Shapiro 遅延）も求めた。

最後に、第9章の $\omega\sqrt{g_{00}}=$ 一定に Schwarzschild 計量の $g_{00}$ を入れて、重力赤方偏移の厳密な式を作った。円軌道の時計の進み $\sqrt{1-3GM/(c^2r)}$ と合わせて、中性子星のような強い場まで使える形にした。

第13章では、この計量をそのまま $r_{\mathrm s}$ の近くまで延ばす。$r=r_{\mathrm s}$ の特異性が座標の取り方によることを Eddington–Finkelstein 座標で示す。さらに次の2つを求める。

• 有効ポテンシャル (12.17) の極大と極小が重なる最内安定円軌道 $r=6GM/c^2$
• 光の円軌道 $r=3GM/c^2$（光子球）

宇宙論を扱う第14章では、球対称の代わりに一様等方という対称性を仮定して、この章と同じ手順で計量の形を絞り込む。