確認テストの解答

相対論入門　第12章 §12.6

1. 12.1-1 時刻と $r$ が一定の面では $\mathrm{d} t=\mathrm{d} r=0$ である。符号を正にした2次元の面の計量は

$$r^2\bigl(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\bigr)$$

で、行列式は $r^4\sin^2\theta$ である。したがって面積要素は

$$\sqrt{r^4\sin^2\theta}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$$

である。面積は

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=r^2\cdot2\cdot2\pi=4\pi r^2$$

である。赤道 $\theta=\pi/2$ の円では $\mathrm{d}\theta=0$ である。長さの要素は $r\,\mathrm{d}\varphi$ である。円周は

$$\int_0^{2\pi}r\,\mathrm{d}\varphi=2\pi r$$

である。2. 12.1-2 $f\equiv\mathrm{e}^{2\alpha}=1-r_{\mathrm s}/r$ と置くと $\alpha=\frac12\ln f$ で、

$$\alpha'=\frac{f'}{2f},\qquad \alpha''=\frac{f''}{2f}-\frac{f'^2}{2f^2},\qquad \beta'=-\alpha'$$

である。(12.8) に入れると

$$R_{rr}=-\alpha''-\alpha'^2-\alpha'^2-\frac{2\alpha'}{r} =-\frac{f''}{2f}+\frac{f'^2}{2f^2}-\frac{2f'^2}{4f^2}-\frac{f'}{rf} =-\frac{1}{2f}\Bigl(f''+\frac{2f'}{r}\Bigr)$$

となる。$f'=r_{\mathrm s}/r^2$、$f''=-2r_{\mathrm s}/r^3$ なので

$$f''+\frac{2f'}{r}=-\frac{2r_{\mathrm s}}{r^3}+\frac{2r_{\mathrm s}}{r^3}=0$$

で、$R_{rr}=0$ である。3. 12.1-3 $x=r/r_{\mathrm s}$ と置くと、不定積分は

$$r_{\mathrm s}\Bigl[\sqrt{x(x-1)}+\ln\bigl(\sqrt x+\sqrt{x-1}\bigr)\Bigr]$$

である（定数 $r_{\mathrm s}\ln\sqrt{r_{\mathrm s}}$ の差は除く）。微分すると

$$\frac{d }{d x}\sqrt{x^2-x}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x(x-1)}},\qquad \frac{d }{d x}\ln\bigl(\sqrt x+\sqrt{x-1}\bigr)=\frac{\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{\sqrt x+\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2\sqrt{x(x-1)}}$$

で、和は $\dfrac{2x}{2\sqrt{x(x-1)}}=\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-1/x}}$ となり、被積分関数に戻る。$x=2$ から $3$ までは

$$\Bigl[\sqrt{x(x-1)}+\ln\bigl(\sqrt x+\sqrt{x-1}\bigr)\Bigr]_2^3=\sqrt6-\sqrt2+\ln\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt2+1}=1.0353+0.2648=1.300$$

なので、固有の距離は $1.300\,r_{\mathrm s}$ である。面積半径の差 $r_{\mathrm s}$ より 30 % 長い。4. 12.1-4 球殻の内側は物質の無い球対称な領域なので、Birkhoff の定理により、計量は Schwarzschild 計量の形

$$\mathrm{d} s^2=C\Bigl(1-\frac{r'_{\mathrm s}}{r}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2-\frac{\mathrm{d} r^2}{1-r'_{\mathrm s}/r}-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$$

をとる。$C$ は正の定数、$r'_{\mathrm s}$ は内側の積分定数である。内側では無限遠の条件が使えないので、時刻の目盛りの定数 $C$ を残した。

内側の領域は中心 $r=0$ を含み、そこには物質が無いので計量は滑らかでなければならない。$r'_{\mathrm s}\neq0$ だと、中心で計量の2つの成分が発散する。よって $r'_{\mathrm s}=0$ である。

これは、内側の積分定数が内側にある質量に比例し、その質量が 0 であることとも一致する。すると $\mathrm{d} s^2=Cc^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} r^2-r^2(\dots)$ で、時刻を $\sqrt C$ 倍に目盛り直せば Minkowski 計量である。したがって内側の時空は平らである。

外側の計量は質量 $M$ の Schwarzschild 計量で、球殻の位置では $g_{00}=1-r_{\mathrm s}/R$ である。$g_{00}$ が球殻をまたいで連続なので、内側では $C=1-r_{\mathrm s}/R$ で一定である。内側に静止した時計の固有時は $\mathrm{d}\tau=\sqrt{1-r_{\mathrm s}/R}\,\mathrm{d} t$ で、無限遠の時計の固有時は $\mathrm{d} t$ そのものである。したがって1秒あたり

$$1-\sqrt{1-\frac{r_{\mathrm s}}{R}}\simeq\frac{r_{\mathrm s}}{2R}=\frac{GM}{c^2R}$$

秒遅れる。内側では潮汐力も重力の加速度も無いが、時計の進みは球殻の外の無限遠と比べて遅い。Newton の重力で、球殻の内側のポテンシャルが一定値 $-GM/R$ をとることに対応している。5. 12.2-1 第3項は、(12.16) の右辺の $(1-r_{\mathrm s}/r)(c^2+L^2/r^2)$ を展開したときの $-(r_{\mathrm s}/r)(L^2/r^2)$ から生じる。2つの因子の意味は次のとおりである。

• $r_{\mathrm s}/r$ は、計量の $g_{00}$ のずれである。同じものが $-1/g_{rr}$ のずれでもある。
• $L^2/r^2$ は、回転の運動（角運動量による遠心力の項）である。

この項は $r^{-3}$ で、遠心力の障壁 $L^2/(2r^2)$ より速く大きくなる。中心に近づくと負の第3項が障壁に勝ち、有効ポテンシャルは $-\infty$ へ下がる。そのため、障壁の高さより大きなエネルギーをもつ粒子は中心へ落ちる。6. 12.2-2 $GM/c^2$ を長さの単位、$GM/c$ を角運動量の単位にする。すなわち

$$x=\frac{rc^2}{GM},\qquad \lambda=\frac{Lc}{GM}$$

と置く。円軌道の条件 $GMr^2-L^2r+3GML^2/c^2=0$ は

$$x^2-\lambda^2x+3\lambda^2=0$$

となる。$\lambda=4$ では

$$x^2-16x+48=(x-4)(x-12)=0$$

なので、根は $x=12$ と $x=4$ である。

安定かどうかは、有効ポテンシャルの微分の符号の変わり方で調べる。

$$V_{\mathrm{eff}}'=\frac{GM}{r^4}\Bigl(r^2-\lambda^2\frac{GM}{c^2}\,r+3\lambda^2\Bigl(\frac{GM}{c^2}\Bigr)^2\Bigr)$$

の括弧は、$x$ について上に開いた2次式である。括弧の符号は次のようになる。

• $x<4$ と $x>12$ では正である。
• $4<x<12$ では負である。

したがって $x=12$ では微分が負から正へ変わって極小（安定）、$x=4$ では正から負へ変わって極大（不安定）である。半径は $r=12GM/c^2$（安定）と $r=4GM/c^2$（不安定）である。7. 12.2-3 $1-e^2=1-0.000279=0.99972$ で、

$$\Delta\varphi=\frac{6\pi\times1.3271\times10^{20}}{(2.998\times10^8)^2\times1.496\times10^{11}\times0.99972}=\frac{2.501\times10^{21}}{1.3442\times10^{28}}=1.861\times10^{-7}\,\mathrm{rad}$$

である。1世紀の公転は $36525/365.26=100.0$ 回なので、$100.0\times1.861\times10^{-7}\times206265''=3.84''$ である。水星より太陽から遠く、軌道1周の補正が小さく、周期も長いので、水星の約 $1/11$ になる。8. 12.2-4 $\dot r=-L\,\mathrm{d} u/\mathrm{d}\varphi$ と $r=1/u$ を (12.16) に入れると

$$L^2\Bigl(\frac{d u}{d \varphi}\Bigr)^2=c^2\mathcal E^2-(1-r_{\mathrm s}u)(c^2+L^2u^2) =c^2(\mathcal E^2-1)+r_{\mathrm s}c^2u-L^2u^2+r_{\mathrm s}L^2u^3$$

である。両辺を $\varphi$ で微分すると

$$2L^2\frac{d u}{d \varphi}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}=\bigl(r_{\mathrm s}c^2-2L^2u+3r_{\mathrm s}L^2u^2\bigr)\frac{d u}{d \varphi}$$

となる。円軌道でない限り $\mathrm{d} u/\mathrm{d}\varphi\neq0$ なので、$2L^2\,\mathrm{d} u/\mathrm{d}\varphi$ で割って

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}=\frac{r_{\mathrm s}c^2}{2L^2}-u+\frac{3r_{\mathrm s}}{2}u^2$$

を得る。$r_{\mathrm s}c^2/2=GM$、$3r_{\mathrm s}/2=3GM/c^2$ を使うと (12.20) になる。9. 12.2-5 動径方向の測地線の方程式は $\ddot r+\Gamma^r{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ である。円軌道では $\dot r=\ddot r=0$、$\theta=\pi/2$ である。(12.6) のうち $\Gamma^r{}_{00}$ と $\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}$ だけが残り、

$$\Gamma^r{}_{00}\,(\dot x^0)^2+\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\,\dot\varphi^2=0$$

となる。Schwarzschild 計量では $\mathrm{e}^{2\alpha}=\mathrm{e}^{-2\beta}=1-r_{\mathrm s}/r$、$\alpha'=r_{\mathrm s}/(2r^2(1-r_{\mathrm s}/r))$ なので

$$\Gamma^r{}_{00}=\alpha'\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}=\frac{r_{\mathrm s}}{2r^2}\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr),\qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)$$

である。共通の因子 $1-r_{\mathrm s}/r$ で割ると

$$\frac{r_{\mathrm s}}{2r^2}(\dot x^0)^2=r\dot\varphi^2$$

となる。$\dot\varphi/\dot x^0=\mathrm{d}\varphi/(c\,\mathrm{d} t)$ なので

$$\Bigl(\frac{d \varphi}{d t}\Bigr)^2=\frac{c^2r_{\mathrm s}}{2r^3}=\frac{GM}{r^3}$$

である。10. 12.3-1 $\mathrm{d} r/\mathrm{d}\lambda=0$ を光の動径の式に入れると $k_0^2=(1-r_{\mathrm s}/r_0)k_\varphi^2/r_0^2$ で、

$$b^2=\frac{k_\varphi^2}{k_0^2}=\frac{r_0^2}{1-r_{\mathrm s}/r_0}$$

である。$0<1-r_{\mathrm s}/r_0<1$ なので $b>r_0$ である。$r_{\mathrm s}/r_0\ll1$ では

$$b\simeq r_0\Bigl(1+\frac{r_{\mathrm s}}{2r_0}\Bigr)=r_0+\frac{r_{\mathrm s}}{2}$$

なので、太陽の縁では $b-r_0\simeq r_{\mathrm s}/2=1.48\,\mathrm{km}$ である。光は中心の側へ曲がるので、無限遠での直線よりも中心に近づく。11. 12.3-2 $\delta=4GM/(c^2R)$ に入れて

$$\delta=\frac{4\times1.267\times10^{17}}{(2.998\times10^8)^2\times7.149\times10^7}=\frac{5.068\times10^{17}}{6.426\times10^{24}}=7.89\times10^{-8}\,\mathrm{rad}=0.0163''$$

である。太陽の縁の値 $1.75''$ の約 $1/107$ である。12. 12.3-3 $q\equiv r_{\mathrm s}/(4\rho)$ と置くと $r=\rho(1+q)^2$ である。まず

$$1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}=1-\frac{4q}{(1+q)^2}=\frac{(1+q)^2-4q}{(1+q)^2}=\Bigl(\frac{1-q}{1+q}\Bigr)^2$$

なので、$g_{00}$ は等方座標の形になる。次に $\mathrm{d} q/\mathrm{d}\rho=-q/\rho$ を使って

$$\frac{d r}{d \rho}=(1+q)^2+\rho\cdot2(1+q)\Bigl(-\frac q\rho\Bigr)=(1+q)(1+q-2q)=(1+q)(1-q)$$

である。したがって

$$\frac{\mathrm{d} r^2}{1-r_{\mathrm s}/r}=\frac{(1+q)^2(1-q)^2}{(1-q)^2/(1+q)^2}\,\mathrm{d}\rho^2=(1+q)^4\mathrm{d}\rho^2,\qquad r^2=\rho^2(1+q)^4$$

となり、空間部分は $-(1+q)^4(\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\theta^2+\rho^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$ である。13. 12.3-4 対数の中身は

$$\frac{4\times1.496\times10^{11}\times1.082\times10^{11}}{(6.957\times10^8)^2}=\frac{6.475\times10^{22}}{4.840\times10^{17}}=1.338\times10^5,\qquad \ln(1.338\times10^5)=11.80$$

なので、$\Delta t_{\log}=1.970\times10^{-5}\times11.80=2.33\times10^{-4}\,\mathrm s=233\,\mu\mathrm s$ である。14. 12.4-1 使った性質は2つである。

1. (i) 計量が時刻によらないので、$\partial_0$ は Killing ベクトルである。光の4元波数との内積 $k_0$ は、光的測地線に沿って厳密に保存する（第9章 §9.3 の定理）。
2. (ii) 静止した観測者の4元速度は $u^\mu=(c/\sqrt{g_{00}},\bm{0})$ である。その観測者が測る角振動数は $k_\mu u^\mu=ck_0/\sqrt{g_{00}}$ である（第9章 §9.4）。

どちらも厳密な式で、$g_{00}$ の値について近似を使っていない。したがって、Schwarzschild 計量の $g_{00}$ を入れた式も厳密である。15. 12.4-2 $r_{\mathrm s}/R_\odot=2.953\times10^3/(6.957\times10^8)=4.245\times10^{-6}$ で、

$$z=\frac{1}{\sqrt{1-4.245\times10^{-6}}}-1=2.12\times10^{-6},\qquad cz=2.998\times10^8\times2.12\times10^{-6}=636\,\mathrm{m/s}$$

である。太陽のスペクトル線は、秒速約 $0.64\,\mathrm{km}$ で遠ざかる光源と同じだけ長い波長の側にずれる。16. 12.4-3 円軌道の時計は $\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t=\sqrt{1-3GM/(c^2r)}$、表面に静止した時計は $\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t=\sqrt{1-2GM/(c^2R)}$ である。等しいとき

$$\frac{3GM}{c^2r}=\frac{2GM}{c^2R}\quad\Longrightarrow\quad r=\frac32R$$

である。第7章の1次の近似で求めた $r=3R/2$ は、Schwarzschild 計量では近似なしに成り立つ。17. 12.4-4 送り手の位置から時刻 $t$ に出た光が、受け手の位置に時刻 $t+T$ に届くとする。計量は時刻によらないので、$T$ は $t$ によらない。同じ道筋を時刻だけずらした光も測地線だからである。

したがって、送り手が座標時間 $\Delta t$ のあいだに送った $N$ 個の波の山は、受け手が同じ長さの座標時間のあいだに受け取る。それぞれの観測者の固有時は

$$\Delta\tau_1=\sqrt{g_{00}(r_1)}\,\Delta t,\qquad \Delta\tau_2=\sqrt{g_{00}(r_2)}\,\Delta t$$

なので、

$$\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{2\pi N/\Delta\tau_2}{2\pi N/\Delta\tau_1}=\frac{\Delta\tau_1}{\Delta\tau_2}=\sqrt{\frac{g_{00}(r_1)}{g_{00}(r_2)}}$$

であり、振動数の比は時計の進みの比の逆数である。無限遠で受けるときは $1+z=1/\sqrt{1-r_{\mathrm s}/r}$ である。$z=1$ となるのは

$$1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}=\frac14,\qquad\text{すなわち}\qquad r=\frac43r_{\mathrm s}$$

のときである。