Friedmann 方程式

相対論入門　第14章 §14.2　★★★ FLRW 計量を Einstein 方程式に入れると、スケール因子の速さ $\dot a$ と加速度 $\ddot a$ を密度と圧力で決める2本の常微分方程式になる

FLRW 計量の Ricci テンソル

Riemann テンソルの定義（第10章 §10.1）を縮約した Ricci テンソル

$$R_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu}=\partial_\rho\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\rho\mu}+\Gamma^\rho{}_{\rho\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\rho\mu}$$

に、§14.1 の Christoffel 記号を入れる。よく使う縮約は

$$\Gamma^\rho{}_{\rho0}=\Gamma^i{}_{i0}=\frac{3\dot a}{ca}$$

である（(14.8) で $i=j$ として3つ足した）。

$R_{00}$ の計算

$\Gamma^\rho{}_{00}=0$ なので第1項と第3項は0である。第2項は

$$-\partial_0\Gamma^\rho{}_{\rho0}=-\frac1c\frac{d }{d t}\Bigl(\frac{3\dot a}{ca}\Bigr)=-\frac{3}{c^2}\Bigl(\frac{\ddot a}{a}-\frac{\dot a^2}{a^2}\Bigr)$$

である。第4項 $-\Gamma^\rho{}_{0\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\rho0}$ で0でないのは $\rho,\lambda$ がともに空間の添字のときだけで、

$$-\Gamma^i{}_{0j}\Gamma^j{}_{i0}=-\frac{\dot a^2}{c^2a^2}\,\delta^i{}_j\delta^j{}_i=-\frac{3\dot a^2}{c^2a^2}$$

である。足し合わせると $\dot a^2$ の項が打ち消し合い、

$$R_{00}=-\frac{3\ddot a}{c^2a}\tag{14.10}$$

を得る。

$R_{ij}$ の計算

4つの項を、空間の添字だけを含む部分と、0の添字を含む部分に分ける。空間の添字だけの部分は、3次元の Christoffel 記号から作った Ricci テンソルそのものであり、定理 14.1 から ${}^{(3)}\!R_{ij}=2k\gamma_{ij}$ である。0の添字を含む部分を項ごとに拾う。

1. 第1項の $\rho=0$：$\partial_0\Gamma^0{}_{ji}=\dfrac1c\frac{d }{d t}\Bigl(\dfrac{a\dot a}{c}\Bigr)\gamma_{ij}=\dfrac{\dot a^2+a\ddot a}{c^2}\gamma_{ij}$。
2. 第2項：$\Gamma^0{}_{0i}=0$ なので、0の添字を含む寄与は無い。
3. 第3項の $\lambda=0$：

$$\Gamma^\rho{}_{\rho0}\Gamma^0{}_{ji}=\frac{3\dot a}{ca}\cdot\frac{a\dot a}{c}\gamma_{ij}=\frac{3\dot a^2}{c^2}\gamma_{ij}$$

である。残る組の項（$\rho=0$ で空間の添字のもの）は、 $\Gamma^0{}_{0l}=0$ で消える。4. 第4項の $(\rho,\lambda)=(0,l)$ と $(l,0)$：

$$-\Gamma^0{}_{jl}\Gamma^l{}_{0i}-\Gamma^l{}_{j0}\Gamma^0{}_{li}=-\frac{a\dot a}{c}\gamma_{jl}\frac{\dot a}{ca}\delta^l{}_i-\frac{\dot a}{ca}\delta^l{}_j\frac{a\dot a}{c}\gamma_{li}=-\frac{2\dot a^2}{c^2}\gamma_{ij}.$$

合計は $(\dot a^2+a\ddot a+3\dot a^2-2\dot a^2)\gamma_{ij}/c^2=(a\ddot a+2\dot a^2)\gamma_{ij}/c^2$ なので

$$R_{ij}=\Bigl(\frac{a\ddot a+2\dot a^2}{c^2}+2k\Bigr)\gamma_{ij},\qquad R_{0i}=0\tag{14.11}$$

である（$R_{0i}=0$ は等方性から明らかで、成分計算でも確かめた）。

スカラー曲率は、

$$g^{00}=1,\qquad g^{ij}=-\frac{\gamma^{ij}}{a^2},\qquad \gamma^{ij}\gamma_{ij}=3$$

を使って

$$R=R_{00}-\frac{\gamma^{ij}R_{ij}}{a^2}=-6\Bigl(\frac{\ddot a}{c^2a}+\frac{\dot a^2}{c^2a^2}+\frac{k}{a^2}\Bigr)\tag{14.12}$$

となる。Einstein テンソル $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R$ は

$$\begin{align*}G_{00}&=-\frac{3\ddot a}{c^2a}+3\Bigl(\frac{\ddot a}{c^2a}+\frac{\dot a^2}{c^2a^2}+\frac{k}{a^2}\Bigr)=3\Bigl(\frac{\dot a^2}{c^2a^2}+\frac{k}{a^2}\Bigr),\tag{14.13}\\G_{ij}&=\Bigl(\frac{a\ddot a+2\dot a^2}{c^2}+2k\Bigr)\gamma_{ij}-3a^2\Bigl(\frac{\ddot a}{c^2a}+\frac{\dot a^2}{c^2a^2}+\frac{k}{a^2}\Bigr)\gamma_{ij}=-\Bigl(\frac{2a\ddot a+\dot a^2}{c^2}+k\Bigr)\gamma_{ij}\tag{14.14}\end{align*}$$

である。$G_{00}$ には $\ddot a$ が入らないことに注意する。

Einstein 方程式から Friedmann 方程式へ

源は共動観測者とともに静止した完全流体とする。等方性により、物質の平均の速度は共動観測者の速度に一致していなければならないからである。$u^\mu=(c,0,0,0)$ で、$u_\mu=g_{\mu\nu}u^\nu=(c,0,0,0)$ なので、添字を下げたエネルギー運動量テンソルは

$$T_{00}=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)c^2-P=\rho c^2,\qquad T_{0i}=0,\qquad T_{ij}=-P\,g_{ij}=Pa^2\gamma_{ij}$$

である。一様性により、$\rho$ と $P$ は時刻だけの関数である。

宇宙定数を含む Einstein 方程式 $G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu}=(8\pi G/c^4)T_{\mu\nu}$ の00成分は、(14.13) と $g_{00}=1$ から

$$3\Bigl(\frac{\dot a^2}{c^2a^2}+\frac{k}{a^2}\Bigr)-\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2$$

である。両辺に $c^2/3$ を掛けて整理すると

$$\boxed{\;H^2\equiv\Bigl(\frac{\dot a}{a}\Bigr)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}\;}\tag{14.15}$$

となる。これをFriedmann 方程式（第1式）と呼び、$H=\dot a/a$ をHubble パラメータと呼ぶ。

$ij$ 成分は、(14.14) と $g_{ij}=-a^2\gamma_{ij}$ から

$$-\Bigl(\frac{2a\ddot a+\dot a^2}{c^2}+k\Bigr)\gamma_{ij}+\Lambda a^2\gamma_{ij}=\frac{8\pi G}{c^4}Pa^2\gamma_{ij}$$

である。$\gamma_{ij}$ を落として $-c^2/a^2$ を掛けると

$$2\frac{\ddot a}{a}+\frac{\dot a^2}{a^2}+\frac{kc^2}{a^2}-\Lambda c^2=-\frac{8\pi G}{c^2}P$$

となる。ここで (14.15) を使って $\dot a^2/a^2+kc^2/a^2=8\pi G\rho/3+\Lambda c^2/3$ と置き換えると、$2\ddot a/a=-8\pi GP/c^2-8\pi G\rho/3+2\Lambda c^2/3$、すなわち

$$\boxed{\;\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\Bigl(\rho+\frac{3P}{c^2}\Bigr)+\frac{\Lambda c^2}{3}\;}\tag{14.16}$$

を得る。これを Friedmann 方程式の第2式（加速度の式）と呼ぶ。

第2式は、第11章 §11.2 で見た「静止した流体の重力の源は $\rho+3P/c^2$」を宇宙全体に当てはめた形になっている。通常の物質と放射では $\rho+3P/c^2>0$ なので膨張は減速し、宇宙定数の項だけが加速の向きに働く。

流体の式と3本の式の関係

保存則 $\nabla_\mu T^{\mu0}=0$ は、第11章の確認テスト 11.1-4 で平坦な場合に

$$\dot\rho+3\frac{\dot a}{a}\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)=0\tag{14.17}$$

になることを示した。$k\neq0$ でもこの式は変わらない。実際、共変発散を書き下すと

$$\nabla_\mu T^{\mu0}=\partial_\mu T^{\mu0}+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}T^{\lambda0}+\Gamma^0{}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda}$$

である。このうち曲率 $k$ を含むのは空間の Christoffel 記号 $\Gamma^i{}_{jk}$ だけである。しかし $T^{i0}=0$ なので第2項には入らず、第3項も $\Gamma^0{}_{ij}T^{ij}$ の形なので入らない。具体的には $T^{ij}=P\gamma^{ij}/a^2$ なので

$$\Gamma^0{}_{ij}T^{ij}=\frac{a\dot a}{c}\gamma_{ij}\,\frac{P\gamma^{ij}}{a^2}=\frac{3\dot aP}{ca}$$

で、曲率によらない。

流体の式 (14.17) は第1式と第2式から独立ではない。第1式の両辺を $t$ で微分し、$\dot\rho$ に (14.17) を入れると第2式が出る（確認テスト 14.2-2）。これは、Einstein テンソルの発散が恒等的に0である縮約 Bianchi 恒等式（第10章 §10.3）の、この対称性のもとでの現れである。

したがって、独立な方程式は第1式と流体の式の2本である。これに圧力と密度の関係（状態方程式）を1つ加えると、3つの未知関数（スケール因子・密度・圧力）が決まる。

臨界密度と密度パラメータ

$\Lambda$ と $k$ を除いて、第1式を満たす密度

$$\rho_{\mathrm c}=\frac{3H^2}{8\pi G}\tag{14.18}$$

を臨界密度と呼ぶ。現在の値を添字0で表し（$H_0$ を Hubble 定数と呼ぶ）、成分ごとの現在の密度を臨界密度で割った量を密度パラメータと呼ぶ。

$$\Omega_{\mathrm m}=\frac{\rho_{\mathrm m0}}{\rho_{\mathrm c0}},\qquad \Omega_{\mathrm r}=\frac{\rho_{\mathrm r0}}{\rho_{\mathrm c0}},\qquad \Omega_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2},\qquad \Omega_k=-\frac{kc^2}{H_0^2}\tag{14.19}$$

ここで m は圧力の無い物質（ダスト。銀河や暗黒物質）、r は放射（光子と、質量が無視できるニュートリノ）を表す。$\Omega_\Lambda$ は宇宙定数を密度 $\rho_\Lambda=\Lambda c^2/(8\pi G)$ の成分とみなしたものと同じである。

各成分の密度の $a$ への依存は流体の式から決まる。第11章の確認テスト 11.1-3・11.1-4 で示したとおり、次のようになる。

• ダストは $\rho_{\mathrm m}\propto a^{-3}$ である。
• 放射（$P=\rho c^2/3$）は $\rho_{\mathrm r}\propto a^{-4}$ である。
• 宇宙定数の密度は一定である。

$a(t_0)=1$ と規格化したので、第1式を $H_0^2$ で割ると

$$H(a)^2=H_0^2\bigl(\Omega_{\mathrm r}a^{-4}+\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+\Omega_ka^{-2}+\Omega_\Lambda\bigr)\tag{14.20}$$

となる。$a=1$ とおけば

$$\Omega_{\mathrm r}+\Omega_{\mathrm m}+\Omega_k+\Omega_\Lambda=1\tag{14.21}$$

である。物質と宇宙定数を合わせた全密度パラメータを $\Omega_{\mathrm{tot}}=\Omega_{\mathrm r}+\Omega_{\mathrm m}+\Omega_\Lambda$ と書く。空間の曲がり方は次のように決まる。

• $\Omega_{\mathrm{tot}}>1$ なら $\Omega_k<0$ である。これは $k>0$、すなわち閉じた空間である。
• $\Omega_{\mathrm{tot}}<1$ なら、空間は開いている。
• $\Omega_{\mathrm{tot}}=1$ なら、空間は平坦である。

空間の曲がり方は、宇宙の中身の総量で決まる。

確認テスト

オリジナル

1. 14.2-1 第1式 (14.15) を任意の時刻で書き直し、全密度パラメータ $\Omega(t)=(\rho+\rho_\Lambda)/\rho_{\mathrm c}(t)$ が

$$\Omega(t)-1=\frac{kc^2}{a^2H^2}$$

を満たすことを示せ。$\Omega-1$ の符号が時間によって変わらない理由を述べよ。2. 14.2-2 第1式の両辺を $t$ で微分し、流体の式 (14.17) を使うと第2式 (14.16) が出ることを示せ（$\dot a\neq0$ とする）。3. 14.2-3 例題 14.2 の臨界密度を、太陽質量（$M_\odot=1.989\times10^{30}\,\mathrm{kg}$）毎 $\mathrm{Mpc^3}$ の単位で表せ。4. 14.2-4 ダスト（密度 $\rho_0$）と宇宙定数だけを含み、スケール因子が時間によらない静的な宇宙を考える。これが Friedmann 方程式の解になる条件を求め、$\Lambda=4\pi G\rho_0/c^2$ と $k/a^2=\Lambda$ を示せ（第11章の確認テスト 11.3-2 と比べよ）。