物質・放射・宇宙定数が支配する宇宙

相対論入門　第14章 §14.4　★★ 成分ごとに密度の薄まり方が違うので、宇宙は放射、物質、宇宙定数の順に支配され、それぞれの時代に $a(t)$ が決まった形で振る舞う

状態方程式と密度の薄まり方

圧力が密度に比例する $P=w\rho c^2$（$w$ は定数）の成分を考える。$w$ の値は、ダストで 0、放射で 1/3、宇宙定数で $-1$ である。流体の式 (14.17) は

$$\frac{\dot\rho}{\rho}=-3(1+w)\frac{\dot a}{a}$$

となるので、積分して

$$\rho\propto a^{-3(1+w)}\tag{14.34}$$

を得る。成分ごとの薄まり方は次のとおりである。

• ダストは $a^{-3}$ で薄まる。粒子の数が体積とともに薄まるからである。
• 放射は $a^{-4}$ で薄まる。数が薄まるうえに、1個のエネルギーも $1/a$ で減るからである。
• 宇宙定数の密度は一定である。

宇宙が小さかった昔ほど、薄まり方の速い成分が相対的に大きい。(14.20) の各項は、$a$ が小さい順に放射、物質、曲率、宇宙定数の項がそれぞれ主要になる。現在の値の目安として、次の値をとる。

$$\Omega_{\mathrm r}=8.5\times10^{-5},\qquad \Omega_{\mathrm m}=0.3,\qquad \Omega_\Lambda=0.7,\qquad \Omega_k=0$$

このとき図 14.3 のように、放射の時代、物質の時代、宇宙定数の時代が順に続く。

1つの成分だけの平坦な宇宙

平坦（$k=0$）で1つの成分だけが支配する時代には、第1式は

$$\frac{\dot a^2}{a^2}=Ca^{-3(1+w)}$$

になる。$C$ は正の定数である。

$w>-1$ なら、$a\propto t^p$ を入れてみる。左辺は $p^2/t^2$、右辺は $t^{-3(1+w)p}$ に比例する。両辺の冪がそろうのは $p=2/[3(1+w)]$ のときで、これが解になる。すなわち

$$a(t)\propto t^{2/[3(1+w)]},\qquad H=\frac{2}{3(1+w)\,t}\tag{14.35}$$

である（$t=0$ で $a=0$ となるように時刻の原点を選んだ）。$a\to0$ の時刻 $t=0$ では密度が発散する。これがビッグバンである。

• 物質（$w=0$）：

$$a\propto t^{2/3},\qquad H=\frac{2}{3t}$$

である。この宇宙を Einstein–de Sitter 宇宙と呼ぶ。現在の年齢は

$$t_0=\frac{2}{3H_0}=9.31\,\mathrm{Gyr}\qquad(H_0=70\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}})\tag{14.36}$$

で、Hubble 時間 $1/H_0$ より短い。減速しながら膨張してきたので、昔の膨張は今より速く、今の速さで割った時間より短い時間で今の大きさになったからである。

• 放射（$w=1/3$）：

$$a\propto t^{1/2},\qquad H=\frac{1}{2t}$$

である。

• 宇宙定数（$w=-1$）：第1式は $H^2=\Lambda c^2/3$ で一定になり、

$$a(t)\propto\mathrm{e}^{H_\Lambda t},\qquad H_\Lambda=c\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\tag{14.37}$$

である。これを de Sitter 宇宙と呼ぶ。始まりの特異点が無く、第2式で $\ddot a/a=H_\Lambda^2>0$ なので加速し続ける。第11章の確認テスト 11.3-4 の $R_{\mu\nu}=-\Lambda g_{\mu\nu}$ を満たすことも確かめられる（確認テスト 14.4-3）。

曲率の役割

$\Lambda=0$ で物質だけの宇宙では、(14.20) は $H^2=H_0^2[\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+(1-\Omega_{\mathrm m})a^{-2}]$ である。

• $\Omega_{\mathrm m}<1$（開いた空間）：右辺は常に正で、膨張は止まらない。$a$ が大きくなると曲率の項が主になり、$a\propto t$ に近づく。
• $\Omega_{\mathrm m}=1$（平坦）：$a\propto t^{2/3}$ で膨張し続ける。Hubble パラメータは 0 に近づく。
• $\Omega_{\mathrm m}>1$（閉じた空間）：$a=\Omega_{\mathrm m}/(\Omega_{\mathrm m}-1)$ で膨張が止まる。そのあと収縮に転じ、有限の時間で $a=0$ に戻る（例題 14.3）。

$\Lambda=0$ では空間が閉じていることと宇宙がいずれ収縮することが同じ条件になる。$\Lambda>0$ があるとこの対応は崩れ、閉じた空間でも宇宙定数の斥力が勝てば膨張は止まらない。

物質と宇宙定数を含む平坦な宇宙

現在の観測とよく合う模型は、平坦で、物質（暗黒物質を含む）と宇宙定数が主な成分の宇宙である。放射を無視すると

$$H^2=H_0^2\bigl(\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+\Omega_\Lambda\bigr),\qquad\Omega_{\mathrm m}+\Omega_\Lambda=1$$

である。$x=a^{3/2}$ とおくと $\dot x=\frac32a^{1/2}\dot a=\frac32a^{3/2}H$ なので

$$\dot x=\frac32H_0\sqrt{\Omega_{\mathrm m}+\Omega_\Lambda x^2}$$

となる。$x=\sqrt{\Omega_{\mathrm m}/\Omega_\Lambda}\,\sinh u$ とおくと、両辺は

$$\text{右辺}=\frac32H_0\sqrt{\Omega_{\mathrm m}}\cosh u,\qquad \text{左辺}=\sqrt{\frac{\Omega_{\mathrm m}}{\Omega_\Lambda}}\cosh u\,\dot u$$

となる。したがって $\dot u=\frac32\sqrt{\Omega_\Lambda}H_0$ である。ビッグバンの時刻を $t=0$ に選ぶと、解は

$$a(t)=\Bigl(\frac{\Omega_{\mathrm m}}{\Omega_\Lambda}\Bigr)^{1/3}\sinh^{2/3}\Bigl(\frac32\sqrt{\Omega_\Lambda}\,H_0t\Bigr)\tag{14.38}$$

である。この解は、時刻によって次の2つの振る舞いをつなぐ。

• 時刻が小さいときは $\sinh u\simeq u$ で、$a\propto t^{2/3}$（物質の時代）となる。
• 時刻が大きいときは $\sinh u\simeq\mathrm{e}^u/2$ で、$a\propto\mathrm{e}^{\sqrt{\Omega_\Lambda}H_0t}$（de Sitter 宇宙）に近づく。

$a=1$ とおくと現在の年齢

$$t_0=\frac{2}{3\sqrt{\Omega_\Lambda}\,H_0}\,\mathrm{arsinh}\sqrt{\frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_{\mathrm m}}}\tag{14.39}$$

を得る。減速パラメータは、第2式で $P=0$ として $q=-\ddot a/(aH^2)$ に入れると

$$q=\frac{\frac12\Omega_{\mathrm m}a^{-3}-\Omega_\Lambda}{\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+\Omega_\Lambda},\qquad q_0=\frac{\Omega_{\mathrm m}}{2}-\Omega_\Lambda\tag{14.40}$$

である。

確認テスト

オリジナル

1. 14.4-1 状態方程式 $P=w\rho c^2$ の成分1つだけの平坦な宇宙で、$a\propto t^{2/[3(1+w)]}$ を確かめよ。$w=-1/3$ ではどうなるか。また第2式から、加速膨張に必要な $w$ の条件を求めよ。
2. 14.4-2 時刻 0 に出た光が現在までに進んだ固有距離 $d_{\mathrm{hor}}=\int_0^{t_0}c\,\mathrm{d} t/a$ を粒子の地平線と呼ぶ。物質だけの平坦な宇宙で $d_{\mathrm{hor}}=3ct_0=2c/H_0$ を示し、$H_0=70\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ で Mpc を単位に求めよ。平坦な宇宙で $\Omega_{\mathrm m}=0.3$、$\Omega_\Lambda=0.7$ とする。このとき数値積分で $d_{\mathrm{hor}}=3.3\,c/H_0$ になる。これを Mpc と光年で表せ。
3. 14.4-3 次の計量を考える。

$$\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{e}^{2Ht}(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2)$$

この計量が、(14.10)・(14.11) を使って $R_{\mu\nu}=-\Lambda g_{\mu\nu}$（$\Lambda=3H^2/c^2$）を満たすことを示せ。4. 14.4-4 $\Lambda=0$、$\Omega_{\mathrm m}>1$ の物質だけの宇宙を考える。媒介変数表示

$$a=A(1-\cos\eta),\qquad t=B(\eta-\sin\eta)$$

が

$$\dot a^2=H_0^2\Bigl[\frac{\Omega_{\mathrm m}}{a}+1-\Omega_{\mathrm m}\Bigr]$$

を満たすように、$A$ と $B$ を決めよ。5. 14.4-5 放射が支配する平坦な宇宙で、密度と時刻の関係 $\rho=3/(32\pi Gt^2)$ を導け。