この章のまとめ

相対論入門　第14章 §14.5

この章では、宇宙全体を一様等方な時空として扱った。宇宙原理から、共動観測者の固有時を宇宙時に選ぶと、計量は $c^2\mathrm{d} t^2-a(t)^2\mathrm{d}\sigma^2$ の形になる。空間 $\mathrm{d}\sigma^2$ は、曲率 $k$ が一定の3通り（閉じた・平坦な・開いた）に限られる。これが FLRW 計量 (14.6) である。

この計量の Ricci テンソルを計算して完全流体を源とする Einstein 方程式に入れると、膨張の速さを決める第1式 (14.15) と加速度を決める第2式 (14.16) が得られた。第2式で重力の源が $\rho+3P/c^2$ になることは第11章で静止した流体について見たことと同じで、宇宙定数だけが加速の向きに働く。第1式を臨界密度で割ると、空間の曲がり方は全密度パラメータが1より大きいかどうかで決まる。

光の伝わり方からは、赤方偏移がスケール因子の比 $1+z=1/a(t_{\mathrm e})$ で決まること、固有距離が厳密に $\dot D=HD$ に従うことが分かった。観測で使う光度距離は $z$ の2次で減速パラメータを含み、遠くの超新星の明るさから加速膨張が分かる。成分ごとの密度は $a^{-3(1+w)}$ で薄まるので、宇宙は放射、物質、宇宙定数の順に支配される。それぞれの時代のスケール因子は、順に

$$a\propto t^{1/2},\qquad a\propto t^{2/3},\qquad a\propto\mathrm{e}^{H_\Lambda t}$$

と振る舞う。物質と宇宙定数の平坦な模型では、年齢は約135億年、加速に転じたのは $z\simeq0.67$ となった。

この章で扱ったのは、一様等方な背景の時空だけである。宇宙の構造（銀河や銀河団）がどのように育つかを調べるには、FLRW 計量のまわりの小さなゆらぎを第13章の線形化と同じ方法で扱う必要があり、初期の高温の宇宙で起きた原子核や原子の合成には、統計力学と原子核物理を組み合わせる必要がある。これらは宇宙論の本に譲る。