1元配置法とは

実験計画法　第3章 §3.1　★★★ 構造式 $x_{ij}=\mu+a_i+\varepsilon_{ij}$ から、平方和の分解・期待平均平方・$F$ 検定・区間推定までを導く

1元配置法は、取り上げる因子が1つだけの実験である。因子 $A$ の水準を $a$ 個決める。それらを $A_1,\dots,A_a$ と書く。各水準で同じ条件のもとに何回か実験を繰り返して特性値を測る。

たとえば熱処理の温度を4通りに変えて鋼材の引張強さを測る、触媒を3種類に変えて反応の収率を測る、といった実験がこれに当たる。

この章で作る道具は次の3つである。

1. 平方和の分解。総平方和を、因子の平方和と誤差平方和に分ける恒等式 $S_T=S_A+S_e$ と、その手計算の手順。
2. 分散分析表と検定。分散比 $F_0=V_A/V_e$ で「水準によって母平均が違うか」を判定する。
3. 分散分析のあとの推定。各水準の母平均・2水準の母平均の差・新しく1個測ったときの値について、点推定と区間を出す。

第2章で一般の形で導いた平方和・自由度・分散分析表の型を、ここでは1元配置という具体的な形で最後まで計算する。

1級の統計応用（理工学）で実験計画法が出題されるときは、「データの構造式を書く → 平方和を計算して分散分析表を作る → $F$ 検定の結論を書く → 最適水準の母平均を区間推定する」という流れが基本になる。2元配置・直交配列表・乱塊法の問題も、この流れに因子と交互作用が加わった形をしている。

したがって1元配置で手順のどこにも曖昧さが残らないようにしておくことが、ほかの章の準備になる。あわせて、分散分析の前提（等分散性・正規性）の確かめ方と、繰返し数が水準ごとに揃わない場合の扱いもこの章で扱う。

実験の組み方とデータの形

因子 $A$ を $a$ 水準とる。各水準で $r$ 回ずつ実験し、実験の総数は $N=ar$ である。

これらの実験は、実験順序を完全に無作為に決めて行う。たとえば $a=4,\ r=5$ なら 20 回の実験に 1 から 20 の番号を振り、乱数で並べ替えた順に実施する。このように因子以外の条件をすべて無作為化に任せる計画を完全無作為化法と呼ぶ。

無作為化を行う理由は、実験者が管理していない要因（時間とともに変わる室温、装置の暖まり具合、原料ロットの切り替わり）が特定の水準に偏って重なることを防ぐためである。たとえば $A_1$ の5回を午前中にまとめ、$A_4$ の5回を夕方にまとめたとする。すると2つの水準の差には温度の差と時刻の差が混ざってしまい、分けることができない。

順序を無作為にすれば、そうした要因の影響は各水準に確率的に均等に散らばり、次に置く誤差 $\varepsilon_{ij}$ の中に入る。繰返し（反復）を行う理由は、同じ水準の中のばらつきから誤差分散 $\sigma^2$ を推定するためである。繰返しがなければ、水準間の差が誤差より大きいかどうかを判定する基準が得られない。

無作為化と繰返しは Fisher が挙げた実験の3原則のうちの2つで、残る局所管理（ブロック化）は第11章の乱塊法で扱う。

データは、水準の番号と繰返しの番号を添字にして $x_{ij}$ と書く。添字の範囲は $i=1,\dots,a$ と $j=1,\dots,r$ である。集計に使う記号を次のように決める。

$$T_{i\cdot}=\sum_{j=1}^r x_{ij},\qquad \bar x_{i\cdot}=\frac{T_{i\cdot}}{r},\qquad T=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^r x_{ij},\qquad \bar{\bar x}=\frac{T}{N}.\tag{3.1}$$

$T_{i\cdot}$ は $A_i$ 水準のデータの和（水準和）である。$\bar x_{i\cdot}$ はその平均（水準平均）である。$T$ は総和、$\bar{\bar x}$ は総平均である。添字の「$\cdot$」は、その位置の添字について和をとったことを表す。

データの構造式と前提

構造式 (3.2) には次の4つの前提が入っている。

• 不偏性：誤差の期待値が0である。
• 等分散性：誤差の分散が水準によらず同じ $\sigma^2$ である。
• 独立性：誤差どうしが独立である。
• 正規性：誤差が正規分布に従う。

独立性は無作為化によって近似的に保証する。等分散性と正規性はデータから確かめる必要があり、その方法は §3.2 で扱う。

制約 $\sum a_i=0$ は、パラメータを一意に決めるために置く。制約がなければ、一般平均に定数 $c$ を足し、各主効果から同じ定数を引いても母平均 $\mu+a_i$ は変わらない。これでは一般平均と主効果を別々には決められない。制約を置くと、両者は次のように一意に定まる。

$$\mu=\frac1a\sum_i\mu(A_i)\ \text{（母平均の平均）},\qquad a_i=\mu(A_i)-\mu\ \text{（そこからのずれ）}.$$

検定したい仮説は「水準によって母平均が変わらない」ことで、構造式の言葉では次のように書ける。

$$H_0:\ a_1=a_2=\dots=a_a=0,\qquad H_1:\ \text{少なくとも1つの } a_i\neq0.\tag{3.3}$$

平方和の分解

各データの総平均からのずれを、水準平均を経由して2つに分ける。

$$x_{ij}-\bar{\bar x}=(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})+(x_{ij}-\bar x_{i\cdot}).\tag{3.4}$$

右辺の第1項は「その水準の平均が全体からどれだけずれているか」で、水準間の違いを表す。第2項は「同じ水準の中でその1個が水準平均からどれだけずれているか」で、誤差だけから生じる。両辺を2乗して全データで和をとったものが次の定理である。

証明

(3.4) を2乗して和をとると、

$$S_T=\sum_{i}\sum_{j}(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})^2+\sum_{i}\sum_{j}(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})^2 +2\sum_{i}\sum_{j}(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})(x_{ij}-\bar x_{i\cdot}).$$

第1項の被和項は $j$ を含まない。そのため $j$ についての和は $r$ 倍になり、第1項は因子の平方和に等しい。交差項は、$i$ を固定して $j$ について先に和をとると

$$\sum_{j=1}^r(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})=(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})\Bigl(\sum_{j=1}^r x_{ij}-r\bar x_{i\cdot}\Bigr) =(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})(T_{i\cdot}-T_{i\cdot})=0$$

となるので、$i$ について和をとっても0である。

この分解は、データの $N$ 次元ベクトルを「水準ごとに一定のベクトル」の部分空間とその直交補空間へ射影したものと同じである。交差項が消えたことが、2つの成分が直交していることに当たる。

手計算の式.

(3.5) の定義どおりに計算すると、途中で平均の端数を扱うことになり誤りやすい。そこで修正項

$$CT=\frac{T^2}{N}\tag{3.6}$$

を使って、次の形で計算する。

$$S_T=\sum_{i}\sum_{j}x_{ij}^2-CT,\qquad S_A=\sum_{i=1}^a\frac{T_{i\cdot}^2}{r}-CT,\qquad S_e=S_T-S_A.\tag{3.7}$$

$S_T$ と $S_A$ の式は、2乗を展開して次のように確かめられる。

$$\begin{aligned}\sum\sum(x_{ij}-\bar{\bar x})^2&=\sum\sum x_{ij}^2-2\bar{\bar x}T+N\bar{\bar x}^2=\sum\sum x_{ij}^2-\frac{T^2}{N},\\ r\sum_i(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})^2&=r\sum_i\bar x_{i\cdot}^2-N\bar{\bar x}^2=\sum_i \frac{T_{i\cdot}^2}{r}-\frac{T^2}{N}.\end{aligned}$$

$S_e$ は差で求める。検算には、水準ごとの平方和 $S_i=\sum_j(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})^2$ を出す。その合計が $S_e$ と一致するかを確かめるとよい。

自由度と期待平均平方

平方和の自由度は、平方和の中で自由に動ける偏差の個数である。3つの平方和について数えると次のようになる。

• $S_T$ は、$N$ 個の偏差（データと総平均の差）の2乗和である。偏差の和は0なので、自由度は $\phi_T=N-1$ である。
• $S_A$ は、$a$ 個の偏差（水準平均と総平均の差）からなる。その和が0なので、自由度は $\phi_A=a-1$ である。
• $S_e$ では、各水準の中で偏差の和が0になる制約が $a$ 本ある。したがって自由度は次のとおりである。

$$\phi_e=a(r-1)=N-a.$$

平方和と同じく $\phi_T=\phi_A+\phi_e$ が成り立つ。

平方和を自由度で割ったものを平均平方（または不偏分散）と呼ぶ。

$$V_A=\frac{S_A}{\phi_A},\qquad V_e=\frac{S_e}{\phi_e}.$$

その期待値を計算すると、$F$ 検定の意味がはっきりする。

証明

誤差の平均を

$$\bar\varepsilon_{i\cdot}=\frac1r\sum_j\varepsilon_{ij},\qquad \bar{\bar\varepsilon}=\frac1N\sum_i\sum_j\varepsilon_{ij}$$

とおく。構造式を代入すると、$\sum a_i=0$ を使って次の2式を得る。

$$\bar x_{i\cdot}=\mu+a_i+\bar\varepsilon_{i\cdot},\qquad \bar{\bar x}=\mu+\bar{\bar\varepsilon}.$$

誤差平方和は、$x_{ij}-\bar x_{i\cdot}=\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot}$ から次の形になる。

$$S_e=\sum_i\sum_j(\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot})^2.$$

水準ごとに見ると、$\varepsilon_{i1},\dots,\varepsilon_{ir}$ は正規分布 $\mathrm{N}(0,\sigma^2)$ からの標本である。標本の大きさは $r$ である。そのため不偏分散の性質から次が成り立つ。

$$E\Bigl[\sum_j(\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot})^2\Bigr]=(r-1)\sigma^2.$$

これを $a$ 個の水準で足すと $E(S_e)=a(r-1)\sigma^2=\phi_e\sigma^2$ となる。すなわち $E(V_e)=\sigma^2$ である。

因子の平方和は $\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x}=a_i+(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})$ から

$$S_A=r\sum_i a_i^2+2r\sum_i a_i(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})+r\sum_i(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})^2.$$

第2項の期待値は0である。第3項について、$\bar\varepsilon_{1\cdot},\dots,\bar\varepsilon_{a\cdot}$ は独立に $\mathrm{N}(0,\sigma^2/r)$ に従う。$\bar{\bar\varepsilon}$ はその平均なので、大きさ $a$ の標本の偏差平方和として次が成り立つ。

$$E\Bigl[\sum_i(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})^2\Bigr]=\frac{(a-1)\sigma^2}{r}.$$

したがって $E(S_A)=r\sum_i a_i^2+(a-1)\sigma^2$ となる。これを $\phi_A$ で割れば (3.8) を得る。

2つの平均平方の期待値は、仮説によって次のように振る舞う。

• $E(V_e)=\sigma^2$ である。これは $H_0$ の真偽によらない。
• $E(V_A)$ は、帰無仮説のもとで $\sigma^2$ に等しい。対立仮説のもとではそれより大きい。

そこで $F_0=V_A/V_e$ が1より十分大きければ $H_0$ を棄却する、という片側の検定を組む。$F_0$ が1より小さいことは、$H_1$ を支持する証拠にはならない。この理屈の詳しい議論（検定の意味と検出力）は第4章 §4.1 で行う。

分散分析表と $F$ 検定

証明

正規母集団からの大きさ $n$ の標本について、次の2つが成り立つ（正規母集団の標本分布の基本定理。数理統計の解説 第5章 §5.2 で導く）。

$$\frac{\sum(X_j-\bar X)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1},\qquad \text{偏差平方和と標本平均 }\bar X\text{ は独立}.$$

これを各水準の誤差 $\varepsilon_{i1},\dots,\varepsilon_{ir}$ に使うと、次を得る。

$$\frac{S_i}{\sigma^2}=\frac{\sum_j(\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot})^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{r-1},\qquad S_i\text{ と }\bar\varepsilon_{i\cdot}\text{ は独立}.$$

異なる水準の誤差は独立なので、$S_1,\dots,S_a$ と $\bar\varepsilon_{1\cdot},\dots,\bar\varepsilon_{a\cdot}$ は全体として独立になる。カイ二乗分布の再生性から $S_e/\sigma^2=\sum_iS_i/\sigma^2\sim\chi^2_{a(r-1)}$ である。

$S_A=r\sum_i(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})^2$ は、水準平均 $\bar x_{i\cdot}=\mu+a_i+\bar\varepsilon_{i\cdot}$ だけの関数である。誤差の水準平均たちは $S_i$ たちと独立だから、2つの平方和 $S_A,S_e$ は独立である。

帰無仮説のもとでは、水準平均 $\bar x_{1\cdot},\dots,\bar x_{a\cdot}$ が独立に $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2/r)$ に従う。総平均はその平均である。大きさ $a$・分散 $\sigma^2/r$ の正規標本の偏差平方和に同じ定理を使えば、次を得る。

$$\frac{\sum_i(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})^2}{\sigma^2/r}=\frac{S_A}{\sigma^2}\sim\chi^2_{a-1}.$$

独立なカイ二乗変数をそれぞれの自由度で割った比なので、$F$ 分布の定義から (3.9) が従う。

以上をまとめたものが分散分析表（表 3.1）である。検定の規則は次のとおりである。

$$F_0\ge F_{\phi_A,\phi_e}(\alpha)\ \text{のとき、有意水準 }\alpha\text{ で }H_0\text{ を棄却する}.$$

棄却したら「因子 $A$ は有意である」と結論する。実務の表では、$F_0$ の右に5%と1%の棄却限界を並べる。5%で有意なら分散比に $*$ を、1%で有意なら $**$ を付ける慣習がある。

ベクトルと射影による見方

定理 3.2〜定理 3.4 は、データを1本のベクトルとみなすと1つの命題にまとまる。繰返し数が不揃いな場合（次の小節）も同じ議論で済むので、ここで $r_i$ を一般にしたまま書いておく。

$N$ 個のデータを縦に並べたベクトルを $\bm{x}\in\mathbb{R}^N$ とする。すべての成分が1のベクトルを $\bm{1}$ と書く。$A_i$ 水準のデータの位置だけが1でほかが0のベクトルを $\bm{u}_i$ とし、2つの部分空間

$$\mathcal{V}_0=\operatorname{span}\{\bm{1}\},\qquad \mathcal{V}_A=\operatorname{span}\{\bm{u}_1,\dots,\bm{u}_a\}$$

を考える。$\bm{1}=\sum_i\bm{u}_i$ なので $\mathcal{V}_0\subset\mathcal{V}_A$ である。2つの部分空間の次元はそれぞれ1と $a$ である。

$\bm{u}_i$ どうしは直交し、$\lVert \bm{u}_i\rVert ^2=r_i$ である。そのため2つの直交射影は次のように書ける。

$$\begin{aligned}P_A\bm{x}&=\sum_i\frac{\bm{u}_i^\top\bm{x}}{r_i}\bm{u}_i=\sum_i\bar x_{i\cdot}\bm{u}_i &&\text{（各成分をその水準の平均で置き換えたベクトル）},\\ P_0\bm{x}&=\bar{\bar x}\bm{1} &&\text{（$\mathcal{V}_0$ への直交射影）}.\end{aligned}$$

すると

$$\bm{x}-P_0\bm{x}=(P_A-P_0)\bm{x}+(I-P_A)\bm{x},\qquad S_A=\lVert (P_A-P_0)\bm{x}\rVert ^2,\quad S_e=\lVert (I-P_A)\bm{x}\rVert ^2\tag{3.10}$$

と書ける。2つの射影の像は次のとおりで、互いに直交する。

• $P_A-P_0$ は、$\mathcal{V}_A$ の中で、すべての成分が1のベクトルに直交する部分への射影である。その次元は $a-1$ である。
• $I-P_A$ は、$\mathcal{V}_A$ の直交補空間への射影である。その次元は $N-a$ である。

平方和の分解は Pythagoras の定理そのものであり、自由度は射影の階数（＝像の次元）に等しい。

構造式はベクトルで次のように書ける。

$$\bm{x}=\bm{m}+\bm{\varepsilon},\qquad \bm{m}=\sum_i(\mu+a_i)\bm{u}_i\in\mathcal{V}_A,\qquad \bm{\varepsilon}\sim\mathrm{N}(\bm 0,\sigma^2I).$$

次の補題を使う。

証明

$P$ の像の正規直交基底 $\bm{q}_1,\dots,\bm{q}_k$ をとる。$Q$ の像の正規直交基底 $\bm{q}_{k+1},\dots,\bm{q}_{k+l}$ もとる。$PQ=O$ から2つの像は直交する。

これを $\mathbb{R}^N$ の正規直交基底に延ばし、それを並べた直交行列を $U$ とする。$\bm{z}=U^\top\bm{\varepsilon}$ は次の分布に従う。

$$\bm{z}\sim\mathrm{N}(\bm 0,\sigma^2U^\top U)=\mathrm{N}(\bm 0,\sigma^2I).$$

したがって成分 $z_1,\dots,z_N$ は独立に $\mathrm{N}(0,\sigma^2)$ である。2つのノルムはこの座標で

$$\lVert P\bm{\varepsilon}\rVert ^2=\sum_{m=1}^kz_m^2,\qquad \lVert Q\bm{\varepsilon}\rVert ^2=\sum_{m=k+1}^{k+l}z_m^2$$

と書ける。互いに重ならない成分の関数なので独立であり、それぞれ $\sigma^2\chi^2_k$ と $\sigma^2\chi^2_l$ に従う。

非心の場合も同じ座標で $\lVert P(\bm{c}+\bm{\varepsilon})\rVert ^2=\sum_{m=1}^k(\bm{q}_m^\top\bm{c}+z_m)^2$ となる。各項の期待値

$$E[(\bm{q}_m^\top\bm{c}+z_m)^2]=(\bm{q}_m^\top\bm{c})^2+\sigma^2$$

を足し合わせれば $k\sigma^2+\lVert P\bm{c}\rVert ^2$ を得る。

補題を1元配置に当てはめると、次の3点が分かる。

1. $(I-P_A)\bm{m}=\bm 0$ なので $S_e=\lVert (I-P_A)\bm{\varepsilon}\rVert ^2$ である。補題から $S_e/\sigma^2\sim\chi^2_{N-a}$ となる。
2. $(P_A-P_0)(I-P_A)=O$ なので、2つの平方和は独立である。
3. $(P_A-P_0)\bm{m}$ は、各成分 $\mu+a_i$ から重みつき平均を引いたものである。制約 $\sum_ir_ia_i=0$ のもとでは各成分が $a_i$ になる。したがって $\lVert (P_A-P_0)\bm{m}\rVert ^2=\sum_ir_ia_i^2$ である。

したがって

$$E(S_A)=(a-1)\sigma^2+\sum_{i=1}^ar_ia_i^2,\qquad \frac{S_A}{\sigma^2}\sim\chi'^2_{a-1}\Bigl(\lambda=\frac{\sum_ir_ia_i^2}{\sigma^2}\Bigr)\tag{3.11}$$

となる。$H_0$（すべての主効果が0）のもとでは $\lambda=0$ となる。このとき $F_0\sim F_{a-1,N-a}$ が従う。

$\lambda>0$ のとき分散比は非心 $F$ 分布に従い、検出力はこの非心度で決まる。非心度が $r_i$ に比例して増えることが、繰返しを増やすと差を見つけやすくなることの数式上の表れである。

この見方は、線形モデル $\bm{Y}=X\bm{\beta}+\bm{\varepsilon}$ の残差平方和と射影行列の議論（数理統計の解説 第9章）と同じものである。射影行列は $H=X(X^\top X)^{-1}X^\top$ である。1元配置は計画行列が $X=(\bm{u}_1,\dots,\bm{u}_a)$ の場合に当たり、このとき $H=P_A$ となる。

分散分析後の推定

$A$ が有意になったら、各水準の母平均 $\mu(A_i)=\mu+a_i$ を推定し、どの水準が良いかを判断する。点推定とその分布は次のとおりである。

$$\hat\mu(A_i)=\widehat{\mu+a_i}=\bar x_{i\cdot},\qquad \bar x_{i\cdot}\sim\mathrm{N}\Bigl(\mu(A_i),\frac{\sigma^2}{r}\Bigr).$$

$\sigma^2$ を $V_e$ で置き換える。水準平均と $V_e$ は独立（定理 3.4 の証明で示した）なので、次の分布を得る。

$$\frac{\bar x_{i\cdot}-\mu(A_i)}{\sqrt{V_e/r}}\sim t_{\phi_e}$$

これは、分子を標準化した $\mathrm{N}(0,1)$ 変数と $\sqrt{(S_e/\sigma^2)/\phi_e}$ の比になっているからである。

ここから次の3つの区間が得られる。いずれも信頼率（予測の場合は確率）は $1-\alpha$ である。$t_{\phi_e}(\alpha/2)$ は、誤差の自由度をもつ $t$ 分布の上側の点を表す。その上側確率は $\alpha/2$ である。

差の区間 (3.13) では、2つの水準平均が独立なので $V[\bar x_{i\cdot}-\bar x_{i'\cdot}]=2\sigma^2/r$ を使った。

予測区間 (3.14) は、これから $A_i$ で1回実験したときの値 $x=\mu(A_i)+\varepsilon$ が入る範囲である。新しい値と水準平均は独立なので $V[x-\bar x_{i\cdot}]=\sigma^2+\sigma^2/r$ となる。母平均の区間より、誤差1個の分散の分だけ広い。母平均の区間は $r\to\infty$ で幅が0に縮むが、予測区間は $\pm z_{\alpha/2}\sigma$ より狭くはならない。

$A$ が有意でなかったときは、水準による違いを認めずに $A$ を誤差にプールする。誤差分散と全体の母平均は次のように推定する。

$$V_T=\frac{S_A+S_e}{\phi_A+\phi_e}=\frac{S_T}{N-1},\qquad \hat\mu=\bar{\bar x}.$$

この場合の区間は $\bar{\bar x}\pm t_{N-1}(\alpha/2)\sqrt{V_T/N}$ になる。

寄与率.

因子 $A$ が全体の変動のどれだけを説明するかの目安として、寄与率

$$\rho_A=\frac{S_A-\phi_AV_e}{S_T}\tag{3.15}$$

を使う（定義と意味は第2章で扱った）。分子から $\phi_AV_e$ を引く理由は次のとおりである。$S_A$ の期待値は $E(S_A)=\phi_A\sigma^2+r\sum a_i^2$ で、第1項は誤差に由来する。これを除いて、水準の違いそのものの大きさ $r\sum a_i^2$ を推定するためである。

繰返し数が水準ごとに異なる場合

実験の一部が失敗してデータが欠けた、あるいは水準によって用意できる試料の数が違った、という理由で、水準 $A_i$ の繰返し数が $r_i$ と揃わないことがある。総数を $N=\sum_i r_i$ とする。この場合も構造式は同じ形で書ける。ただし一般平均の定義と制約を次のように変えるのが計算上自然である（こうすると $\bar{\bar x}$ が $\mu$ の不偏推定量になる）。

$$\mu=\frac1N\sum_i r_i\mu(A_i),\qquad \sum_i r_ia_i=0.$$

平方和の分解 (3.5) の証明は、交差項を水準の中で先に和をとって消すところが $r_i$ に置き換わるだけで、そのまま成り立つ。

$$S_T=\sum_i\sum_{j=1}^{r_i}x_{ij}^2-CT,\quad S_A=\sum_{i=1}^a\frac{T_{i\cdot}^2}{r_i}-CT,\quad S_e=S_T-S_A,\qquad \phi_A=a-1,\ \phi_e=N-a.\tag{3.16}$$

期待平均平方は次のようになる（§3.1.6 の (3.11)。射影を使わない直接の計算は確認テスト 3.1-4）。

$$E(V_e)=\sigma^2,\qquad E(V_A)=\sigma^2+\frac{\sum_ir_ia_i^2}{a-1}.$$

$H_0$ のもとで $F_0\sim F_{a-1,N-a}$ となることも §3.1.6 の補題から従う。推定の区間は (3.12)〜(3.14) の $r$ を水準ごとの $r_i$ に置き換える。差の区間の分散は $V_e(1/r_i+1/r_{i'})$ を使う。

繰返し数が揃っていなくても解析の手順は変わらないが、注意点が2つある。

1. 効率。総数 $N$ を固定したとき、差の分散 $\sigma^2(1/r_i+1/r_{i'})$ は2つの繰返し数が等しいとき最小になる。どの2水準の比較も同程度に重要なら、繰返しは揃えるのがよい。
2. 前提の破れに対する強さ。繰返しが揃っていれば、水準間の分散が多少違っても $F$ 検定の有意水準はあまり狂わない。しかし繰返しが不揃いで、しかも繰返しの少ない水準の分散が大きいと、実際の第1種の誤りの確率が名目の $\alpha$ より大きくなる。

不揃いのデータでは、等分散性の確認（§3.2）をより慎重に行う。

確認テスト

オリジナル

1. 3.1-1 因子 $A$ を5水準とり、各水準で6回ずつ繰り返す1元配置実験について、3つの自由度 $\phi_T,\phi_A,\phi_e$ を答えよ。また $H_0$ のもとでの2つの期待平均平方 $E(V_A),E(V_e)$ を書け。
2. 3.1-2 $a=3,\ r=5$ の1元配置実験で、データの2乗和が $\sum\sum x_{ij}^2=1445$、水準和が次のとおりであった。

$$T_{1\cdot}=40,\quad T_{2\cdot}=55,\quad T_{3\cdot}=50.$$

分散分析表を作り、有意水準5%と1%で検定せよ（$F_{2,12}(0.05)=3.885$、$F_{2,12}(0.01)=6.927$）。3. 3.1-3 繰返し数が $r_i$（$i=1,\dots,a$）と不揃いな場合に、次の式を示せ。

$$S_T=\sum_ir_i(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})^2+\sum_i\sum_j(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})^2$$

ここで $\bar x_{i\cdot}=T_{i\cdot}/r_i$、$\bar{\bar x}=T/N$ である。4. 3.1-4 繰返し数が不揃いな構造式 $x_{ij}=\mu+a_i+\varepsilon_{ij}$（$\sum_ir_ia_i=0$）のもとで、次の2式を導け。

$$E(S_e)=(N-a)\sigma^2,\qquad E(S_A)=(a-1)\sigma^2+\sum_ir_ia_i^2$$ 5. 3.1-5 3.1-2 のデータで、$\mu(A_2)-\mu(A_1)$ の95%信頼区間を求めよ（$t_{12}(0.025)=2.179$）。