確認テストの解答

実験計画法　第2章 §2.5

2.1 データの取り方・データの集計・データの構造式

2.1-1　任意の定数 $c\neq0$ をとり、次のようにおく。

$$\mu'=\mu+c,\qquad a_i'=a_i-c\quad(i=1,\dots,a)$$

このとき $\mu'+a_i'=\mu+a_i$ なので、$x_{ij}=\mu'+a_i'+\varepsilon_{ij}$ はもとの構造式と同じデータの分布を表す。データの分布が同じなので、データからは $(\mu,a_i)$ と $(\mu',a_i')$ を区別できない。制約 $\sum a_i=0$ を課すと、$\sum a_i'=\sum a_i-ac=-ac\neq0$ となる。つまり置き換えた組は制約を満たさないので、パラメータは一通りに決まる。

2.1-2　水準合計は 18, 27, 9、総合計は54で、$N=9$ である。水準平均と総平均は次のとおりである。

$$\bar x_{1\cdot}=6,\quad \bar x_{2\cdot}=9,\quad \bar x_{3\cdot}=3,\qquad \hat\mu=\bar{\bar x}=6$$

主効果は次のとおりで、和は0である。

$$\hat a_1=6-6=0,\qquad \hat a_2=9-6=3,\qquad \hat a_3=3-6=-3$$

残差は次のとおりで、どの水準でも和は0である。

$$\begin{aligned}&A_1:\ (5-6,\,7-6,\,6-6)=(-1,\,1,\,0)\\ &A_2:\ (9-9,\,8-9,\,10-9)=(0,\,-1,\,1)\\ &A_3:\ (3-3,\,4-3,\,2-3)=(0,\,1,\,-1)\end{aligned}$$

2.1-3　$\bar x_{1\cdot}=\mu+a_1+\bar\varepsilon_{1\cdot}$、$\bar{\bar x}=\mu+\bar{\bar\varepsilon}$。定数は共分散に関係しないので$\mathrm{Cov}(\bar x_{1\cdot},\bar{\bar x})=\mathrm{Cov}(\bar\varepsilon_{1\cdot},\bar{\bar\varepsilon})$。$\bar{\bar\varepsilon}=\frac1a\sum_i\bar\varepsilon_{i\cdot}$ であり、水準ごとの誤差平均どうしは独立なので、次を得る。

$$\mathrm{Cov}(\bar\varepsilon_{1\cdot},\bar{\bar\varepsilon})=\frac1a V[\bar\varepsilon_{1\cdot}]=\frac1a\cdot\frac{\sigma^2}{r}=\frac{\sigma^2}{N}$$

したがって

$$V[\bar x_{1\cdot}-\bar{\bar x}]=V[\bar x_{1\cdot}]+V[\bar{\bar x}]-2\,\mathrm{Cov}(\bar x_{1\cdot},\bar{\bar x})=\frac{\sigma^2}{r}+\frac{\sigma^2}{N}-\frac{2\sigma^2}{N} =\frac{\sigma^2}{r}-\frac{\sigma^2}{ar}=\frac{(a-1)\sigma^2}{N}.$$

また $E[\hat a_1]=E[\bar x_{1\cdot}]-E[\bar{\bar x}]=(\mu+a_1)-\mu=a_1$ である。$E[\bar{\bar x}]=\mu$ は $\sum a_i=0$ による。

2.1-4　2水準の場合、母平均は $\eta(0)=10$ と $\eta(4)=10+16-16=10$ で等しい。$\mu=10$、$a_1=a_2=0$ となり、主効果は0である。

3水準の場合は $\eta(2)=10+8-4=14$ なので、母平均は 10, 14, 10 である。一般平均と主効果は次のとおりで、主効果は0でない。

$$\mu=\frac{34}{3},\qquad a_1=a_3=10-\frac{34}{3}=-\frac43,\qquad a_2=14-\frac{34}{3}=\frac83$$

2水準の場合、真の応答は $u=2$ を頂点とする山形で、両端の値がたまたま等しいため、2点を結ぶ直線は水平になる。2水準では直線的な変化しか表せず、曲がりは両端の差に現れないので、因子の効果が実際にはあっても検出できない。

2.2 平方和と自由度の計算・分散分析表の作成

2.2-1　誤差平方和は残差 $e_{ij}=x_{ij}-\bar x_{i\cdot}$ の2乗和で、残差は全部で $N=ar$ 個ある。残差は水準ごとに $\sum_j e_{ij}=0$ を満たす。この制約は水準ごとに1本ずつ、合わせて $a$ 本ある。各水準で $r-1$ 個の残差を決めれば残り1個が決まるので、独立に動ける残差は $a(r-1)$ 個である。

2.2-2　総合計は $T=54$ で、修正項は $CT=54^2/9=324$。平方和は次のとおりである。

$$\begin{aligned}\sum\sum x_{ij}^2&=(25+49+36)+(81+64+100)+(9+16+4)=110+245+29=384,\\ S_T&=384-324=60,\\ S_A&=\frac{18^2+27^2+9^2}{3}-324=\frac{324+729+81}{3}-324=378-324=54,\\ S_e&=60-54=6.\end{aligned}$$

自由度は $\phi_A=2,\ \phi_e=6,\ \phi_T=8$ である。平均平方は $V_A=27,\ V_e=1$ で、$F_0=27$ となる。

$F_0=27\ge F_{2,6}(0.01)=10.92$ なので、有意水準1%で有意（5%でも有意）。

2.2-3　この変換は $x_0=2.30,\ h=100$ の形である。命題 2.10 より、平方和は $h^2=10^4$ で割って戻す。

$$S_A=54/10^4=0.0054,\qquad S_e=6/10^4=0.0006$$

自由度は変わらないので、$V_A=0.0027$、$V_e=0.0001$ となる。分散比は $F_0=27$ で、変換後と同じである。

2.2-4　$\bar x_{i\cdot}=T_{i\cdot}/r$、$\bar{\bar x}=T/N$ を代入して展開する。

$$r\sum_{i=1}^a\Bigl(\frac{T_{i\cdot}}{r}-\frac{T}{N}\Bigr)^2 =\sum_{i=1}^a\frac{T_{i\cdot}^2}{r}-\frac{2T}{N}\sum_{i=1}^a T_{i\cdot}+\frac{raT^2}{N^2} =\sum_{i=1}^a\frac{T_{i\cdot}^2}{r}-\frac{2T^2}{N}+\frac{T^2}{N} =\sum_{i=1}^a\frac{T_{i\cdot}^2}{r}-\frac{T^2}{N}.$$

途中で $\sum_i T_{i\cdot}=T$ と $ra=N$ を使った。

2.2-5　$S_A'=S_A-\phi_A V_e=54-2\times1=52$、$S_e'=6+2=8$。$\rho_A=52/60=0.867$（86.7%）、$\rho_e=8/60=0.133$（13.3%）。期待値は次のとおりである。

$$E(S_A)=\phi_A\sigma^2+r\sum a_i^2$$

主効果がまったく無いときでも、$S_A$ の期待値は $\phi_A\sigma^2>0$ である。そのため $S_A/S_T$ は、誤差の分だけ効果を大きく見積もる。$\phi_A V_e$ を差し引いた純変動は、期待値が $r\sum a_i^2$ で、効果の分だけを表す。

2.3 分散分析後の推定と予測

2.3-1　有効反復数は、母平均の点推定量の分散を $\sigma^2/n_e$ と書いたときの $n_e$ で、その点推定量がデータ何個の平均と同じ精度をもつかを表す。水準平均による点推定には一般平均と要因 $A$ を使うので、田口の式の分子は $1+\phi_A=1+(a-1)=a$。$1/n_e=a/(ar)=1/r$ となり、$V[\bar x_{i\cdot}]=\sigma^2/r$ と一致する。

2.3-2　$\hat\mu(A_2)=9$ で、$V_e=1,\ n_e=3,\ \phi_e=6$ である。$9\pm2.447\sqrt{1/3}=9\pm2.447\times0.5774=9\pm1.41$、すなわち $7.59\le\mu(A_2)\le10.41$。

2.3-3　差の点推定は $9-6=3$。$3\pm2.447\sqrt{2\times1/3}=3\pm2.447\times0.8165=3\pm2.00$、すなわち $1.00\le\mu(A_2)-\mu(A_1)\le5.00$。区間が0を含まないので $A_2$ の母平均は $A_1$ より大きいと判断する。予測区間は $9\pm2.447\sqrt{(1+1/3)\times1}=9\pm2.447\times1.1547=9\pm2.83$、すなわち $6.17\le x\le11.83$。

2.3-4　$V_e=S_e/\phi_e$ であり、$S_e$ は水準ごとの偏差平方和の和である。

$$Q_i=\sum_j(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})^2,\qquad S_e=\sum_i Q_i$$

水準 $i$ のデータは、正規母集団 $\mathrm{N}(\mu+a_i,\sigma^2)$ からの無作為標本である。そのため (2.12) より、その標本平均 $\bar x_{i\cdot}$ と偏差平方和 $Q_i$ は独立である。

他の水準の偏差平方和 $Q_{i'}$ は別のデータだけの関数なので、$\bar x_{i\cdot}$ と独立である。各水準の組 $(\bar x_{k\cdot},Q_k)$ は水準間で独立で、各組の中でも独立である。そのため $Q_1,\dots,Q_a$ と $\bar x_{i\cdot}$ は全体として独立である。その和 $S_e$ も、$\bar x_{i\cdot}$ と独立になる。

2.3-5　水準合計は 46, 48, 50 で、総合計は $T=144$ である。修正項は $CT=144^2/12=1728$。

$$\begin{aligned}\sum\sum x_{ij}^2&=(100+144+121+169)+(144+121+169+144)+(169+144+121+196)\\ &=534+578+630=1742,\\ S_T&=1742-1728=14,\\ S_A&=\frac{46^2+48^2+50^2}{4}-1728=\frac{2116+2304+2500}{4}-1728=1730-1728=2,\\ S_e&=14-2=12.\end{aligned}$$

自由度は $\phi_A=2,\ \phi_e=9$、平均平方は $V_A=1,\ V_e=12/9=1.333$ である。$F_0=0.75<F_{2,9}(0.05)=4.26$ なので有意でない。

プーリングすると次のようになる。

$$V_e'=\frac{2+12}{2+9}=\frac{14}{11}=1.273,\qquad \phi_e'=11,\qquad \hat\mu=\bar{\bar x}=12,\qquad n_e=N=12$$

信頼区間は $12\pm2.201\sqrt{1.273/12}=12\pm2.201\times0.3257=12\pm0.717$、すなわち $11.28\le\mu\le12.72$。