この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第2章 §2.4

この章では、1元配置を題材にして実験計画法の解析の手続きを最初から最後まで導いた。要点を順に並べる。

1. 構造式：データは次の構造式から生まれたとみなす（誤差は独立に $\mathrm{N}(0,\sigma^2)$）。

$$x_{ij}=\mu+a_i+\varepsilon_{ij},\qquad \sum_i a_i=0$$ 2. 推定：パラメータは最小二乗法で $\hat\mu=\bar{\bar x}$、$\hat a_i=\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x}$ と推定する（定理 2.2）。3. 平方和の分解：交差項が残差の水準内の和として消えるので、$S_T=S_A+S_e$ と分解される（定理 2.4）。手計算では修正項 $CT=T^2/N$ を使った計算式 (2.7) で求める。4. 自由度：偏差が満たす制約の数を引いて数え、$\phi_A=a-1$、$\phi_e=a(r-1)$ となる。5. 期待平均平方と検定：$E(V_e)=\sigma^2$、$E(V_A)=\sigma^2+r\sigma_A^2$ である（定理 2.8）。帰無仮説のもとで $F_0=V_A/V_e$ が $F_{\phi_A,\phi_e}$ に従うことが、検定の根拠になる（定理 2.9）。6. 推定と予測：母平均は $\bar x_{i\cdot}\pm t_{\phi_e}(\alpha/2)\sqrt{V_e/n_e}$ で区間推定する。将来のデータは、分散 $(1+1/n_e)\sigma^2$ を使って予測区間 (2.24) で予測する。7. 補助：数値変換で $F_0$ は変わらない。寄与率は、誤差の分 $\phi_A V_e$ を差し引いた純変動で計算する。

資格試験の応用（理工学）の科目は、90分で5問から3問を選ぶ記述式で、途中の過程にも点が与えられる。実験計画法の問題が出る場合、典型的な小問の連鎖は次のようになる。

1. データの構造式を書き、各項の意味と制約を説明する。
2. 修正項を経由して平方和を計算し、自由度を数えて分散分析表を完成させる（表の一部が空欄で与えられ、残りを埋める形もある）。
3. 期待平均平方を導き、$F_0$ が何と何を比べているかを説明して検定する。
4. 最適水準を選び、母平均の点推定と信頼区間、またはデータの予測区間を求める。

2025年の理工学では実験計画法そのものは出題されず、問3（重回帰による予測）と問4（入れ子の線形モデルの最小二乗推定と射影による比較）の題材が線形モデルであった。この章の平方和の分解を直交射影として見る見方は、その2問とも同じ数学になっている。期待平均平方の導出と予測区間の分散 $(1+1/n_e)\sigma^2$ は、重回帰の予測分散の式と同じ構造をもつので、両方を1つの道具として身につけておくと、実験計画法と回帰のどちらの問題を選んでも使える。

この先の章では、配置が変わるごとに構造式の項が増える（2元配置では交互作用 $(ab)_{ij}$、乱塊法ではブロック効果）。しかし手続きはこの章と同じで、構造式・平方和の分解・自由度・期待平均平方・$F$ 検定・$n_e$ を使った推定と予測を、この順に繰り返す。