分散分析後の推定と予測

実験計画法　第2章 §2.3　★★★ 母平均の信頼区間・母平均の差の信頼区間・データの予測区間。有効反復数 $n_e$ の考え方の出発点

分散分析で因子 $A$ が有意になったら、次に知りたいのは「どの水準が最も良く、そこでの母平均はいくらか」である。この節では、母平均の点推定と区間推定、2つの水準の母平均の差の推定、新しいデータの予測を導く。

母平均の点推定と区間推定

水準 $A_i$ の母平均 $\mu(A_i)=\mu+a_i$ の点推定は、構造式の推定値を足したものである。

$$\hat\mu(A_i)=\hat\mu+\hat a_i=\bar{\bar x}+(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})=\bar x_{i\cdot}.\tag{2.16}$$

(2.3) より $\bar x_{i\cdot}\sim\mathrm{N}(\mu(A_i),\sigma^2/r)$ である。$\sigma^2$ は未知なので $V_e$ で置き換える。

証明

$Z=(\bar x_{i\cdot}-\mu(A_i))/\sqrt{\sigma^2/r}\sim\mathrm{N}(0,1)$。定理 2.9 より $W=S_e/\sigma^2\sim\chi^2_{\phi_e}$ である。$S_e$ は水準平均と独立なので、この2つも独立である。

$t$ 分布の定義により $Z/\sqrt{W/\phi_e}\sim t_{\phi_e}$。この比を計算すると $\sigma$ が消えて次のようになる。

$$\frac{\bar x_{i\cdot}-\mu(A_i)}{\sqrt{\sigma^2/r}}\Big/\sqrt{\frac{S_e}{\sigma^2\phi_e}}=\frac{\bar x_{i\cdot}-\mu(A_i)}{\sqrt{V_e/r}}$$

$P(\lvert t\rvert \le t_{\phi_e}(\alpha/2))=1-\alpha$ を $\mu(A_i)$ について解けば (2.18) を得る。

この区間では、$\sigma^2$ の推定に全水準の残差から作った $V_e$ を使っている。その水準のデータだけを使うのではない。

等分散性の仮定のもとでは、どの水準の残差も同じ $\sigma^2$ の情報を持つ。まとめて使うと自由度が $r-1$ から $a(r-1)$ に増える。その分 $t$ 分布の上側点が小さくなり、区間が短くなる。

有効反復数

区間 (2.18) の幅は、点推定量の分散 $\sigma^2/r$ によって決まる。一般の配置では、点推定量の分散を

$$V[\hat\mu]=\frac{\sigma^2}{n_e}\tag{2.19}$$

と書き、$n_e$ を有効反復数と呼ぶ。「その点推定量は、データ $n_e$ 個の平均と同じ精度をもつ」という意味である。1元配置の $\hat\mu(A_i)=\bar x_{i\cdot}$ では $n_e=r$ である。2元配置以上では点推定量がいくつかの平均の和や差になるので、$n_e$ の計算に工夫が要る。よく使われる公式の1つ（田口の式）は

$$\frac{1}{n_e}=\frac{1+(\text{点推定に用いた要因の自由度の和})}{N}\tag{2.20}$$

で、1元配置に当てはめると $(1+(a-1))/(ar)=1/r$ となり、$n_e=r$ と一致する。式 (2.20) の導出と、もう1つの公式（伊奈の式）との使い分けは、点推定量が複数の平均の組合せになる第5章 §5.2 で扱う。有効反復数を使うと、どの配置でも母平均の信頼区間は

$$\hat\mu\pm t_{\phi_e}(\alpha/2)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}\tag{2.21}$$

という同じ形で書ける。

母平均の差の推定

2つの水準 $A_i,A_{i'}$ の母平均の差 $\mu(A_i)-\mu(A_{i'})=a_i-a_{i'}$ を考える。その点推定は $\bar x_{i\cdot}-\bar x_{i'\cdot}$ である。2つの水準平均は独立なので、その分散は $\sigma^2/r+\sigma^2/r=2\sigma^2/r$。定理 2.12 と同じ議論で

$$(\bar x_{i\cdot}-\bar x_{i'\cdot})\pm t_{\phi_e}(\alpha/2)\sqrt{\frac{2V_e}{r}}\tag{2.22}$$

が信頼率 $1-\alpha$ の信頼区間になる。区間が0を含まなければ、2つの水準の母平均には有意水準 $\alpha$ で差があると判断できる。ただし、この区間をすべての水準の組について繰り返し使うと、全体として誤って差があると判断する確率が $\alpha$ より大きくなる。多くの組を同時に比べるときの扱い（最小有意差など）は第4章で述べる。

データの予測

最適な水準 $A_i$ で将来もう1回実験したときに得られる値 $x$ を予測したい場合を考える。構造式より $x=\mu(A_i)+\varepsilon$ で、$\varepsilon$ は手持ちのデータと独立な新しい誤差である。予測値は母平均の点推定と同じ $\hat x=\bar x_{i\cdot}$ だが、予測の誤差は

$$x-\hat x=\bigl(\mu(A_i)-\bar x_{i\cdot}\bigr)+\varepsilon,\qquad V[x-\hat x]=\frac{\sigma^2}{r}+\sigma^2=\Bigl(1+\frac1{n_e}\Bigr)\sigma^2\tag{2.23}$$

となる。第1項は母平均の推定の誤差、第2項は新しいデータそのもののばらつきで、2つは独立なので分散が足し算になる。$x-\hat x$ は $S_e$ とも独立である。そのため次の比が $t_{\phi_e}$ に従う。

$$\frac{x-\hat x}{\sqrt{(1+1/n_e)V_e}}\sim t_{\phi_e}$$

よって信頼率 $1-\alpha$ の予測区間は

$$\bar x_{i\cdot}\pm t_{\phi_e}(\alpha/2)\sqrt{\Bigl(1+\frac1{n_e}\Bigr)V_e}\tag{2.24}$$

である。

要因が有意でなかったとき

因子 $A$ が $F$ 検定で有意にならなかったときは、水準による違いは無いとみなすことがある。構造式は次に置き直す。

$$x_{ij}=\mu+\varepsilon_{ij}$$

このとき $S_A$ も誤差の一部とみなし、$S_e$ と足し合わせて新しい誤差分散を作る。

$$V_e'=\frac{S_A+S_e}{\phi_A+\phi_e}=\frac{S_T}{N-1}$$

これをプーリングと呼ぶ。母平均の点推定は $\hat\mu=\bar{\bar x}$、有効反復数は $n_e=N$ で、信頼区間は次のとおりである。

$$\bar{\bar x}\pm t_{N-1}(\alpha/2)\sqrt{V_e'/N}$$

有意でない要因をどの基準でプールするかは、2元配置の交互作用で問題になるので第5章で扱う。通し例は1%で有意なので、プーリングはしない。

確認テスト

オリジナル

1. 2.3-1 有効反復数 $n_e$ の定義を1文で述べよ。また1元配置の水準平均 $\bar x_{i\cdot}$ について、田口の式 (2.20) から $n_e=r$ が得られることを確かめよ。
2. 2.3-2 確認テスト 2.2-2 の分散分析の結果を用いて、$\mu(A_2)$ の95%信頼区間を求めよ。$t_6(0.025)=2.447$ を用いてよい。
3. 2.3-3 同じデータについて、$\mu(A_2)-\mu(A_1)$ の95%信頼区間と、水準 $A_2$ で新たに1回実験したときのデータの95%予測区間を求めよ。
4. 2.3-4 定理 2.12 の証明で使った「$\bar x_{i\cdot}$ と $V_e$ が独立である」ことが成り立つ理由を、正規母集団の標本平均と偏差平方和の独立性から説明せよ。
5. 2.3-5 3水準・繰返し4の1元配置で、次のデータを得た。

$$A_1:\ 10,\ 12,\ 11,\ 13,\qquad A_2:\ 12,\ 11,\ 13,\ 12,\qquad A_3:\ 13,\ 12,\ 11,\ 14$$

分散分析をして、因子 $A$ が有意水準5%で有意でないことを確かめよ。さらにプーリングしたうえで、全体の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めよ。$F_{2,9}(0.05)=4.26$、$t_{11}(0.025)=2.201$ を用いてよい。