確認テストの解答

実験計画法　第3章 §3.4

1. 3.1-1 $N=30$ なので自由度は次のとおりである（$\phi_T=\phi_A+\phi_e$ を満たす）。

$$\phi_T=29,\qquad \phi_A=4,\qquad \phi_e=5\times5=25.$$

帰無仮説のもとでは $a_i=0$ なので $E(V_A)=\sigma^2$ である。また $E(V_e)=\sigma^2$ は $H_0$ によらない。2. 3.1-2 $T=145,\ N=15$ で、$CT=145^2/15=21025/15=1401.67$ である。

$$\begin{aligned}S_T&=1445-1401.67=43.33,\\ S_A&=(40^2+55^2+50^2)/5-CT=(1600+3025+2500)/5-1401.67\\ &=1425-1401.67=23.33,\\ S_e&=43.33-23.33=20.00.\end{aligned}$$

自由度は $\phi_A=2,\ \phi_e=12$ で、平均平方は $V_A=11.67,\ V_e=1.667$ である。分散比は $F_0=11.67/1.667=7.00$ となる。$F_0\ge F_{2,12}(0.01)=6.927$ なので、有意水準1%（したがって5%でも）で $A$ は有意である。

3. 3.1-3 次の分解を2乗して、$i$ と $j=1,\dots,r_i$ について和をとる。

$$x_{ij}-\bar{\bar x}=(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})+(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})$$

第1項の2乗の和は、被和項が $j$ によらないので $\sum_ir_i(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})^2$ である。交差項は $i$ ごとに

$$2(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})\sum_{j=1}^{r_i}(x_{ij}-\bar x_{i\cdot})=2(\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x})(T_{i\cdot}-r_i\bar x_{i\cdot})=0$$

である（$\bar x_{i\cdot}=T_{i\cdot}/r_i$ による）。したがって交差項の総和は0で、示すべき等式を得る。繰返し数が等しいことはどこにも使っておらず、使ったのは「水準の中で偏差の和が0」という性質だけである。4. 3.1-4 誤差の総平均を $\bar{\bar\varepsilon}=\frac1N\sum_i\sum_j\varepsilon_{ij}$ と置く。構造式と $\sum_ir_ia_i=0$ から次を得る。

$$\bar x_{i\cdot}=\mu+a_i+\bar\varepsilon_{i\cdot},\qquad \bar{\bar x}=\frac1N\sum_ir_i(\mu+a_i+\bar\varepsilon_{i\cdot})=\mu+\bar{\bar\varepsilon}.$$

$S_e$：$x_{ij}-\bar x_{i\cdot}=\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot}$ である。各 $i$ で次が成り立つ。

$$E\sum_j(\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot})^2=(r_i-1)\sigma^2$$

和をとって $E(S_e)=\sum_i(r_i-1)\sigma^2=(N-a)\sigma^2$。

$S_A$：$\bar x_{i\cdot}-\bar{\bar x}=a_i+(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})$ より

$$S_A=\sum_ir_ia_i^2+2\sum_ir_ia_i(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})+\sum_ir_i(\bar\varepsilon_{i\cdot}-\bar{\bar\varepsilon})^2.$$

第2項の期待値は0である。第3項は、$\sum_ir_i\bar\varepsilon_{i\cdot}=N\bar{\bar\varepsilon}$ を使って展開すると次に等しい。

$$\sum_ir_i\bar\varepsilon_{i\cdot}^2-N\bar{\bar\varepsilon}^2$$

$E[\bar\varepsilon_{i\cdot}^2]=\sigma^2/r_i$ と $E[\bar{\bar\varepsilon}^2]=\sigma^2/N$ を使うと、期待値は次のようになる。

$$\sum_ir_i\cdot\frac{\sigma^2}{r_i}-N\cdot\frac{\sigma^2}{N}=a\sigma^2-\sigma^2=(a-1)\sigma^2.$$

以上から $E(S_A)=(a-1)\sigma^2+\sum_ir_ia_i^2$ である。$\phi_A$ で割ると次を得る。

$$E(V_A)=\sigma^2+\frac{\sum_ir_ia_i^2}{a-1}.$$ 5. 3.1-5 差の点推定は $\bar x_{2\cdot}-\bar x_{1\cdot}=11-8=3$、標準誤差は $\sqrt{2V_e/r}=\sqrt{2\times1.667/5}=0.8165$ である。

$$3\pm2.179\times0.8165=3\pm1.78,\quad\text{すなわち }[1.22,\ 4.78].$$

区間が0を含まないので、$A_2$ の母平均は $A_1$ より大きいと言える。6. 3.2-1 無作為化しないと、実験者が管理していない要因（時刻・装置の状態・原料ロットなど）の変化が特定の水準に偏って重なり、水準間の差とその要因の差を分けることができなくなる。無作為化すれば、そうした要因の影響は各水準に確率的に均等に散らばって誤差 $\varepsilon_{ij}$ に入り、誤差の独立性の前提が近似的に満たされる。7. 3.2-2 $\bar R=(3+6+2+5)/4=4.0$ で、$UCL=D_4\bar R=2.282\times4.0=9.13$ である。すべての範囲が 9.13 以下なので、等分散性を否定する根拠はない。$\sigma$ の推定値は $\bar R/d_2=4.0/2.059=1.94$。8. 3.2-3 $\phi_e=15$ で、$V_e=(4\times2.0+5\times8.0+6\times3.0)/15=66/15=4.4$ である。自然対数は $\log V_e=1.4816$ で、3つの $\log V_i$ は順に 0.6931, 2.0794, 1.0986 である。

$$M=15\times1.4816-(4\times0.6931+5\times2.0794+6\times1.0986)=22.2241-19.7615=2.463,$$

$$C=1+\frac{1}{3\times2}\Bigl(\frac14+\frac15+\frac16-\frac1{15}\Bigr)=1+\frac{0.55}{6}=1.0917,$$

$B=2.463/1.0917=2.26<\chi^2_2(0.05)=5.991$。有意水準5%で等分散性は棄却されない。9. 3.2-4 残差は次のように書ける。

$$e_{ij}=\varepsilon_{ij}-\bar\varepsilon_{i\cdot}=\Bigl(1-\frac1r\Bigr)\varepsilon_{ij}-\frac1r\sum_{k\neq j}\varepsilon_{ik}$$

誤差は独立で分散 $\sigma^2$ なので

$$V[e_{ij}]=\Bigl(1-\frac1r\Bigr)^2\sigma^2+\frac{r-1}{r^2}\sigma^2=\frac{(r-1)^2+(r-1)}{r^2}\sigma^2=\frac{r-1}{r}\sigma^2=\sigma^2\Bigl(1-\frac1r\Bigr).$$

$j\neq j'$ では、次の3つを使う。

$$\mathrm{Cov}(\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ij'})=0,\qquad \mathrm{Cov}(\varepsilon_{ij},\bar\varepsilon_{i\cdot})=\frac{\sigma^2}{r},\qquad V[\bar\varepsilon_{i\cdot}]=\frac{\sigma^2}{r}.$$

すると

$$\mathrm{Cov}(e_{ij},e_{ij'})=0-\frac{\sigma^2}{r}-\frac{\sigma^2}{r}+\frac{\sigma^2}{r}=-\frac{\sigma^2}{r}.$$

$i\neq i'$ では、$e_{ij}$ はその水準の誤差だけで決まる。$e_{i'j'}$ は水準 $i'$ の誤差だけの関数である。両者は独立なので共分散は0。10. 3.2-5 自由度は $\phi_A=2,\ \phi_e=9$ で、平均平方は $V_A=3,\ V_e=4$ である。$F_0=0.75<4.256$ なので $A$ は有意でない。プールした誤差分散は $V=(6+36)/(2+9)=42/11=3.818$（自由度11）である。全体の母平均の95%信頼区間は

$$20\pm2.201\times\sqrt{3.818/12}=20\pm2.201\times0.5641=20\pm1.24,\qquad\text{すなわち }[18.76,\ 21.24].$$