この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第4章 §4.3　★★★ 期待平均平方・$F$ 分布・$t$ 区間の3つを答案に書ける形で持っておく

この章の要点は次の3つである。

1. 期待平均平方：構造式 $x_{ij}=\mu+a_i+\varepsilon_{ij}$ を平方和に代入すると、誤差平方和には誤差だけが、$S_A$ には効果と誤差の両方が入る。期待値は

$$E(V_e)=\sigma^2,\qquad E(V_A)=\sigma^2+r\sum a_i^2/(\ell-1)$$

で、帰無仮説のもとで両者がそろうことが、$F_0=V_A/V_e$ を上側片側で検定する根拠になる。2. $F$ 分布：正規分布の仮定のもとでは、水準内の偏差平方和と水準平均が独立なので、2つの平方和が独立になる。帰無仮説のもとで $F_0\sim F_{\phi_A,\phi_e}$ である。対立仮説のもとでは、非心度 $\lambda=r\sum a_i^2/\sigma^2$ の非心 $F$ 分布に従う。この検定は、効果を除いたモデルとの尤度比検定と同じ棄却域を持つ。3. $t$ 区間：分散分析のあとは、水準平均の線形結合の分散を書き、誤差分散を平均平方で置き換えて $t$ 分布で区間を作る。母平均・母平均の差・対比はこの1つの型で書ける。予測区間だけは新しい誤差の分散が加わって $(1+1/r)V_e$ になる。2水準の差の $t$ 検定を差の大きさで書いたものが lsd であり、全組を比べるときは多重性に注意する。

資格試験の応用（理工学）の科目で分散分析が出るとき、小問は次のような連鎖になると予想できる。

1. 構造式を書き、各項の仮定（$\sum a_i=0$、誤差の独立性と正規性）を述べる → 平方和の期待値 $E(S_A),\ E(S_e)$ を導く → 期待平均平方の欄つきの分散分析表を作る → 分散比で判定する。
2. $F_0$ の帰無分布を導く（独立性の根拠を述べる）→ 対立仮説のもとでの非心度を書く → 指定された効果の大きさを検出力 0.8 で見つけるのに必要な繰返し数を、与えられた検出力の表から選ぶ。
3. 分散分析表から母平均の点推定と信頼区間 → 2水準の差の区間と lsd → 新しいデータの予測区間 → 全組比較の多重性。
4. 尤度を書く → 最尤推定量 $\hat\mu_i=\bar x_{i\cdot},\ \hat\sigma^2=S_e/N$ を導く → 尤度比が $F_0$ の単調関数であることを示す（数理の線形モデルとの共通部分）。

2025年の理工学では実験計画法そのものの問題はなかったが、2025年 理工学 問4 の題材（入れ子になった線形モデルの部分空間と射影）は、この章の「$a_i$ を除いたモデルとの比較」と同じ構造を持つ。$S_A=\lVert (H_1-H_0)\bm x\rVert ^2$ の見方を持っておくと、両方の問題を同じ道具で書ける。