適用例

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『資格試験』第5章繰返しのある2元配置法

寄与率。
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

実験計画法　第5章 §5.3　★★★ データから分散分析表・プールの判断・最適条件の推定まで通しで計算する

ある化学反応の収率（%）を上げる条件を探す。反応温度 $A$ を3水準（ $A_1,A_2,A_3$ ）とる。触媒の種類 $B$ も3水準（ $B_1,B_2,B_3$ ）とる。

9通りの組合せで2回ずつ、計18回の実験をランダムな順序で行った。得られた収率を表 5.1 に示す（数値は説明のために作ったもの）。

表 5.1　収率のデータ（%）。各セルの2つの値が繰返しの2回分

	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	71, 73	75, 73	69, 70
$A_2$	78, 79	76, 75	72, 74
$A_3$	74, 76	82, 81	77, 76

例題 5.3　収率データの分散分析と最適条件 ★★★

オリジナル表 5.1 のデータについて、次の問に答えよ。

データの構造式を書け。
$y_{ijk}=x_{ijk}-70$ と変換して、AB 2元表を作れ。平方和と自由度を求めて分散分析表を作れ。
有意水準 5% と 1% で検定し、交互作用をプールするかどうか判断せよ。
収率が最大になる条件を選び、その母平均の点推定値と信頼率 95% の信頼区間を求めよ。

次の値を用いよ。

$\begin{aligned}&F_{2,9}(0.05)=4.256, && F_{2,9}(0.01)=8.022, && F_{4,9}(0.05)=3.633,\\ &F_{4,9}(0.01)=6.422, && t_9(0.025)=2.262 .\end{aligned}$

解答

構造式と制約は次のとおりである（ $i,j=1,2,3$ 、 $k=1,2$ ）。

$\begin{aligned}&x_{ijk}=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}+\varepsilon _{ijk},\qquad \varepsilon _{ijk}\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2)\ \text{独立},\\ &\textstyle\sum a_i=\sum b_j=0,\qquad \sum_i(ab)_{ij}=\sum_j(ab)_{ij}=0 .\end{aligned}$ 2. 70 を引いても偏差は変わらないので、平方和は $y$ で計算してよい。 $y$ のセルの和 $T_{ij\cdot}$ の2元表は次のとおりである。

	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$T_{i\cdot\cdot}$
$A_1$	4	8	$-1$	11
$A_2$	17	11	6	34
$A_3$	10	23	13	46
$T_{\cdot j\cdot}$	31	42	18	$T=91$

修正項は $CT=91^2/18=8281/18=460.06$ 。2元表のセルの和の2乗和は $4^2+8^2+(-1)^2+17^2+11^2+6^2+10^2+23^2+13^2=1325$ である。個々のデータの2乗和は $\sum y^2=673$ である。(5.7) より

$\begin{aligned} S_T&=673-460.06=212.94,\\ S_A&=\frac{11^2+34^2+46^2}{6}-CT=\frac{3393}{6}-460.06=105.44,\\ S_B&=\frac{31^2+42^2+18^2}{6}-CT=\frac{3049}{6}-460.06=48.11,\\ S_{AB}&=\frac{\sum_{i,j}T_{ij\cdot}^2}{2}-CT=\frac{1325}{2}-460.06=202.44,\\ S_{A\times B}&=202.44-105.44-48.11=48.89,\qquad S_e=212.94-202.44=10.50. \end{aligned}$

自由度は次のとおりである。

$\phi_A=\phi_B=2,\qquad \phi_{A\times B}=4,\qquad \phi_e=9\cdot1=9,\qquad \phi_T=17 .$

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$	判定
$A$	105.44	2	52.72	45.19	$^{**}$
$B$	48.11	2	24.06	20.62	$^{**}$
$A\times B$	48.89	4	12.22	10.48	$^{**}$
$e$	10.50	9	1.167
計	212.94	17

3. 3つとも 1% で有意である。

$F_A=45.19>8.022,\qquad F_B=20.62>8.022,\qquad F_{A\times B}=10.48>6.422 .$

交互作用が有意なのでプールしない。4. 交互作用を残すので、組合せの平均 $\bar x_{ij\cdot}$ を比べる。組合せの平均は次のとおりである。

	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	72.0	74.0	69.5
$A_2$	78.5	75.5	73.0
$A_3$	75.0	81.5	76.5

最大は $A_3B_2$ の 81.5 である。有効反復数は $n_e=r=2$ なので

$t_9(0.025)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}=2.262\times\sqrt{\frac{1.167}{2}}=2.262\times0.7638=1.728.$

点推定値 81.5、信頼区間 $81.5\pm1.73$ 、すなわち $[79.77,\ 83.23]$ である。

組合せの平均を図示すると図 5.2 になる。

$B$ の主効果だけを見れば、 $B_2$ が最良である。
$A$ の主効果だけを見れば、 $A_3$ が最良である。

この例では、最良の組合せは主効果どうしの組合せと一致した。しかし $A_2$ では $B_1$ が最良である。 $A$ の水準によって、 $B$ の最良の水準が変わっている。これが交互作用の表れである。

図 5.2　表 5.1 の組合せの平均。実線が $B_1$ 、破線が $B_2$ 、点線が $B_3$ 。 $B_1$ の折れ線だけが $A_2$ で頂点を持ち、ほかの2本と平行でない。

交互作用があるのにプールした推定を使うと

この例で誤って $A\times B$ をプールしたとする。(5.13) で $A_3B_2$ を推定すると

$\bar x_{3\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot2\cdot}-\bar x=77.67+77.00-75.06=79.61$

となり、組合せの平均 81.5 より約 1.9 低い。交互作用 $(ab)_{32}$ の推定値 $81.5-79.61=1.89$ の分だけ偏りが入るからである。プールするかどうかは、検定の結果と推定の式の両方に影響する。

寄与率。

各要因が総変動のどれだけを説明するかを示す量を、寄与率と呼ぶ。平方和から誤差の分を除いて求める。

$\rho_A=\frac{S_A-\phi_AV_e}{S_T}$

$E(S_A)=\phi_A\sigma^2+mr\sum a_i^2$ から、誤差の寄与 $\phi_A\sigma^2$ を除くためである。誤差の寄与率は、すべての寄与率の和が 1 になるように次のようにとる。

$\rho_e=\frac{S_e+(\phi_A+\phi_B+\phi_{A\times B})V_e}{S_T}$

確認テスト

オリジナル

5.3-1 $A,B$ を2水準ずつとり、 $r=3$ 回の繰返しで次のデータを得た。分散分析表を作って検定せよ。上側点は $F_{1,8}(0.05)=5.318$ 、 $F_{1,8}(0.01)=11.26$ を用いよ。

$B_1$ $B_2$
$A_1$ 3, 5, 4 6, 7, 8
$A_2$ 7, 9, 8 6, 5, 7
5.3-2 例題 5.3 の最適条件 $A_3B_2$ で新たに1回実験したときの収率の、信頼率 95% の予測区間を求めよ。
5.3-3 例題 5.3 の各要因の寄与率 $\rho_A,\rho_B,\rho_{A\times B},\rho_e$ を求めよ。
5.3-4 例題 5.3 で、 $\mu(A_2B_1)-\mu(A_2B_2)$ の信頼率 95% の信頼区間を求めよ。水準 $A_2$ のもとで、 $B$ の水準 1 と 2 に差があると言えるか答えよ。

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