適用例

1. 構造式は次のとおりである。

$$x_{ij}=\mu+a_i+b_j+\varepsilon _{ij}\ (i=1,\dots,4,\ j=1,2,3),\qquad \textstyle\sum a_i=\sum b_j=0,\qquad \varepsilon _{ij}\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2)\ \text{独立}$$

各組合せで1回しか実験していないので、交互作用を入れると母数の個数 $1+3+2+6=12$ がデータの個数と等しくなる。誤差の自由度が0になる。過去の知見で交互作用が小さいと分かっていることを根拠に、交互作用を含めない加法模型を使う。2. 定数を引いても偏差は変わらないので、平方和は変換後の値で計算してよい。その表と和は次のとおりである。

修正項と2乗和は次のとおりである。

$$CT=2^2/12=0.333,\qquad \sum y_{ij}^2=36+9+4+4+1+9+1+16+25+0+0+9=114$$

(6.5) より

$$\begin{aligned} S_T&=114-0.333=113.67,\\ S_A&=\frac{(-11)^2+0^2+10^2+3^2}{3}-CT=\frac{230}{3}-0.333=76.33,\\ S_B&=\frac{(-7)^2+0^2+9^2}{4}-CT=\frac{130}{4}-0.333=32.17,\\ S_e&=113.67-76.33-32.17=5.17. \end{aligned}$$

自由度は $\phi_A=3,\ \phi_B=2,\ \phi_e=3\cdot2=6,\ \phi_T=11$。

$$F_A=29.55>F_{3,6}(0.01)=9.780,\qquad F_B=18.68>F_{2,6}(0.01)=10.92$$ 4. 加法模型では、2つの因子の最良の水準を別々に選べばよい。水準平均と全体の平均は次のとおりである。

$$\begin{aligned}&\bar x_{1\cdot}=44.33,\quad \bar x_{2\cdot}=48.00,\quad \bar x_{3\cdot}=51.33,\quad \bar x_{4\cdot}=49.00,\\ &\bar x_{\cdot1}=46.25,\quad \bar x_{\cdot2}=48.00,\quad \bar x_{\cdot3}=50.25,\qquad \bar x=48+2/12=48.17.\end{aligned}$$

最適条件は $A_3B_3$ である。点推定値は

$$\hat\mu(A_3B_3)=\bar x_{3\cdot}+\bar x_{\cdot3}-\bar x=51.33+50.25-48.17=53.42.$$

有効反復数は、2つの式のどちらでも $n_e=2$ になる。

$$\text{田口：}1/n_e=(1+3+2)/12=1/2,\qquad \text{伊奈：}1/n_e=1/3+1/4-1/12=6/12=1/2$$

信頼区間は

$$53.42\pm2.447\sqrt{\frac{0.861}{2}}=53.42\pm2.447\times0.656=53.42\pm1.61,$$

すなわち $51.81\le\mu(A_3B_3)\le55.02$ である。

1. 1元配置の誤差平方和は $S_T-S_A=113.67-76.33=37.33$ で、自由度は $4\cdot(3-1)=8$、平均平方は4.667である。$V_A=25.44$ は変わらないので $F_0=25.44/4.667=5.45$ である。$4.066<5.45<7.591$ で、5% で有意だが 1% では有意にならない。 2元配置では $F_0=29.55$ で 1% 有意だった。冷却速度の平方和32.17が1元配置では誤差に含まれ、誤差の平均平方が0.861から4.667へ5倍以上に増えたためである。
2. 推定量 $\bar x_{3\cdot}$ は3個の平均なので、どちらの解析でも $n_e=3$ である。区間の半幅は次のとおりで、2元配置の方が半分以下になる。

$$\text{2元配置：}2.447\sqrt{0.861/3}=1.31,\qquad \text{1元配置：}2.306\sqrt{4.667/3}=2.88$$

2元配置での $\mu(A_3)$ は「冷却速度の3水準で平均した $A_3$ の母平均」である。冷却速度の水準間の違いは行の平均のどれにも同じだけ入るので、温度の水準の比較には影響しない。