この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第6章 §6.3　★★ 構造式 → 分散分析表 → 交互作用を検定できない理由 → $n_e=lm/(l+m-1)$ で区間推定

繰返しのない2元配置法では、交互作用が無いという加法模型 (6.1) のもとで、偏差が3つの直交する部分に分かれる。総平方和は $S_T=S_A+S_B+S_e$ と分かれ、自由度は $l-1,\ m-1,\ (l-1)(m-1)$ である（定理 6.1）。期待平均平方は次のとおりで（定理 6.2）、$V_A/V_e$ が帰無仮説のもとで $F$ 分布に従う。

$$E(V_A)=\sigma^2+m\sigma_A^2,\qquad E(V_e)=\sigma^2$$

誤差平方和は、繰返しのある2元配置法で交互作用の平方和と呼んでいた量と同じ式である。交互作用が存在すれば、$E(V_e)=\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2$ となる (6.10)。交互作用まで含めると母数の個数がデータの個数と等しくなり、誤差分散だけを推定する平均平方が作れない。これが交互作用を検定できない理由である。

交互作用を無視して解析すると、検定は保守的になり、組合せの母平均の推定には $-(ab)_{ij}$ の偏りが入る。一方、$B$ が変量因子であれば、交互作用があっても $A$ の検定は正しい (6.11)。組合せの母平均は $\bar x_{i\cdot}+\bar x_{\cdot j}-\bar x$ で推定し、有効反復数は $n_e=lm/(l+m-1)$ である（定理 6.4）。

統計応用（理工学）は 90 分で 5 問から 3 問を選ぶ記述式で、この章の内容は次のような小問の連鎖で問われる。

1. データの構造式を書き、交互作用を含めない理由（あるいは含められない理由）を述べる。
2. 修正項・平方和・自由度を計算し、分散分析表を完成させる（空欄を埋める形もある）。
3. $E(V)$ の欄を書き、$F$ 分布表と比べて検定する。
4. 最適条件を選び、点推定・有効反復数（田口の式と伊奈の式）・信頼区間・予測区間を求める。
5. 発展として、交互作用があったときの誤差の期待平均平方の導出、$B$ をブロックとみなしたときの意味、ブロックを無視した解析との比較を問う。

「導出せよ」の形では、次の2つがよく問われる。

• $E(S_e)$（加法模型のもとと交互作用があるときの両方）。
• 推定量の分散 $(l+m-1)\sigma^2/(lm)$。

どちらも、平均の分散と共分散を「何個のデータの平均か」「何個のデータを共有するか」から数える計算になる。計算の量は第5章より少ないので、データから定数を引いて小さな整数にしてから計算すれば、試験時間の中で分散分析表まで作ることができる。