確認テストの解答

実験計画法　第6章 §6.4

1. 6.1-1 $N=20$。自由度は $\phi_A=4,\ \phi_B=3,\ \phi_e=4\cdot3=12,\ \phi_T=19$ で、$4+3+12=19$ と一致する。期待平均平方の欄は次のとおりである（$A$ の各水準平均は4個、$B$ の各水準平均は5個の平均）。

$$E(V_A)=\sigma^2+4\sigma_A^2,\qquad E(V_B)=\sigma^2+5\sigma_B^2,\qquad E(V_e)=\sigma^2$$

交互作用が存在すると、主効果の2つは変わらず、誤差の欄だけが $\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2$ に変わる（$\sigma_{A\times B}^2=\sum(ab)_{ij}^2/12$）。2. 6.1-2 (6.9) を残差に代入する。各平均は次のとおりである（行の平均では、列の主効果と交互作用が $j$ についての和で消える）。

$$\bar x_{i\cdot}=\mu+a_i+\bar\varepsilon _{i\cdot},\qquad \bar x_{\cdot j}=\mu+b_j+\bar\varepsilon _{\cdot j},\qquad \bar x=\mu+\bar\varepsilon$$

よって

$$e_{ij}=(ab)_{ij}+(\varepsilon _{ij}-\bar\varepsilon _{i\cdot}-\bar\varepsilon _{\cdot j}+\bar\varepsilon ).$$

2乗して和をとると

$$S_e=\sum_{i,j}(ab)_{ij}^2+2\sum_{i,j}(ab)_{ij}(\varepsilon _{ij}-\bar\varepsilon _{i\cdot}-\bar\varepsilon _{\cdot j}+\bar\varepsilon )+\sum_{i,j}(\varepsilon _{ij}-\bar\varepsilon _{i\cdot}-\bar\varepsilon _{\cdot j}+\bar\varepsilon )^2.$$

第2項は期待値が0である（誤差の部分の期待値が0）。第3項の期待値は、定理 6.2 の証明で求めた $(l-1)(m-1)\sigma^2$ である。よって

$$E(S_e)=(l-1)(m-1)\sigma^2+\sum_{i,j}(ab)_{ij}^2.$$

なお第2項は、交互作用の行と列の和が0であることから $2\sum(ab)_{ij}\varepsilon _{ij}$ に等しい。期待値が0であることが直接にも分かる。3. 6.1-3 行の和は 30, 34, 44、列の和は 30, 36, 42 である。総和・修正項・2乗和は

$$T=108,\qquad CT=108^2/9=1296,\qquad \sum x_{ij}^2=1356.$$

$$\begin{aligned} S_T&=1356-1296=60, & S_A&=\frac{900+1156+1936}{3}-1296=\frac{3992}{3}-1296=34.67,\\ & & S_B&=\frac{900+1296+1764}{3}-1296=\frac{3960}{3}-1296=24, \end{aligned}$$

$S_e=60-34.67-24=1.33$。

どちらも18.00を超えるので 1% で有意である。点推定値は

$$\bar x_{3\cdot}+\bar x_{\cdot3}-\bar x=14.67+14-12=16.67.$$

有効反復数は $n_e=9/(3+3-1)=1.8$ なので、信頼区間は

$$16.67\pm2.776\sqrt{0.333/1.8}=16.67\pm1.19,$$

すなわち $15.47\le\mu(A_3B_3)\le17.86$。4. 6.1-4 $N=20$ である。

1. (a) 田口の式で $1/n_e=(1+3+4)/20=8/20$。伊奈の式で $1/n_e=1/5+1/4-1/20=(4+5-1)/20=8/20$。どちらも $n_e=2.5$。
2. (b) 田口の式で $1/n_e=(1+\phi_A)/20=4/20$。伊奈の式で $1/n_e=1/m=1/5$。どちらも $n_e=5$。
3. (c) 2つの行の平均のそれぞれについては、(b) と同じく $1/n_e=1/5$ である（田口の式でも伊奈の式でも同じ）。2つの平均は共通するデータを持たないので共分散が0で、差の分散は2つの分散の和になる。よって $1/n_e=1/5+1/5=2/5$、分散は $2\sigma^2/5$ である。
4. 6.1-5 $\eta_{ij}=(ab)_{ij}+\varepsilon _{ij}$ とおくと、これらは互いに独立に $\mathrm{N}(0,\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2)$ に従う。$\bar b=\frac1m\sum_jb_j$ とおくと

$$\bar x_{i\cdot}=\mu+a_i+\bar b+\bar\eta_{i\cdot},\qquad \bar x=\mu+\bar b+\bar\eta.$$

$\bar b$ はどの行でも同じなので差では消え、$\bar x_{i\cdot}-\bar x=a_i+(\bar\eta_{i\cdot}-\bar\eta)$ となる。(6.7) で $n=l,\ \tau^2=(\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2)/m$ として

$$\begin{aligned}E(S_A)&=m\sum a_i^2+(l-1)(\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2),\\ E(V_A)&=\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2+m\sigma_A^2.\end{aligned}$$

残差に代入する。$\sum a_i=0$ から $\bar x_{\cdot j}=\mu+b_j+\bar\eta_{\cdot j}$ なので、母数と列の効果の平均はすべて打ち消し合う。

$$e_{ij}=\eta_{ij}-\bar\eta_{i\cdot}-\bar\eta_{\cdot j}+\bar\eta$$

定理 6.2 の証明と同じ計算で

$$E(S_e)=(l-1)(m-1)(\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2),\qquad E(V_e)=\sigma^2+\sigma_{A\times B}^2.$$

帰無仮説のもとで両者は等しい。2つの平方和は $\bm\eta$ の直交する部分空間への射影（$b_j$ はどちらにも入らない）なので独立である。よって次が成り立つ。

$$V_A/V_e\sim F_{l-1,(l-1)(m-1)}$$ 6. 6.2-1 自由度は $\phi_A=4,\ \phi_B=3,\ \phi_e=12,\ \phi_T=19$。残りの欄は次のとおりである。

$$S_B=V_B\phi_B=24,\quad S_T=48+24+24=96,\quad V_A=48/4=12,\quad V_e=24/12=2$$

$F_A=12/2=6.0>5.412$ で 1% 有意である。$F_B=8/2=4.0$ は $3.490<4.0<5.953$ で、5% 有意（1% では有意でない）。7. 6.2-2 $n_e=2,\ V_e=0.861,\ \phi_e=6$ なので

$$53.42\pm2.447\sqrt{\Big(1+\frac12\Big)\times0.861}=53.42\pm2.447\times1.137=53.42\pm2.78,$$

すなわち $50.64\le x\le56.20$ である。新しい1回のデータの誤差が加わるので、信頼区間（$\pm1.61$）より広くなる。8. 6.2-3 (6.16) から、半幅は $2.447\sqrt{2\times0.861/3}=2.447\times0.758=1.85$。3組の差は次のとおりである。

• $\bar x_{3\cdot}-\bar x_{1\cdot}=51.33-44.33=7.00$：半幅を超え、区間が0を含まないので差があると言える。
• $\bar x_{3\cdot}-\bar x_{4\cdot}=51.33-49.00=2.33$：同じく差があると言える。
• $\bar x_{4\cdot}-\bar x_{2\cdot}=49.00-48.00=1.00$：半幅以下で、区間 $1.00\pm1.85$ が0を含むので差があるとは言えない。

9. 6.2-4 純変動は次のとおりである。

$$\begin{aligned}S_A'&=S_A-\phi_AV_e=76.33-3\times0.861=73.75,\\ S_B'&=S_B-\phi_BV_e=32.17-2\times0.861=30.44,\\ S_e'&=S_e+(\phi_A+\phi_B)V_e=5.17+5\times0.861=9.47.\end{aligned}$$

総平方和113.67で割って

$$\rho_A=\frac{73.75}{113.67}=64.9\%,\qquad \rho_B=\frac{30.44}{113.67}=26.8\%,\qquad \rho_e=\frac{9.47}{113.67}=8.3\%$$

で、合計は100%になる。