繰返しのある3元配置法とは

実験計画法　第7章 §7.1　★★ 構造式に3因子交互作用まで入れ、平方和を8つに分けて期待平均平方を導く

第5章では、繰返しのある2元配置法を扱った。2つの因子 $A,B$ のすべての水準組合せで、$r$ 回ずつ実験する方法である。総平方和を次のように分けて検定した。

$$S_T=S_A+S_B+S_{A\times B}+S_e$$

さらに有効反復数 $n_e$ を使って、最適条件の母平均を推定した。

この章では因子を3つ以上に増やした多元配置法を扱う。中心になるのは、3つの因子 $A,B,C$ のすべての水準組合せで$r$ 回ずつ実験する繰返しのある3元配置法である。

この章で作る道具は次の3つである。

1. データの構造式に2因子交互作用と3因子交互作用を入れる。

$$A\times B,\quad A\times C,\quad B\times C,\qquad A\times B\times C$$

総平方和を8つの直交な部分に分け、それぞれの自由度と期待平均平方を導く。2. 3つの2元表と1つの3元表から、平方和を計算する手順を作る。3. 有意でない交互作用をプールする。そのあと残った要因に合わせて、最適条件の母平均の推定式を組み立てる。有効反復数を田口の式と伊奈の式で求めて、区間推定を行う。

統計応用（理工学）で多元配置法が出題されると、2元配置と同じ連鎖で問われる。

$$\text{構造式}\to\text{平方和と自由度}\to\text{分散分析表}\to F\text{ 検定}\to\text{プーリング}\to\text{最適条件の推定}$$

2元配置との違いは次の2点である。

1. 平方和の数が増える。
2. どの交互作用を残すかで、推定の式と $n_e$ が変わる。

第2の点は2元配置より選択肢が多く、記述式で差がつきやすい。

実験の形とデータの構造式

3つの因子の水準数を、次のようにとる。

$$A:\ l\text{ 水準},\qquad B:\ m\text{ 水準},\qquad C:\ n\text{ 水準}$$

水準組合せ $A_iB_jC_k$ は $lmn$ 通りある。そのそれぞれで $r$ 回ずつ実験する。

総実験回数は $N=lmnr$ で、すべての実験をランダムな順序で行う。この組合せの $s$ 回目のデータを $x_{ijks}$ と書く。データの構造式は次のとおりである。

$$x_{ijks}=\mu+a_i+b_j+c_k+(ab)_{ij}+(ac)_{ik}+(bc)_{jk}+(abc)_{ijk}+\varepsilon _{ijks},\qquad \varepsilon _{ijks}\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2)\ \text{独立}.\tag{7.1}$$

次の母数は、すべて未知の定数である。

• 主効果 $a_i,b_j,c_k$
• 2因子交互作用 $(ab)_{ij},(ac)_{ik},(bc)_{jk}$
• 3因子交互作用 $(abc)_{ijk}$

これらには、どの添字について和をとっても0という制約を置く。

$$\begin{gathered} \sum_i a_i=\sum_j b_j=\sum_k c_k=0,\qquad \sum_i(ab)_{ij}=\sum_j(ab)_{ij}=0,\ \dots,\\ \sum_i(abc)_{ijk}=\sum_j(abc)_{ijk}=\sum_k(abc)_{ijk}=0. \end{gathered}\tag{7.2}$$

ほかの2因子交互作用も、$(ab)_{ij}$ と同じく各添字の和が0である。3因子交互作用の制約は、残りの2つの添字を固定するごとに1本ずつある。

組合せの母平均を $\mu(A_iB_jC_k)$ と書き、平均をとった添字を点で表す。たとえば次のとおりである。

$$\bar\mu_{ij\cdot}=\frac1n\sum_k\mu(A_iB_jC_k)$$

制約 (7.2) のもとで、母平均を $k$ について平均する。すると $c_k,(ac)_{ik},(bc)_{jk},(abc)_{ijk}$ が消えて、次が残る。

$$\bar\mu_{ij\cdot}=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}$$

同じように平均を重ねると、各母数は組合せの母平均から一意に決まる。

$$\begin{aligned} \mu&=\bar\mu_{\cdot\cdot\cdot}, \qquad a_i=\bar\mu_{i\cdot\cdot}-\bar\mu_{\cdot\cdot\cdot},\qquad (ab)_{ij}=\bar\mu_{ij\cdot}-\bar\mu_{i\cdot\cdot}-\bar\mu_{\cdot j\cdot}+\bar\mu_{\cdot\cdot\cdot},\\ (abc)_{ijk}&=\mu(A_iB_jC_k)-\bar\mu_{ij\cdot}-\bar\mu_{i\cdot k}-\bar\mu_{\cdot jk}+\bar\mu_{i\cdot\cdot}+\bar\mu_{\cdot j\cdot}+\bar\mu_{\cdot\cdot k}-\bar\mu_{\cdot\cdot\cdot}. \end{aligned}\tag{7.3}$$

ほかの主効果と2因子交互作用も、$a_i,(ab)_{ij}$ と同じ形である。3因子交互作用の式は、包除原理と同じ符号の並びになっている。

• 3つの添字を持つ平均に $+$、2つの添字を持つ平均に $-$ をつける。
• 1つの添字を持つ平均に $+$、添字なしの平均に $-$ をつける。

3因子交互作用の意味

2つの交互作用の意味を並べる。

• 2因子交互作用 $A\times B$ は、「因子 $A$ の効果が、もう一方の因子の水準によって違う」ことであった。
• 3因子交互作用 $A\times B\times C$ は、「2因子交互作用 $A\times B$ の形が、残りの因子の水準によって違う」ことである。

これを、3つの因子がすべて2水準の場合に式で確かめる。$C_k$ を固定して、2水準の母平均から作る $A\times B$ の交互作用の対比を

$$D_k=\mu(A_1B_1C_k)-\mu(A_1B_2C_k)-\mu(A_2B_1C_k)+\mu(A_2B_2C_k)\tag{7.4}$$

とおく。$D_k$ は、$C_k$ のもとで描いた2因子の折れ線グラフが、平行からどれだけずれているかを表す。

構造式を代入すると、主効果と $A\times C$・$B\times C$ は4項の中で打ち消し合う。2水準の制約では、符号を変えるだけで値が決まる（$(ab)_{12}=-(ab)_{11}$ など）。これを使うと

$$D_k=4(ab)_{11}+4(abc)_{11k}$$

が残る。$(abc)_{112}=-(abc)_{111}$ なので、

$$(ab)_{11}=\frac{D_1+D_2}{8},\qquad (abc)_{111}=\frac{D_1-D_2}{8}\tag{7.5}$$

である。2つの交互作用は、次の量に対応する。

• $A\times B$ の交互作用は、2つの $D_k$ の平均に対応する。
• $A\times B\times C$ は、2つの $D_k$ の差に対応する。

$D_1=D_2$ なら、3因子交互作用は0である。$C$ の水準を変えても、$A\times B$ の折れ線のずれ方が同じだからである。

平方和の分解

和を次のように書く。

$$T_{ijk\cdot}=\sum_sx_{ijks},\qquad T_{ij\cdot\cdot}=\sum_{k,s}x_{ijks},\qquad T_{i\cdot\cdot\cdot}=\sum_{j,k,s}x_{ijks},\qquad T=\sum x_{ijks}$$

それぞれをデータ数で割った平均を、次のように書く。ほかの添字の組についても同じである。

$$\bar x_{ijk\cdot}\ (r\text{ 個の平均}),\qquad \bar x_{ij\cdot\cdot}\ (nr\text{ 個}),\qquad \bar x_{i\cdot\cdot\cdot}\ (mnr\text{ 個}),\qquad \bar x\ (N\text{ 個})$$

データの全体平均からの偏差を、(7.3) の母数を平均に置き換えた形の8つの部分に分ける。

$$\begin{aligned} x_{ijks}-\bar x={}&\underbrace{(\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}-\bar x)}_{A}+\underbrace{(\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}-\bar x)}_{B}+\underbrace{(\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-\bar x)}_{C} +\underbrace{(\bar x_{ij\cdot\cdot}-\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}-\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}+\bar x)}_{A\times B}\\ &+\underbrace{(\bar x_{i\cdot k\cdot}-\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}-\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}+\bar x)}_{A\times C} +\underbrace{(\bar x_{\cdot jk\cdot}-\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}-\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}+\bar x)}_{B\times C}\\ &+\underbrace{(\bar x_{ijk\cdot}-\bar x_{ij\cdot\cdot}-\bar x_{i\cdot k\cdot}-\bar x_{\cdot jk\cdot}+\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-\bar x)}_{A\times B\times C} +\underbrace{(x_{ijks}-\bar x_{ijk\cdot})}_{e}. \end{aligned}\tag{7.6}$$

右辺を足すと、次のように打ち消し合って左辺だけが残る。

• 3添字の平均 $\bar x_{ijk\cdot}$ は、3因子交互作用の項と誤差の項で打ち消す。
• 2添字の平均は、3因子交互作用の項の負号と、2因子交互作用の項の正号で打ち消す。
• 同様に、1添字の平均と全体平均も打ち消す。

証明

8つの部分を次のように書く。

$$u^A_i,\ u^B_j,\ u^C_k,\ u^{AB}_{ij},\ u^{AC}_{ik},\ u^{BC}_{jk},\ u^{ABC}_{ijk},\ u^e_{ijks}$$

添字が示すとおり、各部分は書かれた添字だけに依存する。さらに次の性質がある。各部分は、自分の持つどの添字について和をとっても0になる。

$u^A$ と $u^e$ については第5章と同じである。2因子交互作用の部分を $j$ について平均すると、次のとおり0になる。

$$\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}-\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}-\bar x+\bar x=0$$

3因子交互作用の部分を $k$ について平均すると、各項が次のように置き換わる。

$$\bar x_{ijk\cdot}\to\bar x_{ij\cdot\cdot},\qquad \bar x_{i\cdot k\cdot}\to\bar x_{i\cdot\cdot\cdot},\qquad \bar x_{\cdot jk\cdot}\to\bar x_{\cdot j\cdot\cdot},\qquad \bar x_{\cdot\cdot k\cdot}\to\bar x$$

よって

$$\bar x_{ij\cdot\cdot}-\bar x_{ij\cdot\cdot}-\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}-\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}+\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}+\bar x-\bar x=0$$

となる。$i$ や $j$ についても、対称な計算で0になる。

2つの異なる部分 $u^P$ と $u^Q$ の積の総和を考える。2つの部分の添字の集合は異なる。よって、どちらか一方の部分にだけ現れる添字 $t$ が少なくとも1つある。

• 組 $(u^A,u^{AB})$ なら、その添字は $j$ である。
• 組 $(u^{AB},u^{AC})$ なら、その添字は $j,k$ の2つである。

積の総和をとるとき、まずその添字 $t$ について和をとる。もう一方の部分は $t$ によらないので、和の外に出る。残った和は「自分の持つ添字についての和」なので0になる。

たとえば $\sum u^{AB}_{ij}u^{AC}_{ik}$ では、$j$ が片方にしか現れない。よって $j$ の和を先にとれば0である。$u^e$ とほかの部分の積は、添字 $s$ を先に足して0になる。したがって28個の交差項はすべて0で、2乗和は8つの部分の2乗和の和に分かれる。

自由度は、各部分が属する部分空間の次元である。

• $u^A$ は $l$ 個の値を持ち、和が0である。よって次元は $l-1$ である。
• $u^{AB}$ の次元は、第5章で示したとおり $(l-1)(m-1)$ である。
• $u^{ABC}$ の次元は、確認テスト 7.1-4 で示すとおり $(l-1)(m-1)(n-1)$ である。
• $u^e$ は、各組合せの中での和が0である。よって次元は $lmn(r-1)$ である。

$$\begin{gathered} \phi_A=l-1,\quad \phi_B=m-1,\quad \phi_C=n-1,\quad \phi_{A\times B}=(l-1)(m-1),\quad \phi_{A\times C}=(l-1)(n-1),\\ \phi_{B\times C}=(m-1)(n-1),\quad \phi_{A\times B\times C}=(l-1)(m-1)(n-1),\quad \phi_e=lmn(r-1). \end{gathered}\tag{7.8}$$

主効果と交互作用の自由度の和は、次のとおりである。

$$(1+(l-1))(1+(m-1))(1+(n-1))-1=lmn-1$$

これに $\phi_e$ を足すと $N-1=\phi_T$ になる。

計算の手順

修正項を $CT=T^2/N$ とおく。第5章の2元配置と同じく、各添字の組の和の2乗から $CT$ を引く。

$$\begin{aligned} S_T&=\sum x_{ijks}^2-CT,\qquad S_A=\sum_i\frac{T_{i\cdot\cdot\cdot}^2}{mnr}-CT,\\ S_B&=\sum_j\frac{T_{\cdot j\cdot\cdot}^2}{lnr}-CT,\qquad S_C=\sum_k\frac{T_{\cdot\cdot k\cdot}^2}{lmr}-CT,\\ S_{AB}&=\sum_{i,j}\frac{T_{ij\cdot\cdot}^2}{nr}-CT,\qquad S_{AC}=\sum_{i,k}\frac{T_{i\cdot k\cdot}^2}{mr}-CT,\\ S_{BC}&=\sum_{j,k}\frac{T_{\cdot jk\cdot}^2}{lr}-CT,\qquad S_{ABC}=\sum_{i,j,k}\frac{T_{ijk\cdot}^2}{r}-CT,\\ S_{A\times B}&=S_{AB}-S_A-S_B,\qquad S_{A\times C}=S_{AC}-S_A-S_C,\qquad S_{B\times C}=S_{BC}-S_B-S_C,\\ S_{A\times B\times C}&=S_{ABC}-S_A-S_B-S_C-S_{A\times B}-S_{A\times C}-S_{B\times C},\\ S_e&=S_T-S_{ABC}. \end{aligned}\tag{7.9}$$

$S_{AB}$ は、$AB$ 2元表のセルの間の平方和である。セルは $lm$ 個ある。これは分解 (7.6) のうち $u^A+u^B+u^{AB}$ の2乗和に等しい。理由は次の等式である。

$$\bar x_{ij\cdot\cdot}-\bar x=u^A_i+u^B_j+u^{AB}_{ij}$$

そこから主効果を引いた残りが $S_{A\times B}$ である。

$S_{ABC}$ は、$ABC$ 3元表のセルの間の平方和である。セルは $lmn$ 個ある。これは $u^e$ 以外の7つの部分の2乗和に等しい。したがって次のとおりである。

• $S_{A\times B\times C}$ は、$S_{ABC}$ から6つの平方和を引いたものになる。
• 誤差平方和 $S_e$ は、$S_T-S_{ABC}$ になる。

期待平均平方

証明

$A\times B$ について示す。ほかも同じ手順である。構造式を代入すると、制約 (7.2) によって

$$\bar x_{ij\cdot\cdot}=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}+\bar\varepsilon _{ij\cdot\cdot},\qquad \bar x_{i\cdot\cdot\cdot}=\mu+a_i+\bar\varepsilon _{i\cdot\cdot\cdot},\qquad \bar x_{\cdot j\cdot\cdot}=\mu+b_j+\bar\varepsilon _{\cdot j\cdot\cdot},\qquad \bar x=\mu+\bar\varepsilon$$

となる。$\bar x_{ij\cdot\cdot}$ では $k$ について平均する。そのため $c_k,(ac)_{ik},(bc)_{jk},(abc)_{ijk}$ の和が0になるからである。よって

$$u^{AB}_{ij}=(ab)_{ij}+\eta_{ij},\qquad \eta_{ij}=\bar\varepsilon _{ij\cdot\cdot}-\bar\varepsilon _{i\cdot\cdot\cdot}-\bar\varepsilon _{\cdot j\cdot\cdot}+\bar\varepsilon .$$

$\tau_{ij}=\bar\varepsilon _{ij\cdot\cdot}$ とおく。これは $lm$ 個の互いに重ならないデータの組の平均である。よって $\tau_{ij}$ は独立に $\mathrm{N}(0,\sigma^2/(nr))$ に従う。また次が成り立つ。

$$\bar\varepsilon _{i\cdot\cdot\cdot}=\bar\tau_{i\cdot},\qquad \bar\varepsilon _{\cdot j\cdot\cdot}=\bar\tau_{\cdot j},\qquad \bar\varepsilon =\bar\tau_{\cdot\cdot}$$

よって $\eta_{ij}=\tau_{ij}-\bar\tau_{i\cdot}-\bar\tau_{\cdot j}+\bar\tau_{\cdot\cdot}$ は、独立な表 $\tau$ を行と列で二重に中心化したものである。第5章の直交分解を $\tau$ の表に当てはめると

$$\sum_{i,j}(\tau_{ij}-\bar\tau_{\cdot\cdot})^2=m\sum_i(\bar\tau_{i\cdot}-\bar\tau_{\cdot\cdot})^2+l\sum_j(\bar\tau_{\cdot j}-\bar\tau_{\cdot\cdot})^2+\sum_{i,j}\eta_{ij}^2.$$

各項の期待値を順に求める。

• 左辺は $lm$ 個の独立な変数の偏差平方和である。期待値は $(lm-1)\sigma^2/(nr)$ である。
• 右辺第1項は、独立な変数 $\bar\tau_{i\cdot}$ の偏差平方和の $m$ 倍である。変数は $l$ 個で、各変数の分散は $\sigma^2/(mnr)$ である。よって期待値は $m(l-1)\sigma^2/(mnr)=(l-1)\sigma^2/(nr)$ である。
• 右辺第2項は、同様に $(m-1)\sigma^2/(nr)$ である。

したがって

$$E\Big[\sum_{i,j}\eta_{ij}^2\Big]=\frac{(lm-1)-(l-1)-(m-1)}{nr}\sigma^2=\frac{(l-1)(m-1)}{nr}\sigma^2.$$

$S_{A\times B}=nr\sum_{i,j}((ab)_{ij}+\eta_{ij})^2$ である。交差項は、$E[\eta_{ij}]=0$ により期待値が0になる。よって

$$E(S_{A\times B})=nr\sum_{i,j}(ab)_{ij}^2+(l-1)(m-1)\sigma^2,\qquad E(V_{A\times B})=\sigma^2+nr\,\sigma_{A\times B}^2.$$

$A\times B\times C$ では、$u^{ABC}_{ijk}=(abc)_{ijk}+\zeta_{ijk}$ と書く。誤差部分 $\zeta$ は、独立な表 $\bar\varepsilon _{ijk\cdot}$ を3方向に中心化したものになる。表の各値の分散は $\sigma^2/r$ である。同じ数え方で次を得る。

$$E\Big[\sum\zeta_{ijk}^2\Big]=\frac{(l-1)(m-1)(n-1)}{r}\sigma^2$$

係数 $r$ が掛かって、$E(S_{A\times B\times C})=r\sum(abc)^2+\phi_{A\times B\times C}\sigma^2$ となる。$E(V_e)=\sigma^2$ は、各組合せの内側の偏差平方和の期待値が $(r-1)\sigma^2$ であることから従う。

誤差が正規分布に従うとき、次が成り立つ。

• 8つの平方和は互いに独立である。
• $S_e/\sigma^2\sim\chi^2_{\phi_e}$ である。
• 各要因の効果が0という帰無仮説のもとで、その要因の $S/\sigma^2$ は $\chi^2_\phi$ に従う。

理由は第5章の定理（2元配置の $F$ 検定）と同じである。8つの部分が、$\mathbb{R}^N$ の互いに直交する部分空間への射影だからである。したがって各要因の $F_0=V/V_e$ は、帰無仮説のもとで $F_{\phi,\phi_e}$ に従う。分散分析表は次の形になる。

確認テスト

オリジナル

1. 7.1-1 水準数を $(l,m,n)=(4,3,2)$ とし、各組合せで $r=2$ 回実験する。$N$ と8つの平方和の自由度を求めよ。また、その和が $\phi_T$ に等しいことを確かめよ。
2. 7.1-2 繰返しのある3元配置で、次の場合を考える。

$$l=3,\quad m=2,\quad n=4,\quad r=2$$

7つの要因の $E(V)$ に現れる係数（$\sigma_A^2$ の係数など）をすべて求めよ。3. 7.1-3 3つの因子はいずれも2水準で、組合せの母平均は次のとおりである。

$$\begin{array}{c|cccc} & \mu(A_1B_1) & \mu(A_1B_2) & \mu(A_2B_1) & \mu(A_2B_2)\\\hline C_1 & 10 & 14 & 12 & 12\\ C_2 & 11 & 13 & 15 & 15 \end{array}$$

$D_1,D_2$ を求めよ。また $(ab)_{11}$ と $(abc)_{111}$ を求めよ。4. 7.1-4 制約 (7.2) のもとで、$(abc)_{ijk}$ のうち自由に値を決められるものの個数が $(l-1)(m-1)(n-1)$ であることを示せ。5. 7.1-5 繰返しのない3元配置（$r=1$）で $A\times B\times C$ を誤差とみなして分散分析を行った。$A\times B\times C$ が実際には0でないとする。このとき主効果 $A$ の検定にどのような影響が出るかを、期待平均平方を使って説明せよ。