適用例

実験計画法　第7章 §7.2　★★ 3つの2元表から分散分析表を作り、プールしたあと残った要因に合わせて推定式と $n_e$ を組み立てる

データと集計

ある樹脂の成形条件を調べるために、次の3つの因子を取り上げた。

• 成形温度 $A$（3水準）
• 保圧 $B$（2水準）
• 冷却時間 $C$（2水準）

各組合せで $r=2$ 回、計 $N=24$ 回の実験をランダムな順序で行った。特性値は曲げ強度で、大きいほどよい。計算を簡単にするため、測定値から一定の値を引いた整数で示す（定数を引いても平方和は変わらない）。

3元表の和 $T_{ijk\cdot}$（上の「和」の列）を、添字を1つずつ消して3つの2元表にまとめる。

平方和の計算

総和・修正項・2乗和は次のとおりである。

$$T=373,\qquad CT=373^2/24=5797.042,\qquad \sum x^2=6031$$

(7.9) の各式に代入する。各2元表のセルに入るデータの個数は、次のとおりである。

$$AB:\ nr=4,\qquad AC:\ mr=4,\qquad BC:\ lr=6$$

$$\begin{aligned} S_T&=6031-5797.042=233.958,\\ S_A&=\frac{101^2+133^2+139^2}{8}-CT=104.333,\\ S_B&=\frac{200^2+173^2}{12}-CT=30.375,\qquad S_C=\frac{167^2+206^2}{12}-CT=63.375,\\ S_{AB}&=\frac{56^2+45^2+74^2+59^2+70^2+69^2}{4}-CT=147.708,\\ S_{A\times B}&=147.708-104.333-30.375=13.000,\\ S_{AC}&=\frac{46^2+55^2+59^2+74^2+62^2+77^2}{4}-CT=170.708,\\ S_{A\times C}&=170.708-104.333-63.375=3.000,\\ S_{BC}&=\frac{92^2+108^2+75^2+98^2}{6}-CT=95.792,\\ S_{B\times C}&=95.792-30.375-63.375=2.042,\\ S_{ABC}&=\frac{26^2+30^2+\dots+39^2}{2}-CT=216.458,\\ S_{A\times B\times C}&=216.458-104.333-30.375-63.375-13.000-3.000-2.042=0.333,\\ S_e&=233.958-216.458=17.500. \end{aligned}$$

分散分析表とプーリング

$\phi_e=12\cdot1=12$、$V_e=17.500/12=1.458$ である。比べる $F$ 分布の点は次の4つである。

$$F_{1,12}(0.05)=4.747,\quad F_{1,12}(0.01)=9.330,\quad F_{2,12}(0.05)=3.885,\quad F_{2,12}(0.01)=6.927$$

分散分析表は次のとおりである。

次の3つの交互作用は、いずれも有意でなく、$F_0$ も2を下回る。

$$A\times C,\qquad B\times C,\qquad A\times B\times C$$

技術的にもこれらの交互作用は考えにくいとして、3つを誤差にプールする。プールは高次の交互作用から順に考えるのが普通である。$A\times B\times C$ が残っていると、それを構成する $A\times B$ などは推定の式から外せないからである（図 7.1 で上にある要因を残すと、その下にある要因もすべて残る）。

$$S_{e'}=17.500+3.000+2.042+0.333=22.875,\qquad \phi_{e'}=12+2+1+2=17,\qquad V_{e'}=\frac{22.875}{17}=1.346.$$

プール後の分散分析表は次のとおりである。比べる $F$ 分布の点は次の4つである。

$$F_{1,17}(0.05)=4.451,\quad F_{1,17}(0.01)=8.400,\quad F_{2,17}(0.05)=3.592,\quad F_{2,17}(0.01)=6.112$$

主効果 $A,B,C$ は 1% で、交互作用 $A\times B$ は 5% で有意である。

最適条件の推定

プール後に残った要因は $A,B,C,A\times B$ なので、組合せの母平均の構造は

$$\mu(A_iB_jC_k)=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}+c_k=\big[\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}\big]+\big[\mu+c_k\big]-\mu$$

である。右辺の3つの括弧は、順に $\bar x_{ij\cdot\cdot}$、$\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}$ と全体平均で推定できる。よって

$$\hat\mu(A_iB_jC_k)=\bar x_{ij\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-\bar x.\tag{7.11}$$

推定の式は、次の手順で組み立てる。

1. 残った要因を図 7.1 で包含する、最も上の要因の表の平均を足す。ここでは $AB$ 2元表と、1元表 $C$ である。
2. 重なって2回数えた部分を引く。ここでは $\mu$ である。

最適条件は、次の2つを組み合わせた $A_2B_1C_2$ である。

• $AB$ 2元表の平均が最大の $A_2B_1$。平均は $74/4=18.5$ である。$A\times B$ が有意なので、2つの因子は別々にでなく2元表で選ぶ。
• $C$ の平均が大きい $C_2$。平均は $206/12=17.167$ である。$C$ はほかの因子と交互作用を持たないので、それだけで選んでよい。

$$\hat\mu(A_2B_1C_2)=18.5+17.167-15.542=20.125\qquad(\bar x=373/24=15.542).$$

有効反復数は、伊奈の式で各平均の係数をデータ数で割って足すと

$$\frac1{n_e}=\frac1{nr}+\frac1{lmr}-\frac1N=\frac14+\frac1{12}-\frac1{24}=\frac{7}{24},$$

田口の式で点推定に用いた要因の自由度を数えると

$$\frac1{n_e}=\frac{1+\phi_A+\phi_B+\phi_{A\times B}+\phi_C}{N}=\frac{1+2+1+2+1}{24}=\frac7{24}$$

となり、どちらも $n_e=24/7$ である。第5章で述べたとおり、2つの式が一致するのには理由がある。この推定量は、次の要因が張る7次元の部分空間への射影の成分である。

$$\text{一般平均}+A+B+A\times B+C$$

釣り合った計画では、その射影行列の対角成分がすべて 7/24 に等しい。

信頼率 95% の信頼区間は、$t_{17}(0.025)=2.110$ を使って

$$20.125\pm2.110\sqrt{\frac{V_{e'}}{n_e}}=20.125\pm2.110\sqrt{1.346\times\frac7{24}}=20.125\pm2.110\times0.6265=20.125\pm1.322,$$

すなわち $[18.80,\ 21.45]$ である。この条件で新しく1回実験したときの値の 95% 予測区間は

$$20.125\pm2.110\sqrt{\Big(1+\frac7{24}\Big)1.346}=20.125\pm2.782,$$

すなわち $[17.34,\ 22.91]$ である。

もし交互作用を1つもプールしなければ、推定値は3元表の平均 $\bar x_{212\cdot}=40/2=20$ で $n_e=r=2$ となる。プールによって、区間は次の2つの理由で狭くなる。

• 推定に使うデータが実質的に増える。$n_e$ は2から $24/7\approx3.43$ へ増える。
• 誤差の自由度が12から17へ増える。

ただし、プールした交互作用が実際には0でないとする。このとき推定量の期待値は、真の母平均から次の量だけずれる。

$$E\bigl[\bar x_{ij\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-\bar x\bigr]-\mu(A_iB_jC_k)=(ac)_{ik}+(bc)_{jk}+(abc)_{ijk}$$

これがプールの判断を慎重に行う理由である。

確認テスト

オリジナル

1. 7.2-1 3つの因子がいずれも2水準で、$r=2$ の3元配置（$N=16$）を考える。$AB$ 2元表の和は次のとおりであった。

$$T_{11\cdot\cdot}=40,\quad T_{12\cdot\cdot}=52,\quad T_{21\cdot\cdot}=50,\quad T_{22\cdot\cdot}=46$$

次の4つを求めよ。

$$CT,\qquad S_A,\qquad S_B,\qquad S_{A\times B}$$

また2水準では次となることを確かめよ。

$$S_{A\times B}=\frac{(T_{11\cdot\cdot}-T_{12\cdot\cdot}-T_{21\cdot\cdot}+T_{22\cdot\cdot})^2}{N}$$ 2. 7.2-2 水準数を $(l,m,n)=(3,3,2)$、$r=2$ とする3元配置で、平方和は次のとおりであった。

分散分析表を作って検定せよ。交互作用をすべてプールした表でも検定せよ。プール後の最適条件の推定で、$n_e$ はいくらか。必要なら次の値を用いよ。

$$\begin{gathered}F_{2,18}(0.01)=6.013,\quad F_{1,18}(0.05)=4.414,\quad F_{1,18}(0.01)=8.285,\quad F_{4,18}(0.05)=2.928,\\ F_{2,18}(0.05)=3.555,\quad F_{2,30}(0.01)=5.390,\quad F_{1,30}(0.05)=4.171,\quad F_{1,30}(0.01)=7.562\end{gathered}$$ 3. 7.2-3 水準数を $(l,m,n)=(3,2,2)$、$r=2$ とする3元配置を考える。プール後に、2つの交互作用 $A\times B$ と $B\times C$ が残った。$\hat\mu(A_iB_jC_k)$ の式を書け。また $n_e$ を、伊奈の式と田口の式の両方で求めよ。4. 7.2-4 本節の適用例で、$\mu(A_2B_1C_2)-\mu(A_3B_1C_2)$ の点推定値と信頼率 95% の信頼区間を求めよ。5. 7.2-5 推定量 $\bar x_{ij\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-\bar x$ の分散が $\sigma^2\big(\frac1{nr}+\frac1{lmr}-\frac1N\big)$ であることを、平均どうしの共分散を計算して示せ。