2水準系直交配列表への因子の割り付け

実験計画法　第8章 §8.2　★★★ 交互作用は成分記号の積（列番号の2進のビットごとの排他的論理和）の列に現れる。これだけで割り付けが決まる

交互作用が現れる列

2つの2水準因子 $A,B$ の交互作用を符号で書く。効果の記号と制約は次のとおりとする。

• 一方の因子の主効果 $a_i$：$a_1+a_2=0$。
• 他方の因子の主効果 $b_j$：$b_1+b_2=0$。
• 交互作用 $(ab)_{ij}$：$\sum_i(ab)_{ij}=\sum_j(ab)_{ij}=0$。

2水準では制約から

$$a_2=-a_1,\qquad b_2=-b_1,\qquad (ab)_{11}=(ab)_{22}=-(ab)_{12}=-(ab)_{21}$$

となる。自由なパラメータは $a\coloneqq a_1,\ b\coloneqq b_1,\ \gamma\coloneqq(ab)_{11}$ の3つである。2つの因子を、それぞれ列[$j$]と列[$k$]に置く。第 $r$ 実験での効果の和は

$$a_i+b_j+(ab)_{ij}=a\,u_{rj}+b\,u_{rk}+\gamma\,u_{rj}u_{rk}\tag{8.3}$$

と書ける（$u=\pm1$ を代入すれば4通りとも確かめられる）。したがって交互作用は、符号ベクトルが成分ごとの積 $\bm u_j\odot\bm u_k$ である列に現れる。問題は、その積がどの列の符号ベクトルになるかである。

成分記号を使うとこれが機械的に決まる。$L_8$ の基本列[1]・[2]・[4]の水準を 0/1 の変数 $x_a,x_b,x_c$ で表す（水準1↔0、水準2↔1）。表 8.1 を見ると、次のようになっている。

• 成分記号 $ab$ の列[3]の水準は $x_a+x_b \pmod 2$。
• 成分記号 $abc$ の列[7]の水準は $x_a+x_b+x_c\pmod 2$。

一般に、成分記号に含まれる文字の変数を mod 2 で足したものになっている。符号は $u=(-1)^x$ なので、

$$u^{(a)}u^{(b)}=(-1)^{x_a+x_b}=u^{(ab)}$$

が成り立つ。成分記号どうしの積を、同じ文字を2つ含めば消す（$a^2=1$）という規則で計算すれば、それが積の列の成分記号になる。

証明

2つの列の成分記号を、文字の集合 $J,K$ とする。第 $r$ 行の水準変数は、mod 2 で

$$\sum_{s\in J}x_s,\qquad\sum_{s\in K}x_s$$

である。よって

$$u_{rj}u_{rk}=(-1)^{\sum_{s\in J}x_s+\sum_{s\in K}x_s}=(-1)^{\sum_{s\in J\triangle K}x_s},$$

ここで $J\triangle K$ は対称差（一方だけに含まれる文字の集合）である。両方に含まれる文字は $2x_s\equiv0$ で消える。対称差を成分記号に持つ列の符号がちょうど右辺である。2進表示では文字の集合がビットの集合なので、対称差はビットごとの排他的論理和である。

線点図

割り付けの見通しをよくするために、因子を点、2因子交互作用を線で表した図を使う。$L_8$ の標準的な線点図を図 8.1 に示す。左の図は、3点[1]・[2]・[4]を結ぶ線が交互作用の列[3]・[5]・[6]を表し、離れた点[7]が残りの列である。右の図は、列[1]から3本の線が出る形で、どれか1つの因子との交互作用だけを多く見たいときに使う（$1\oplus2=3,\ 1\oplus4=5,\ 1\oplus6=7$）。

割り付けの手順と交絡

割り付けは次の順で行う。

1. 要因を決める。 取り上げる因子と、技術的に存在しそうな2因子交互作用を決める。
2. 表の大きさを選ぶ。 その自由度の合計（主効果1つにつき1、2水準どうしの交互作用1つにつき1）に誤差の自由度を足して選ぶ（$L_8$ なら合計7まで、$L_{16}$ なら15まで）。
3. 列を決める。 交互作用を求める因子どうしを線で結んだ「要求の図」を描く。それを線点図に重ねるか、定理 8.6 の規則で直接計算して、主効果と求める交互作用がすべて異なる列に来るように列を決める。

何も置かない列の平方和を合計したものが誤差平方和になる。

同じ列に2つ以上の効果が入ることを交絡と呼ぶ（その2つを互いの別名と呼ぶ）。交絡した効果の平方和は1本の列平方和に合算されて分離できない。割り付けでは、知りたい効果どうしの交絡を避ける。

要求しなかった交互作用は「存在しない」と仮定しているので、それが誤差の列や因子の列と交絡しても割り付けとしては許される。ただしその仮定が誤っていると、誤差の列に入った交互作用は $V_e$ を大きくし、因子の列に入った交互作用は主効果の推定に偏りを生じる。

確認テスト

オリジナル

1. 8.2-1 (a) $L_8$ で列[1]と列[4]に因子を置いたとき、その交互作用はどの列に現れるか。(b) $L_{16}$ で列[3]と列[12]に因子を置いたとき、交互作用の列を成分記号の積と排他的論理和の両方で求めよ。
2. 8.2-2 2水準の因子 $A,B,C,D$ と交互作用 $A\times B,\ A\times C$ を、8行の直交表に割り付けたい（ほかは無視できる）。線点図を使って割り付けを1つ与え、誤差の列を答えよ。さらに、その割り付けで誤差の列に入る交互作用を答えよ。
3. 8.2-3 $L_{16}$ に2水準の因子 $A,B,C,D,F,G$ と、次の交互作用を割り付けたい。

$$A\times B,\quad A\times C,\quad B\times C,\quad A\times D$$割り付けを1つ与え、誤差の自由度を求めよ。4. 8.2-4 $L_8$ の列[1]・[2]・[4]・[7]に $A,B,C,D$ を置いた。定義関係 $I=ABCD$ を導き、2因子交互作用6つがどの列に2つずつ入るかを、定義関係を使って示せ。5. 8.2-5 2水準の因子が5つあり、2因子交互作用はすべて無視できるとき、$L_8$ に割り付けると誤差の自由度はいくつか。2因子交互作用のうち1つでも存在すると、何が起こりうるかを1文で述べよ。