2水準系直交配列表実験とは

実験計画法　第8章 §8.1　★★★ 「どの2列をとっても水準の組合せが同じ回数ずつ現れる」ことから、平方和が列ごとに分解できる

第5章の2元配置法と第7章の多元配置法では、因子の水準の組合せをすべて実験した。2水準の因子が7つあれば、組合せは $2^7=128$ 通りになる。実際の工程の改善では、因子は多いが、効果があるのは主効果と一部の2因子交互作用だけだろうと見込めることが多い。

そこで、組合せの一部だけを選んで実験し、それでも主効果と必要な交互作用を互いに混ざらない形で推定できるように組合せを選ぶ。その選び方を表にしたものが直交配列表（直交表）である。

この章では、2水準の直交配列表 $L_8(2^7)$ と $L_{16}(2^{15})$ を道具として作る。節の流れは次のとおりである。

1. 表の「直交」が何を意味し、なぜ総平方和が列ごとの平方和にきれいに分かれるのかを証明する（§8.1）。
2. 交互作用がどの列に現れるかを決める規則を導き、それを使って因子を列に割り付ける手順を述べる（§8.2）。
3. データの構造式を列の符号の線形モデルとして書き直し、列平方和の分布、期待平均平方、プーリング、最適条件での母平均の点推定と区間推定（有効反復数）までを導く（§8.3）。
4. 自作の数値例で、分散分析表の作成から最適条件の予測区間までを一通り計算する（§8.4）。

1級の統計応用（理工学）では、実験計画法の大問は「割り付けを決める → 平方和と自由度を求める → 分散分析表を作る →最適条件を決めて母平均を推定する → 有効反復数を使って信頼区間を作る」という小問の連鎖になりやすい。この章の4つの節は、その連鎖の各段に対応している。

$L_8(2^7)$ の形

表 8.1 が2水準系で最も小さい実用的な直交配列表 $L_8(2^7)$ である。記号 $L_8(2^7)$ は「8行（8回の実験）で、2水準の列が7本ある」ことを表す。各行が1回の実験、各列が1つの因子（または交互作用、または誤差）に対応し、表の中の 1, 2 はその実験で使う水準の番号である。

表の下の段に書いた $a,b,ab,c,\dots$ を成分記号と呼ぶ。成分記号の意味は §8.2 で説明する。

この表には2つの性質がある。第一に、どの列も水準1と水準2をちょうど4回ずつ含む。第二に、どの2列を取り出しても、水準の組 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ がちょうど2回ずつ現れる。たとえば列[1]と列[4]の組は、実験 No. 1〜8 の順に $(1,1),(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,1),(2,2)$ で、4種類が2回ずつである。

1本の列が表す因子の自由度は、2水準なので 1 である。$L_N(2^{N-1})$ の列の自由度の合計は $N-1$ である。これは、データ全体の総平方和の自由度に等しい。この一致が、次に示す平方和の分解の背景になっている。

「直交」の2つの意味

表の「直交」という語には、組合せの釣り合いとしての意味と、ベクトルの直交としての意味の2つがあり、両者は同値である。それを示すために、水準を符号に置き換える。

証明

組 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ の出現回数を $n_{11},n_{12},n_{21},n_{22}$ とする。符号の積 $u_{rj}u_{rk}$ は次のようになる。

• 組が $(1,1),(2,2)$ のどちらかなら $+1$。
• 組が $(1,2),(2,1)$ のどちらかなら $-1$。

したがって

$$\bm u_j^\top\bm u_k=n_{11}+n_{22}-n_{12}-n_{21}.$$

各列が水準1を $N/2$ 回含むことから

$$n_{11}+n_{12}=\frac N2,\qquad n_{11}+n_{21}=\frac N2,\qquad n_{11}+n_{12}+n_{21}+n_{22}=N$$

が成り立つ。これらから他の回数を $n_{11}$ で表す。

$$\begin{aligned}n_{12}&=n_{21}=\frac N2-n_{11}&&\text{（最初の2式）}\\ n_{22}&=N-n_{11}-2\Bigl(\frac N2-n_{11}\Bigr)=n_{11}&&\text{（第3式）}\end{aligned}$$

これらを代入すると

$$\bm u_j^\top\bm u_k=2n_{11}-2\Bigl(\frac N2-n_{11}\Bigr)=4n_{11}-N .$$

したがって $\bm u_j^\top\bm u_k=0$ と $n_{11}=N/4$ は同値である。そのとき他の3つの回数もすべて $N/4$ になる。

この同値性から、$L_N(2^{N-1})$ の符号ベクトルすべてと $\bm 1$ を合わせたものは、互いに直交する。本数はちょうど $N$ なので、これらは $\mathbb{R}^N$ の直交基底になる（長さはどれも等しい）。以後の平方和の分解と推定量の独立性は、すべてこの事実から導かれる。

列平方和と総平方和の分解

データを $x_1,\dots,x_N$ とし、次の記号を使う。

$$T=\sum_r x_r\ (\text{総和}),\qquad CT=\frac{T^2}{N}\ (\text{修正項}),\qquad S_T=\sum_r x_r^2-CT\ (\text{総平方和})$$

列[$k$]で水準1に当たるデータの和を $T_{k1}$ とする。水準2に当たるデータの和を $T_{k2}$ とする。

この式は、列[$k$]を2水準の1因子とみなしたときの1元配置の平方和と一致する。第2章で導いた1元配置の要因平方和は、各水準の繰返し数が $n$ のとき $S_A=\sum_i T_{i}^2/n-CT$ であった。ここで $n=N/2$ を代入すると

$$\frac{T_{k1}^2+T_{k2}^2}{N/2}-\frac{(T_{k1}+T_{k2})^2}{N} =\frac{2T_{k1}^2+2T_{k2}^2-T_{k1}^2-2T_{k1}T_{k2}-T_{k2}^2}{N} =\frac{(T_{k1}-T_{k2})^2}{N}$$

となる。また $T_{k1}-T_{k2}=\bm u_k^\top\bm x$ なので、$S_{[k]}=(\bm u_k^\top\bm x)^2/N$ とも書ける。

証明

ベクトルを長さ1にそろえて

$$\bm e_0=\frac{\bm 1}{\sqrt N},\qquad\bm e_k=\frac{\bm u_k}{\sqrt N}\quad(k=1,\dots,N-1)$$

とおく。命題 8.3 より、これらは $\mathbb{R}^N$ の正規直交基底である。正規直交基底での展開については、Parseval の等式

$$\lVert \bm x\rVert ^2=\sum_{k=0}^{N-1}(\bm e_k^\top\bm x)^2$$

が成り立つ。各項は

$$(\bm e_0^\top\bm x)^2=\frac{T^2}{N}=CT,\qquad(\bm e_k^\top\bm x)^2=\frac{(\bm u_k^\top\bm x)^2}{N}=S_{[k]}$$

なので

$$\sum_r x_r^2=CT+\sum_{k=1}^{N-1}S_{[k]} ,$$

すなわち $S_T=\sum_{k}S_{[k]}$ を得る。

自由度も $\phi_T=N-1=\sum_k 1$ と分解される。各要因の平方和は、次のように列平方和から読む。

• 因子を列[$k$]に置けば、その平方和は $S_A=S_{[k]}$ である。
• 交互作用が列[$j$]に現れるなら、その平方和は $S_{A\times B}=S_{[j]}$ である。
• 何も割り付けなかった列の平方和を合計したものが、誤差平方和 $S_e$ になる。

分散分析表は、この分解をそのまま並べたものである。

確認テスト

オリジナル

1. 8.1-1 $L_{16}(2^{15})$ の行数と列数を答えよ。各列の各水準は何回現れるか。任意の2列で各水準の組は何回現れるか。列平方和の自由度の合計はいくつか。
2. 8.1-2 列平方和を、$L_8$ のデータ $x_1,\dots,x_8$ の1元配置（2水準・繰返し4）の要因平方和として計算せよ。そして $S_{[k]}=(T_{k1}-T_{k2})^2/8$ となることを示せ。さらに、平均 $\bar x_{k1}=T_{k1}/4,\ \bar x=T/8$ を使って $S_{[k]}=8\,(\bar x_{k1}-\bar x)^2$ とも書けることを示せ。
3. 8.1-3 $L_8(2^7)$ で実験 No. 1〜8 の順に $5,7,6,4,9,11,8,6$ を得た。$S_T$ と7本の列平方和を求め、分解 (8.2) を確かめよ。
4. 8.1-4 2水準の表で、各列が水準を $N/2$ 回ずつ含み、どの2列の符号ベクトルも直交しているとする。2つの列の水準の組 $(1,2)$ の出現回数が $N/4$ であることを、命題 8.3 の記号を使って示せ。
5. 8.1-5 $L_8$ の列[1]・[2]・[3]を見ると、3列の水準の組は4種類しか現れない。列[3]の符号ベクトルが列[1]と列[2]の符号ベクトルの成分ごとの積に等しいことを確かめ、これを使って理由を説明せよ。