確認テストの解答

実験計画法　第7章 §7.4

1. 7.1-1 $N=4\cdot3\cdot2\cdot2=48$、$\phi_T=47$ である。各要因の自由度は次のとおりである。

$$\begin{gathered}\phi_A=3,\quad \phi_B=2,\quad \phi_C=1,\quad \phi_{A\times B}=3\cdot2=6,\quad \phi_{A\times C}=3\cdot1=3,\\ \phi_{B\times C}=2\cdot1=2,\quad \phi_{A\times B\times C}=3\cdot2\cdot1=6,\quad \phi_e=4\cdot3\cdot2\cdot(2-1)=24\end{gathered}$$

和は $3+2+1+6+3+2+6+24=47=\phi_T$ で一致する。2. 7.1-2 定理 7.2 の係数は、その要因の表の1セルに入るデータ数である。

3. 7.1-3 $D_1=10-14-12+12=-4$、$D_2=11-13-15+15=-2$。(7.5) より

$$(ab)_{11}=\frac{-4+(-2)}{8}=-0.75,\qquad (abc)_{111}=\frac{-4-(-2)}{8}=-0.25.$$

2つの水準で折れ線のずれ方が違う（$D_1\neq D_2$）。よって3因子交互作用は0でない。4. 7.1-4 添字の範囲を次のようにとる。

$$i=1,\dots,l-1,\qquad j=1,\dots,m-1,\qquad k=1,\dots,n-1$$

この範囲の $(l-1)(m-1)(n-1)$ 個の値を任意に決める。残りが制約から一意に決まり、しかも矛盾しないことを示す。

残りの値を、次の3段で決める。

1. $i\le l-1,\ j\le m-1$ について、$k$ の和の制約から決める。

$$(abc)_{ijn}=-\sum_{k<n}(abc)_{ijk}$$ 2. $i\le l-1$ とすべての $k$ について、次の値を決める。$j$ の和の制約を使う。

$$(abc)_{imk}=-\sum_{j<m}(abc)_{ijk}$$ 3. 全 $j,k$ について、$i$ の和の制約から決める。

$$(abc)_{ljk}=-\sum_{i<l}(abc)_{ijk}$$

こうして作った値が、残りの制約も満たすことを確かめる。

• $i$ の和の制約は、手順3でそのまま満たされる。
• $j$ の和は、$i\le l-1$ では手順2で0になる。$i=l$ では次のとおり0になる。

$$\sum_j(abc)_{ljk}=-\sum_{i<l}\sum_j(abc)_{ijk}=0$$

• $k$ の和も同じ順で確かめる。$i\le l-1,\ j\le m-1$ では、手順1で0になる。残りの場合は次のとおりである。

$$\sum_k(abc)_{imk}=-\sum_{j<m}\sum_k(abc)_{ijk}=0,\qquad \sum_k(abc)_{ljk}=-\sum_{i<l}\sum_k(abc)_{ijk}=0$$

したがって、制約を満たす $(abc)$ 全体は、最初に決めた値と1対1に対応する。自由に決められるのは、ちょうど $(l-1)(m-1)(n-1)$ 個である。

別の見方もある。各添字の和が0のベクトル全体を、$\mathbb{R}^l$ の部分空間 $W_l$ とする。その次元は $l-1$ である。

制約を満たす $(abc)$ 全体はテンソル積 $W_l\otimes W_m\otimes W_n$ である。その次元は、各因子の次元の積 $(l-1)(m-1)(n-1)$ である。5. 7.1-5 定理 7.2 で $r=1$ とおくと、次のとおりである。

$$E(V_{A\times B\times C})=\sigma^2+\sigma_{A\times B\times C}^2$$

これを誤差とみなして、$F_0=V_A/V_{A\times B\times C}$ で検定する。帰無仮説 $a_i\equiv0$ のもとで、分子と分母の期待値は次のとおりである。

$$\text{分子}:\ \sigma^2,\qquad \text{分母}:\ \sigma^2+\sigma_{A\times B\times C}^2$$

よって $F_0$ は、$F$ 分布より小さい方へずれる。したがって検定は保守的になり（第1種の誤りの確率は $\alpha$ より小さくなる）、$A$ に効果があっても有意になりにくい（検出力が下がる）。6. 7.2-1 $T=40+52+50+46=188$、$CT=188^2/16=2209$。$A$ の和は 92 と 96 である。$B$ の和は 90 と 98 である。どれも8個のデータの和である。

$$S_A=\frac{92^2+96^2}{8}-2209=2210-2209=1,\qquad S_B=\frac{90^2+98^2}{8}-2209=2213-2209=4,$$

$$S_{AB}=\frac{40^2+52^2+50^2+46^2}{4}-2209=2230-2209=21,\qquad S_{A\times B}=21-1-4=16.$$

2水準の公式では $(40-52-50+46)^2/16=(-16)^2/16=16$ で一致する。7. 7.2-2 自由度は次のとおりで、和は $35=N-1$ である。

$$\begin{gathered}\phi_A=\phi_B=2,\quad \phi_C=1,\quad \phi_{A\times B}=4,\quad \phi_{A\times C}=\phi_{B\times C}=2,\\ \phi_{A\times B\times C}=4,\quad \phi_e=18\cdot1=18\end{gathered}$$

誤差の平均平方は $V_e=27.0/18=1.5$ である。

$$\begin{gathered} F_A=\frac{24}{1.5}=16.0,\quad F_B=\frac{10}{1.5}=6.67,\quad F_C=\frac{9}{1.5}=6.00,\quad F_{A\times B}=\frac{1.5}{1.5}=1.00,\\ F_{A\times C}=\frac{2.6}{1.5}=1.73,\quad F_{B\times C}=\frac{0.6}{1.5}=0.40,\quad F_{A\times B\times C}=\frac{1.1}{1.5}=0.73. \end{gathered}$$

判定は次のとおりである。

• $A$ と $B$ は 6.013 を超えて 1% 有意である。
• $C$ は $4.414<6.00<8.285$ で 5% 有意である。
• 交互作用は、どれも 5% で有意でない。

交互作用の $F_0$ はすべて2未満なので、プールする。

$$S_{e'}=27.0+6.0+5.2+1.2+4.4=43.8,\qquad \phi_{e'}=18+4+2+2+4=30,\qquad V_{e'}=1.46$$

$$F_A=\frac{24}{1.46}=16.44,\qquad F_B=\frac{10}{1.46}=6.85,\qquad F_C=\frac{9}{1.46}=6.16.$$

$A,B$ は 5.390 を超えて 1% 有意である。$C$ は $4.171<6.16<7.562$ で 5% 有意である。判定はプール前と同じである。

プール後は主効果だけが残るので、推定の式と有効反復数（田口の式）は次のとおりである。

$$\hat\mu=\bar x_{i\cdot\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-2\bar x,\qquad \frac1{n_e}=\frac{1+2+2+1}{36}=\frac16,\qquad n_e=6$$ 8. 7.2-3 残った要因は $A,B,C,A\times B,B\times C$ である。これらを包含する表は、2つの2元表 $AB$ と $BC$ である。両者の重なりは、$B$ の1元表である。よって

$$\hat\mu(A_iB_jC_k)=\bar x_{ij\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot jk\cdot}-\bar x_{\cdot j\cdot\cdot}.$$

（期待値は $[\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}]+[\mu+b_j+c_k+(bc)_{jk}]-[\mu+b_j]$ で、残った要因の和に一致する。）有効反復数を2つの式で求める。

• 伊奈の式：3つの平均は、それぞれ次の個数のデータの平均である。

$$\bar x_{ij\cdot\cdot}:\ nr=4,\qquad \bar x_{\cdot jk\cdot}:\ lr=6,\qquad \bar x_{\cdot j\cdot\cdot}:\ lnr=12$$

よって $1/n_e=1/4+1/6-1/12=1/3$ である。

• 田口の式：次のとおりである。

$$\frac1{n_e}=\frac{1+\phi_A+\phi_B+\phi_C+\phi_{A\times B}+\phi_{B\times C}}{N}=\frac{1+2+1+1+2+1}{24}=\frac13$$

どちらも $n_e=3$ である。9. 7.2-4 推定の式 (7.11) で $C_2$ の項は共通なので、差の推定量は $\bar x_{21\cdot\cdot}-\bar x_{31\cdot\cdot}=18.5-17.5=1.0$ である。2つの平均は、それぞれ $nr=4$ 個の重ならないデータの平均である。よって分散は $\sigma^2(1/4+1/4)=\sigma^2/2$ である。伊奈の式でも $1/n_e=1/4+1/4$ となる。

$$1.0\pm t_{17}(0.025)\sqrt{\frac{V_{e'}}2}=1.0\pm2.110\sqrt{0.673}=1.0\pm1.73,$$

すなわち $[-0.73,\ 2.73]$ で、$0$ を含むので2つの条件の母平均に差があるとは言えない。10. 7.2-5 3つの平均のデータ数と分散は、次のとおりである。

2つの平均の共分散を考える。それぞれのデータ数を $p,q$ とし、共通に含むデータの個数を $c$ とする。共通でないデータは独立なので寄与しない。よって共分散は $c\sigma^2/(pq)$ になる。

• $\bar x_{ij\cdot\cdot}$ と $\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}$ が共有するのは、ある1つの組合せのデータである。その組合せは $A_iB_jC_k$ で、個数は $r$ である。

$$\mathrm{Cov}=\frac{r\sigma^2}{nr\cdot lmr}=\frac{\sigma^2}{N}$$

• 全体平均はすべてのデータを含む。よって次のとおりである。

$$\mathrm{Cov}(\bar x_{ij\cdot\cdot},\bar x)=\frac{nr\sigma^2}{nr\cdot N}=\frac{\sigma^2}{N},\qquad \mathrm{Cov}(\bar x_{\cdot\cdot k\cdot},\bar x)=\frac{\sigma^2}{N}$$

よって

$$V[\bar x_{ij\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot\cdot k\cdot}-\bar x] =\sigma^2\Big[\frac1{nr}+\frac1{lmr}+\frac1N+\frac2N-\frac2N-\frac2N\Big] =\sigma^2\Big(\frac1{nr}+\frac1{lmr}-\frac1N\Big).$$

これは伊奈の式が与える $1/n_e$ と一致する。