適用例

2026年10月15日14分で読めますAI生成教科書『資格試験』第8章 2水準系直交配列表実験

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実験計画法　第8章 §8.4　★★★ 分散分析表の作成からプーリング、交互作用を含む最適条件の推定と区間推定までを1つの数値例で通す

ある樹脂部品の引張強度（大きいほど良い）を高めるため、次の2水準の因子を取り上げた。

$A$ ：成形温度、 $B$ ：保圧。
$C$ ：冷却時間、 $D$ ：添加剤の種類。

技術的な見込みから、交互作用 $A\times B,\ A\times C$ は存在しうるが、ほかの2因子交互作用は無視できると考えた。

主効果4つと交互作用2つで自由度は6なので、 $L_8$ を使う。図 8.1 の三角形型の線点図に $A=[1],\ B=[2],\ C=[4]$ を置く。すると $A\times B=[3],\ A\times C=[5]$ となる。

4つ目の因子は、残った列[6]・[7]のどちらかに置く。列[6]には無視した $B\times C$ が入る。

ここでは $D=[6]$ とし、誤差を列[7]とした。4つ目の因子と $B\times C$ は交絡するが、この交互作用は無いと仮定している。実験の順序は無作為化して、表 8.2 のデータを得た（単位は MPa の自作の数値）。

表 8.2　割り付けとデータ

	$A$	$B$	$A\times B$	$C$	$A\times C$	$D$	$e$
実験 No.	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	$x$
1	1	1	1	1	1	1	1	34
2	1	1	1	2	2	2	2	38
3	1	2	2	1	1	2	2	31
4	1	2	2	2	2	1	1	38
5	2	1	2	1	2	1	2	39
6	2	1	2	2	1	2	1	44
7	2	2	1	1	2	2	1	47
8	2	2	1	2	1	1	2	49

例題 8.4　分散分析表の作成とプーリング ★★★

オリジナル表 8.2 のデータについて、

$CT$ 、 $S_T$ と7本の列平方和を求めよ。
誤差を列[7]だけとした分散分析表を作れ（ $F_{1,1}(0.05)=161.4$ ）。
$F_0<2$ の要因をプーリングして分散分析表を作り直し、有意水準5%と1%で判定せよ（ $F_{1,3}(0.05)=10.13,\ F_{1,3}(0.01)=34.12$ ）。

解答

(1) $T=320$ 、 $CT=320^2/8=12800$ 。 $\sum x_r^2=1156+1444+961+1444+1521+1936+2209+2401=13072$ なので $S_T=13072-12800=272$ 。列ごとの和と列平方和は次のとおりである。

列	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
$T_{k1}$	141	155	168	151	158	160	163
$T_{k2}$	179	165	152	169	162	160	157
$S_{[k]}$	180.5	12.5	32.0	40.5	2.0	0	4.5

たとえば列[1]は $T_{11}=34+38+31+38=141$ 、 $S_{[1]}=(141-179)^2/8=1444/8=180.5$ 。列[5]は、表 8.1 の水準1が No. 1,3,6,8 なので

$T_{51}=34+31+44+49=158,\qquad T_{52}=38+38+39+47=162,\qquad S_{[5]}=\frac{(158-162)^2}{8}=2.0$

である。合計は $180.5+12.5+32.0+40.5+2.0+0+4.5=272=S_T$ で一致する。

(2) 誤差は列[7]で、 $S_e=4.5,\ \phi_e=1,\ V_e=4.5$ である。

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$
$A$	180.5	1	180.5	40.11
$B$	12.5	1	12.5	2.78
$A\times B$	32.0	1	32.0	7.11
$C$	40.5	1	40.5	9.00
$A\times C$	2.0	1	2.0	0.44
$D$	0	1	0	0.00
$e$	4.5	1	4.5
計	272.0	7

$F_{1,1}(0.05)=161.4$ なので、この段階ではどの要因も有意にならない。誤差の自由度が1しかないためである。

(3) $F_0<2$ の2要因（ $A\times C$ と4つ目の因子）を誤差にプールすると

$S_e'=4.5+2.0+0=6.5,\qquad\phi_e'=3,\qquad V_e'=6.5/3=2.167$

となる。

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$	判定
$A$	180.5	1	180.5	83.31	1%で有意
$B$	12.5	1	12.5	5.77	有意でない
$A\times B$	32.0	1	32.0	14.77	5%で有意
$C$	40.5	1	40.5	18.69	5%で有意
$e'$	6.5	3	2.167
計	272.0	7

保圧の主効果は有意でないが、交互作用 $A\times B$ が有意なので残す（プーリングしない）。

交互作用 $A\times B$ が有意なので、この2因子の最適水準は2元表の平均で決める。各組合せは2回ずつ実験されていて、平均は次のとおりである。

$\begin{aligned}\bar x_{A_1B_1}&=(34+38)/2=36.0,&\bar x_{A_1B_2}&=(31+38)/2=34.5,\\ \bar x_{A_2B_1}&=(39+44)/2=41.5,&\bar x_{A_2B_2}&=(47+49)/2=48.0\end{aligned}$

図 8.2 のように、 $A_1$ では保圧の水準による差が小さい。一方 $A_2$ では $B_2$ のほうがはっきり大きい。2本の線が平行でないことが交互作用である。

図 8.2　適用例の $A\times B$ の2元表の平均。実線＝ $B_1$ 、破線＝ $B_2$

冷却時間は、平均が

$\bar x_{C_1}=(34+31+39+47)/4=37.75,\qquad\bar x_{C_2}=(38+38+44+49)/4=42.25$

なので $C_2$ がよい。 $D$ はプーリングしたので、技術的な都合（費用など）で決めてよい。

例題 8.5　最適条件での母平均の推定 ★★★

オリジナル例題 8.4 の結果を使う（要因 $A,B,A\times B,C$ が残り、誤差は $V_e=6.5/3,\ \phi_e=3$ ）。

最適条件を求め、その母平均の点推定値を求めよ。
有効反復数を伊奈の式と田口の式で求めよ。
母平均の95%信頼区間と、最適条件で新たに1回実験したときの値の95%予測区間を求めよ（ $t_3(0.025)=3.182$ ）。

解答

(1) 2元表の平均が最大の $A_2B_2$ に、冷却時間の良い水準を組み合わせた $A_2B_2C_2$ が最適条件である。

$\hat\mu(A_2B_2C_2)=\bar x_{A_2B_2}+\bar x_{C_2}-\bar x=48.0+42.25-40.0=50.25 .$

(2) 伊奈の式： $\frac1{n_e}=\frac12+\frac14-\frac18=\frac58$ 、 $n_e=1.6$ 。田口の式：推定に用いた要因 $A,B,A\times B,C$ の自由度の和は4なので $n_e=8/(1+4)=1.6$ 。

(3) 信頼区間と予測区間の半幅を順に計算する。

$\begin{aligned}\text{信頼区間：}&\ \sqrt{V_e/n_e}=\sqrt{2.1667/1.6}=1.1637,&\text{半幅}&=3.182\times1.1637=3.703,\\ \text{予測区間：}&\ \sqrt{V_e(1+1/n_e)}=\sqrt{2.1667\times1.625}=1.8764,&\text{半幅}&=3.182\times1.8764=5.971\end{aligned}$

信頼区間は $50.25\pm3.70$ 、すなわち $[46.55,\ 53.95]$ である。予測区間は $50.25\pm5.97$ 、すなわち $[44.28,\ 56.22]$ である。

点推定値が観測値の最大を超えること

最適条件 $A_2B_2C_2$ は実験 No. 8 で実際に試していて、観測値は49である。点推定値50.25はこれより大きい。推定値は No. 8 の1個のデータでなく、 $A_2B_2$ の2個と $C_2$ の4個の情報を構造式に沿って合わせたものなので、観測値と一致しなくてよい。

確認テスト

オリジナル

8.4-1 適用例で、最適条件 $A_2B_2C_2$ と現行条件 $A_1B_1C_1$ の母平均の差の点推定値を求めよ。その推定量の分散が $\frac32\sigma^2$ であることを示し、95%信頼区間を求めよ。
8.4-2 適用例で交互作用を無視し、主効果 $A,B,C$ だけで最適条件の母平均を推定したとする。点推定値と $n_e$ はいくつになるか。例題 8.5 と比べて何が違うかを述べよ。
8.4-3 適用例の割り付けで、 $D=[6]$ と同じ列に入る2因子交互作用を挙げよ。また、 $B\times C$ も存在しうると考え直したとする。 $L_8$ のまま、4因子と次の交互作用を割り付けると何が起こるかを述べよ。

$A\times B,\quad A\times C,\quad B\times C$ 4. 8.4-4 適用例のデータについて、2元表から求めた平方和

$S_{AB}=\sum_{i,j}\frac{T_{A_iB_j}^2}{2}-CT$

を計算し、 $S_{AB}=S_A+S_B+S_{A\times B}$ を確かめよ。

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