この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第8章 §8.5　★★★ 割り付け → 列平方和 → プーリング → 推定式 → $n_e$ → 区間、の連鎖

この章の要点は、次の3段にまとまる。

1. 直交性と平方和の分解。 2水準の直交配列表は、どの2列でも水準の組合せが同じ回数ずつ現れる表である。これは、列の符号ベクトルが互いに直交し、$\bm 1$ とも直交することと同値である。これらが $\mathbb{R}^N$ の直交基底になるので、総平方和は列平方和 $S_{[k]}=(T_{k1}-T_{k2})^2/N$ の和に分解される。

2. 割り付け。 2因子の交互作用は符号の積の列に現れ、その列は成分記号の積（標準の表では列番号の排他的論理和）で決まる。割り付けでは、知りたい効果どうしが同じ列で交絡しないように列を選び、残った列を誤差とする。

3. 解析。 構造式を列の符号の線形モデル (8.4) と見る。すると次のことが、すべて同じ直交性から導かれる。

   • 列平方和が独立に $\sigma^2\chi^2_1$ に従うこと（効果があれば非心）と、$E(S_{[k]})=\sigma^2+N\beta_k^2$。
   • プーリング後の $F$ 検定と、点推定 (8.6)。
   • 有効反復数 $n_e=N/(1+\text{用いた自由度の和})$。

1級の統計応用（理工学）は90分で5問から3問を選ぶ記述式で、2025年の理工学には実験計画法の大問は無かった。出題される場合、この章の道具は次のような小問の連鎖で問われると考えられる。

1. 要求された交互作用を満たす割り付けを、$L_8$ または $L_{16}$ で示す。
2. 与えられたデータ（または列ごとの和）から列平方和を計算する。
3. 分散分析表を作り、プーリングして検定する。
4. 最適条件の母平均の推定式を書く。
5. 伊奈の式で $n_e$ を求め、信頼区間や予測区間を作る。

証明の小問としては、命題 8.3（釣り合いと直交の同値）、定理 8.6（交互作用の列）、$E(V)$ の導出、$L_8$ に割り付けられないことの証明（例題 8.2）が候補になる。いずれも符号ベクトルの直交性と mod 2 の計算に帰着する。