3水準系直交配列表実験とは

実験計画法　第9章 §9.1　★★ 各列の効果空間（2次元）が互いに直交することから、平方和の分解・交互作用の2列・田口の式がすべて導かれる

第8章では、2水準の直交配列表 $L_8(2^7)$・$L_{16}(2^{15})$ を使い、因子の水準の組合せの一部だけを実験して主効果と必要な交互作用を取り出す方法を学んだ。2水準の因子では「水準を上げると特性値が上がるか下がるか」しか分からない。温度や濃度のような量的な因子では、特性値が中間の水準で最大になる（曲がる）ことがよくあり、これを見るには因子を3水準に取る必要がある。

3水準の因子が4つあれば組合せは $3^4=81$ 通り、5つなら243通りになるので、ここでも組合せの一部を選んで実験したい。その選び方を表にしたものが3水準系の直交配列表 $L_9(3^4)$・$L_{27}(3^{13})$ である。

この章では、2水準系で作った道具を3水準に拡張する。2水準系では列の符号ベクトル（$\pm1$ の列）が互いに直交することから平方和の分解を導いた。3水準の列は自由度が2なので、1本のベクトルで表すことはできない。そこで各列に「その列の水準だけで決まる2次元の部分空間」を対応させ、これらの部分空間が互いに直交することを示して平方和の分解を導く（§9.1 の前半）。

次に、2つの3水準因子の交互作用（自由度4）が、成分記号の積で決まる2本の列に分かれて現れることを証明し、割り付けの手順を述べる。そのうえで、列平方和の分布、期待平均平方、プーリング、最適条件での母平均の点推定と有効反復数を導く（§9.1 の後半）。最後に、$L_{27}$ を使った自作の数値例で、分散分析表の作成から最適条件の信頼区間・予測区間までを一通り計算する（§9.2）。

1級の統計応用（理工学）で直交配列表が問われる場合、2水準系と同じく「割り付け → 列平方和 → 分散分析表とプーリング → 推定式と有効反復数 → 区間推定」という小問の連鎖になると考えられる。3水準系に固有の注意点は、交互作用の平方和を2本の列平方和の和として求めること、自由度の数え方（主効果2・交互作用4）、田口の式 $n_e=N/(1+\text{推定に用いた要因の自由度の和})$ に入れる自由度が2水準系と違うことの3つである。

$L_9(3^4)$ と $L_{27}(3^{13})$ の形

表 9.1 が3水準系で最も小さい直交配列表 $L_9(3^4)$ である。記号 $L_9(3^4)$ は「9行（9回の実験）で、3水準の列が4本ある」ことを表す。各行が1回の実験、各列が1つの因子（または交互作用の一部、または誤差）に対応し、表の中の1, 2, 3はその実験で使う水準の番号である。最下段の $a,b,ab,ab^2$ は成分記号で、意味は後で説明する。

この表には2つの性質がある。第一に、どの列も水準1, 2, 3をちょうど3回ずつ含む。第二に、どの2列を取り出しても、水準の組 $(1,1),(1,2),\dots,(3,3)$ の9種類がちょうど1回ずつ現れる。たとえば列[3]と列[4]の組は、実験 No. 1〜9 の順に $(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,1),(1,2),(3,2),(1,3),(2,1)$ で、9種類が1回ずつである。

3水準の列が表す因子の自由度は2である。よって $L_N(3^{(N-1)/2})$ の列の自由度の合計は、次のように総平方和の自由度に等しい。

$$2\cdot\frac{N-1}{2}=N-1 .$$

この一致は2水準系と同じく、平方和が列ごとに分解されることの背景になっている。

表 9.2 が $L_{27}(3^{13})$ である。基本列は列[1]・[2]・[5]の3本で、成分記号は順に $a,b,c$ である。この3列では、水準の組 $3^3=27$ 通りがちょうど1回ずつ現れる。ほかの10本の列は、基本列から次の規則で作られている。

成分記号と列の作り方

基本列の水準を、値0, 1, 2をとる変数 $x_a,x_b,x_c$ で表す（水準1↔0、水準2↔1、水準3↔2）。成分記号 $a^{p}b^{q}c^{r}$（指数は0, 1, 2）の列は、1次式

$$f(x)=p\,x_a+q\,x_b+r\,x_c \pmod 3$$

の値0, 1, 2で実験を3群に分けた列である。たとえば $L_9$ の列[3]（成分記号 $ab$）を見る。その水準は、$x_a+x_b\pmod 3$ に1を足したものになっている。No. 4 では $x_a=1,x_b=0$ なので和は1、水準は2である。

ここで注意が1つある。1次式 $f$ と $2f$ は、値の付け方が1と2で入れ替わるだけで、実験を同じ3群に分ける。

$$f=0\iff2f=0,\qquad f=1\iff2f=2,\qquad f=2\iff2f=1 .$$

列として意味があるのは「どの実験を同じ群にまとめるか」だけなので、$f$ と $2f$ は同じ列を表す。成分記号では、$f\leftrightarrow2f$ が「記号を2乗して指数を3で割った余りを取る」操作に当たる。たとえば次のとおりである。

$$(ab)^2=a^2b^2,\qquad (a^2b)^2=a^4b^2=ab^2 .$$

そこで成分記号は、最初の文字の指数が1になる方で書く約束にする。$L_9$ の列[4]は、標準の表では水準が $2x_a+x_b\pmod3$ で付けられている。これを2倍した $x_a+2x_b$ が成分記号 $ab^2$ に当たる。$L_{27}$ の列[4]・[7]・[10]・[11]・[13]も同様で、表の水準番号は成分記号の1次式を2倍したもので付いている。

本によって水準番号の付け方が違うことがあるが、群の分け方は同じなので、平方和や推定の結果は変わらない。

「直交」と列の効果空間

2水準系では、列を $\pm1$ の符号ベクトルに置き換え、ベクトルの直交として「直交」を表した。3水準の列は3つの値をとるので、1本のベクトルでは表しきれない。そこで、列の水準だけで決まるベクトル全体を考える。

因子 $A$ を列[$k$]に置く。主効果を $a_1,a_2,a_3$ とする（$\sum a_i=0$）。各実験の主効果を並べると、次のように $\mathcal W_k$ の元になる。

$$(a_{t_{1k}},\dots,a_{t_{Nk}})^\top\in\mathcal W_k .$$

$\mathcal W_k$ は「列[$k$]に置いた因子の主効果がとりうるベクトル全体」と言い換えることができる。

証明

(1) 列[$k$]は各水準を $N/3$ 回含む。よって

$$\bm 1^\top g(\bm t_k)=\sum_r g(t_{rk})=\frac N3\sum_{l=1}^3 g(l)=0 .$$

(2) $g(\bm t_j)\in\mathcal W_j$、$h(\bm t_k)\in\mathcal W_k$ をとる。2列の水準の組が $(p,q)$ になる実験は、ちょうど $N/9$ 回ある。そこで内積を水準の組ごとにまとめると

$$g(\bm t_j)^\top h(\bm t_k)=\sum_{r=1}^N g(t_{rj})h(t_{rk})=\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3\frac N9\,g(p)h(q)=\frac N9\Bigl(\sum_{p}g(p)\Bigr)\Bigl(\sum_{q}h(q)\Bigr)=0 .$$

この命題の (2) は、2水準系の命題「釣り合いと直交の同値」の3水準版である。2水準系では各列の効果空間が1次元（符号ベクトルの定数倍）だったので、空間の直交とベクトルの直交が同じことになった。

列平方和と総平方和の分解

記号を次のように定める。

• データを $\bm x=(x_1,\dots,x_N)^\top$ とし、総和を $T$ とする。
• 修正項は $CT=T^2/N$、総平方和は $S_T=\sum_r x_r^2-CT$ とする。
• 全平均は $\bar x=T/N$ とする。
• 列[$k$]で水準 $l$ に当たるデータについて、和と平均を次のようにおく。

$$T_{kl}=(\text{その和}),\qquad \bar x_{kl}=\frac{T_{kl}}{N/3}.$$

この式は、列[$k$]を3水準の1因子とみなしたときの1元配置の要因平方和（各水準の繰返し数 $N/3$）そのものである。ベクトル $\bm d_k$ を、成分ごとに次で定める。

$$(\bm d_k)_r=\bar x_{k,t_{rk}}-\bar x\qquad(r=1,\dots,N).$$

これを列[$k$]の偏差ベクトルと呼ぶ。各水準の偏差 $\bar x_{kl}-\bar x$ が $N/3$ 回ずつ並ぶので

$$\lVert \bm d_k\rVert ^2=\frac N3\sum_{l=1}^3(\bar x_{kl}-\bar x)^2 =\frac N3\sum_{l}\bar x_{kl}^2-2\cdot\frac N3\,\bar x\sum_l\bar x_{kl}+N\bar x^2 =\sum_l\frac{T_{kl}^2}{N/3}-\frac{T^2}{N}=S_{[k]}\tag{9.2}$$

となる（$\sum_l\bar x_{kl}=3\bar x$ を使った）。

証明

$\sum_l(\bar x_{kl}-\bar x)=3\bar x-3\bar x=0$ なので $\bm d_k\in\mathcal W_k$ である。あとは $\bm x-\bm d_k$ が $\mathcal W_k$ と直交することを示せばよい。$\bm x-\bm d_k$ の第 $r$ 成分は次のとおりである。

$$(x_r-\bar x_{k,t_{rk}})+\bar x .$$

任意の $g(\bm t_k)\in\mathcal W_k$ との内積は、定数の部分 $\bar x\bm 1$ が命題 9.3 (1) で消えるので

$$\sum_{r}(x_r-\bar x_{k,t_{rk}})\,g(t_{rk})=\sum_{l=1}^3 g(l)\sum_{r:\,t_{rk}=l}(x_r-\bar x_{kl})=\sum_l g(l)\cdot 0=0$$

となる（水準 $l$ の群の中で、平均からの偏差の和は0）。

証明

命題 9.3 より、$\mathrm{span}(\bm 1),\mathcal W_1,\dots,\mathcal W_m$ は互いに直交する部分空間で、次元の和は $1+2m=N$ である。互いに直交する部分空間の和は直和なので、その次元は $N$、すなわち $\mathbb{R}^N$ 全体に等しい：

$$\mathbb{R}^N=\mathrm{span}(\bm 1)\oplus\mathcal W_1\oplus\cdots\oplus\mathcal W_m .$$

したがって $\bm x$ は各部分空間への射影の和に一意に分解され、各射影は互いに直交する。$\mathrm{span}(\bm 1)$ への射影は $\bar x\bm 1$ である。$\mathcal W_k$ への射影は、補題 9.5 より $\bm d_k$ である。よって

$$\bm x=\bar x\bm 1+\sum_{k=1}^m\bm d_k,\qquad \lVert \bm x\rVert ^2=N\bar x^2+\sum_{k=1}^m\lVert \bm d_k\rVert ^2 .$$

ここに $N\bar x^2=CT$ と $\lVert \bm d_k\rVert ^2=S_{[k]}$（式 (9.2)）を代入する。すると $\sum_r x_r^2=CT+\sum_k S_{[k]}$ となり、主張を得る。

因子 $A$ を列[$k$]に置くとする。このとき $S_A=S_{[k]}$ である。何も置かなかった列の平方和の合計は、誤差平方和 $S_e$ になる。次の項で見るように、3水準の2因子交互作用は2本の列に現れ、その平方和は2本の列平方和の和になる。

交互作用が現れる列

2つの3水準因子 $A$、$B$ の交互作用を考える。$A$ は列[$j$]に置く。$B$ は列[$k$]に置く。交互作用を $(ab)_{pq}$（$p,q=1,2,3$）と書くと、これは次の制約を満たす。

$$\sum_p(ab)_{pq}=\sum_q(ab)_{pq}=0 .$$

よって自由に選べる値は $(3-1)(3-1)=4$ 個であり、交互作用の自由度は4である。1本の列の自由度は2なので、交互作用は2本の列を必要とする。どの2本かを決めるのが次の定理である。

証明

2列の水準を決める1次式を、それぞれ $f,g$ とする。2列の水準の組 $(f,g)$ は9種類がそれぞれ $N/9$ 回ずつ現れる。

組 $(f,g)$ だけで決まるベクトル全体は9次元である。そのうち $\bm 1$ と直交するもの全体を $\mathcal U$ とおく。これは8次元である。

$\mathcal U$ の中身を次の3段で調べる。

1. 1次式 $f+g$、$f+2g$ の値は、2列の水準の組から決まる。よってこれらが表す列の効果空間は $\mathcal U$ に含まれる。$\mathcal W_j,\mathcal W_k$ も $\mathcal U$ に含まれる。
2. 4つの1次式は異なる列を表す。$f$ と $g$ は別の列なので、互いに定数倍でない。したがって $f+g$ と $f+2g$ は0でない。 $f,\ g,\ f+g,\ f+2g$ はどの2つも互いに定数倍の関係にない。たとえば $f+g=c\,f$ なら $g=(c-1)f$ となる。これは2つが別の列であることに反する。ほかの組も同様である。
3. $L_9$・$L_{27}$ は、0でない1次式を定数倍の違いを除いてすべて列として持つ。$L_9$ の列は $(9-1)/2=4$ 本である。$L_{27}$ の列は $(27-1)/2=13$ 本である。よって $f+g$ と $f+2g$ の列は表の中にある。

命題 9.3 より4つの効果空間は互いに直交し、それぞれ2次元なので、直和の次元は8で $\mathcal U$ に一致する：

$$\mathcal U=\mathcal W_j\oplus\mathcal W_k\oplus\mathcal W_{f+g}\oplus\mathcal W_{f+2g} .$$

交互作用のベクトルを $\bm\gamma$ とする。その第 $r$ 成分は $(ab)_{t_{rj}t_{rk}}$ である。$\bm\gamma$ は $\mathcal U$ に属する。さらに $\mathcal W_j$ と直交する。実際、$g_0(\bm t_j)\in\mathcal W_j$ との内積は

$$\sum_r(ab)_{t_{rj}t_{rk}}\,g_0(t_{rj})=\frac N9\sum_{p}g_0(p)\sum_{q}(ab)_{pq}=0$$

である。同様に $\mathcal W_k$ とも直交するので、$\bm\gamma\in\mathcal W_{f+g}\oplus\mathcal W_{f+2g}$。逆にこの直和の元は $\mathcal U$ に属し、$\mathcal W_j,\mathcal W_k$ と直交する。よって交互作用のとりうるベクトル全体は、ちょうどこの直和である（次元も $4=(3-1)^2$ で一致する）。

最後に成分記号との対応を述べる。1次式 $f$ には成分記号 $P$ が対応する。同様に $g$ には $Q$ が対応する。

1次式の和は成分記号の積に、2倍は2乗に対応する。よって次の対応がある。

$$f+g\leftrightarrow PQ,\qquad f+2g\leftrightarrow PQ^2 .$$

ここで指数は3で割った余りを取り、最初の文字の指数が2になったら全体を2乗して1にそろえる。

線点図と割り付け

2水準系と同じく、因子を点、2因子交互作用を線で表した線点図を使う。3水準系では1本の線に2本の列が対応する。

$L_9$ の線点図は、2点[1]・[2]を「3, 4」の線で結んだものである。$L_{27}$ の標準的な線点図を図 9.1 に示す。3点[1]・[2]・[5]を結ぶ3本の線がそれぞれ交互作用の2列（[3]・[4]、[6]・[7]、[8]・[11]）を表し、離れた4点[9]・[10]・[12]・[13]が残りの列である。

割り付けの手順は2水準系と同じである。最初に、取り上げる因子と、技術的に存在しそうな2因子交互作用を決める。自由度の合計（3水準の主効果1つにつき2、交互作用1つにつき4）に誤差の自由度を足し、表の大きさを選ぶ（$L_9$ なら合計8まで、$L_{27}$ なら26まで）。

次に、交互作用を求める因子どうしを線で結んだ要求の図を線点図に重ねるか、定理 9.7 の規則で直接計算して、主効果と求める交互作用の2列がすべて異なる列に来るように決める。何も置かない列の平方和の合計が誤差平方和である。

同じ列に2つ以上の効果が入ることを交絡と呼ぶ。3水準系では、交互作用の2列のうち1列だけがほかの因子と重なることも起こる。

たとえば $L_9$ の列[1]・[2]・[3]に $A,B,C$ を置く。列[3]は $A\times B$ の2列のうちの1本である。そのため $C$ の主効果と $A\times B$ の一部が交絡する。$A\times B$ が存在しないと仮定できるときに限って、この割り付けが許される。

解析方法

構造式と列平方和の分布

$L_N(3^m)$ に因子と交互作用を割り付けたとき、データの構造式は

$$\bm x=\mu\bm 1+\sum_{k=1}^m\bm\theta_k+\bm\varepsilon,\qquad \bm\theta_k\in\mathcal W_k,\qquad \bm\varepsilon\sim\mathrm N(\bm 0,\sigma^2I_N)\tag{9.4}$$

と書ける。$\bm\theta_k$ は列[$k$]に入った効果のベクトルで、列の使い方によって次のように決まる。

• 主効果 $A$ を置いた列では、各実験の主効果を並べたベクトル $(a_{t_{1k}},\dots,a_{t_{Nk}})^\top$。
• 交互作用の2列では、定理 9.7 の分解の各成分。
• 何も置いていない列では $\bm\theta_k=\bm 0$ と仮定する。

$\mathcal W_k$ への直交射影行列を $\Pi_k$ と書く。補題 9.5 より次が成り立つ。

$$\bm d_k=\Pi_k\bm x=\bm\theta_k+\Pi_k\bm\varepsilon .$$

ここで命題 9.3 から得られる次の2つを使った。

$$\Pi_k\bm 1=\bm 0,\qquad \Pi_k\bm\theta_l=\bm 0\quad(l\neq k).$$

証明

(1) $\bar x\bm 1$ と $\bm d_k$ は、正規ベクトルであるデータを、互いに直交する部分空間へ射影したものである。射影行列どうしの積は0である（$j\ne k$ で $\Pi_j\Pi_k=O$）。よって

$$\mathrm{Cov}(\Pi_j\bm x,\Pi_k\bm x)=\sigma^2\Pi_j\Pi_k^\top=\sigma^2\Pi_j\Pi_k=O .$$

多変量正規では共分散0と独立は同値なので、互いに独立である。$\bar x\bm 1$ についても同じである。

(2) $\mathcal W_k$ の正規直交基底 $\bm e_1,\bm e_2$ をとる。すると次のように書ける。

$$\Pi_k\bm\varepsilon=(\bm e_1^\top\bm\varepsilon)\bm e_1+(\bm e_2^\top\bm\varepsilon)\bm e_2 .$$

$Z_i=\bm e_i^\top\bm\varepsilon$ は独立に $\mathrm N(0,\sigma^2)$ に従う。したがって $\lVert \Pi_k\bm\varepsilon\rVert ^2=Z_1^2+Z_2^2$ である。よって $\lVert \Pi_k\bm\varepsilon\rVert ^2/\sigma^2\sim\chi^2_2$ で、期待値は $2\sigma^2$。

$S_{[k]}=\lVert \bm\theta_k+\Pi_k\bm\varepsilon\rVert ^2=\lVert \bm\theta_k\rVert ^2+2\bm\theta_k^\top\Pi_k\bm\varepsilon+\lVert \Pi_k\bm\varepsilon\rVert ^2$ の期待値を取ると、中央の項は期待値0なので$E(S_{[k]})=\lVert \bm\theta_k\rVert ^2+2\sigma^2$。主効果のベクトルでは、各 $a_i$ が $N/3$ 回並ぶ。よって $\lVert \bm\theta_k\rVert ^2=\frac N3\sum_ia_i^2$。

(3) 誤差の列の $S_{[k]}/\sigma^2$ は、(1) より独立な $\chi^2_2$ である。よって和は $S_e/\sigma^2\sim\chi^2_{\phi_e}$。$H_0$ のもとで $S_A/\sigma^2\sim\chi^2_2$ である。これは $S_e$ と独立である。よって $F$ 分布の定義より

$$\frac{(S_A/\sigma^2)/2}{(S_e/\sigma^2)/\phi_e}=\frac{V_A}{V_e}\sim F_{2,\phi_e}.$$

交互作用についても同様である。帰無仮説のもとで、2列の和 $S_{[j']}+S_{[k']}$ を考える。これは独立なカイ二乗変数（自由度2）2つの和の $\sigma^2$ 倍になる。すなわち $\sigma^2\chi^2_4$ に従う。

$E(V_A)=\sigma^2+\frac N6\sum_ia_i^2$ は、第4章の1元配置の結果と一致する。

$$E(V_A)=\sigma^2+\frac{n\sum_ia_i^2}{a-1}$$

に、水準数 $a=3$、繰返し $n=N/3$ を代入したものである。分散分析表には、割り付けた主効果（自由度2）、交互作用（2列の和、自由度4）、誤差の行を並べる。主効果の $F_0$ は $F_{2,\phi_e}(\alpha)$ と比べる。交互作用の $F_0$ は $F_{4,\phi_e}(\alpha)$ と比べる。

プーリング

$L_{27}$ で因子と交互作用を多く取り上げると、誤差の自由度は小さくなる。そこで2水準系と同じく、$F_0$ の小さい要因（目安として $F_0<2$）を誤差にプールして検定し直す。交互作用 $A\times B$ を残すときは、2つの主効果 $A,B$ は有意でなくても残す。交互作用の2列のうち1列だけをプールすることはしない（2列は「$A\times B$ という1つの要因の2つの成分」であり、2列への分け方は1次式の選び方による便宜上のものだからである）。

母平均の点推定と有効反復数

プーリング後に残った効果の列の集合を $\mathcal M$ とする。ある水準の組合せでの母平均 $\mu+\sum_{k\in\mathcal M}\theta_k$（その組合せでの成分）の推定量は

$$\hat\mu=\bar x+\sum_{k\in\mathcal M}(\bar x_{kl_k}-\bar x)\tag{9.5}$$

である。ここで $l_k$ はその組合せでの列[$k$]の水準である。実際の計算では平均の組合せで書き直す。

交互作用 $A\times B$ が残っているときを考える。因子の列を[$j$]・[$k$]とする。定理 9.7 の証明の分解

$$\mathcal U=\mathcal W_j\oplus\mathcal W_k\oplus\mathcal W_{f+g}\oplus\mathcal W_{f+2g}$$

から、2元表の平均 $\bar x_{A_iB_j}$ について

$$\bar x_{A_iB_j}-\bar x=(\text{列}[j],[k]\text{ と交互作用の2列の偏差の和})\tag{9.6}$$

が成り立つ。$\bar x_{A_iB_j}-\bar x$ を並べたベクトルは、データの $\mathcal U$ への射影である。それは4本の効果空間への射影の和だからである。したがって、たとえば $A,B,A\times B,C$ が残ったときは $\hat\mu(A_iB_jC_l)=\bar x_{A_iB_j}+\bar x_{C_l}-\bar x$ と書くことができる。

証明

定理 9.8 (1) より、式 (9.5) の右辺の各項は互いに独立である。各項とは、全平均と $\bar x_{kl_k}-\bar x$（$k\in\mathcal M$）である。$V[\bar x]=\sigma^2/N$ である。$\bar x_{kl}$ は $N/3$ 個のデータの平均である。そのデータは全平均にも含まれるので

$$V[\bar x_{kl}-\bar x]=\frac{3\sigma^2}{N}+\frac{\sigma^2}{N}-2\,\mathrm{Cov}(\bar x_{kl},\bar x),\qquad \mathrm{Cov}(\bar x_{kl},\bar x)=\frac{N}{3}\cdot\frac{3}{N}\cdot\frac{1}{N}\,\sigma^2=\frac{\sigma^2}{N}$$

より $V[\bar x_{kl}-\bar x]=2\sigma^2/N$。したがって

$$V[\hat\mu]=\frac{\sigma^2}{N}\bigl(1+2\lvert \mathcal M\rvert \bigr).$$

3水準系では列1本の自由度が2なので $2\lvert \mathcal M\rvert$ は推定に用いた要因の自由度の和に等しく、田口の式を得る。

伊奈の式を示す。推定量を平均の和と差で $\hat\mu=\sum_s\lambda_s\bar x_{(s)}$ と書く。ここで $\bar x_{(s)}$ は、残った因子（または交互作用の2因子の組）の水準が推定したい条件と同じデータ $n_s$ 個の平均である。そのデータの位置が1のベクトルを $\bm 1_{(s)}$ とする。

すると $\hat\mu=\bm c^\top\bm x$、$\bm c=\sum_s\lambda_s\bm 1_{(s)}/n_s$ と書ける。よって $V[\hat\mu]=\sigma^2\lVert \bm c\rVert ^2$ である。

残った列の効果空間と $\bm 1$ を合わせた空間を $\mathcal M^{+}$ とする。各 $\bm 1_{(s)}/n_s$ は残った列の水準だけで決まるので、$\mathcal M^{+}$ に属する。交互作用の組の平均は、式 (9.6) の分解により $\mathcal U\oplus\mathrm{span}(\bm 1)$ に属する。

一方、$\hat\mu$ は構造式のどの母数の値に対しても母平均の不偏推定量である。そのため $\mathcal M^{+}$ の任意の元 $\bm v$（残った列の水準の関数）について、次が成り立つ。

$$\bm c^\top\bm v=v(\text{推定したい条件}).$$

これを $\bm v=\bm 1_{(s)}/n_s$ に使う。推定したい条件は群 $s$ に属するので、$\bm c^\top\bm 1_{(s)}/n_s=1/n_s$。したがって

$$\lVert \bm c\rVert ^2=\sum_s\lambda_s\,\frac{\bm c^\top\bm 1_{(s)}}{n_s}=\sum_s\frac{\lambda_s}{n_s}$$

となり、伊奈の式を得る。たとえば $\hat\mu=\bar x_{A_iB_j}+\bar x_{C_l}-\bar x$ では、次のように田口の式と一致する。

$$\frac{1}{N/9}+\frac{1}{N/3}-\frac1N=\frac{11}{N}=\frac{1+2+2+4+2}{N}.$$

区間の根拠は2水準系と同じである。$\hat\mu$ は全平均と残った列の偏差だけで書け、$V_e$ は誤差の列だけで書ける。よって定理 9.8 (1) から両者は独立である。$\hat\mu\sim\mathrm N(\mu,\sigma^2/n_e)$ と $\phi_eV_e/\sigma^2\sim\chi^2_{\phi_e}$ から、次が成り立つ。

$$\frac{\hat\mu-\mu}{\sqrt{V_e/n_e}}\sim t_{\phi_e}.$$

確認テスト

オリジナル

1. 9.1-1 $L_{27}(3^{13})$ の行数と列数を答えよ。各列の各水準は何回現れるか。任意の2列で各水準の組は何回現れるか。列平方和の自由度の合計はいくつか。
2. 9.1-2 3水準の列[$k$]について、$n=N/3$ とおく。(a) $S_{[k]}=\sum_lT_{kl}^2/n-CT$ が $n\sum_l(\bar x_{kl}-\bar x)^2$ に等しいことを示せ。(b) $S_{[k]}=\{(T_{k1}-T_{k2})^2+(T_{k1}-T_{k3})^2+(T_{k2}-T_{k3})^2\}/N$ とも書けることを示せ。
3. 9.1-3 $L_{27}$ で次の2列に因子を置いたとき、交互作用が現れる2列を成分記号の計算で求めよ。(a) 列[2]と列[5]、(b) 列[4]と列[5]、(c) 列[1]と列[9]。
4. 9.1-4 $L_{27}$ の列[1]に3水準の因子 $A$ を置く。主効果は $a_1,a_2,a_3$（$\sum a_i=0$）とし、ほかの列の効果はすべて0とする。$T_{1l}$ を構造式で書き下し、$E(S_A)=2\sigma^2+9\sum_ia_i^2$ を直接示せ。
5. 9.1-5 $L_{27}$ で $A,B,C,D$ の主効果だけが残った。$\hat\mu(A_1B_1C_1D_1)$ の推定式を書き、$n_e$ を伊奈の式と田口の式で求めよ。