適用例

2026年10月15日22分で読めますAI生成教科書『資格試験』第9章 3水準系直交配列表実験

確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

実験計画法　第9章 §9.2　★★ $L_{27}$ の数値例で、列平方和・分散分析表・プーリング・交互作用を含む最適条件の推定と区間推定までを通す

ある化学反応の収率（%、大きいほど良い）を高めるため、3水準の因子を4つ取り上げた。

$A$ ：反応温度。
$B$ ：反応時間。
$C$ ：触媒量。
$D$ ：撹拌速度。

技術的な見込みから交互作用 $A\times B$ と $A\times C$ は存在しうるが、ほかの交互作用は無視できると考えた。自由度は主効果 $4\times2=8$ と交互作用 $2\times4=8$ で16である。よって $L_9$ では足りず $L_{27}$ を使う。

線点図（図 9.1）の三角形に、 $A,B,C$ を順に列[1]・[2]・[5]として置く。すると $A\times B$ は列[3]・[4]に、 $A\times C$ は列[6]・[7]に現れる。 $D$ は離れた点の列[9]に置き、残りの列[8]・[10]・[11]・[12]・[13]を誤差の列とした（誤差の自由度10）。列[8]・[11]には無視した $B\times C$ が入る。

実験の順序は無作為化し、表 9.3 のデータを得た（自作の数値）。計算を楽にするため、 $X=x-70$ と変換して計算する（平方和は変わらない）。

表 9.3　割り付けと収率

x

（%）。

A,B,C,D

の水準は

L_{27}

の列[1]・[2]・[5]・[9]

No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$
1	1	1	1	1	64	10	2	1	1	2	69	19	3	1	1	3	68
2	1	1	2	2	67	11	2	1	2	3	70	20	3	1	2	1	71
3	1	1	3	3	68	12	2	1	3	1	68	21	3	1	3	2	71
4	1	2	1	2	67	13	2	2	1	3	66	22	3	2	1	1	74
5	1	2	2	3	70	14	2	2	2	1	73	23	3	2	2	2	76
6	1	2	3	1	69	15	2	2	3	2	71	24	3	2	3	3	76
7	1	3	1	3	63	16	2	3	1	1	67	25	3	3	1	2	72
8	1	3	2	1	65	17	2	3	2	2	72	26	3	3	2	3	75
9	1	3	3	2	67	18	2	3	3	3	71	27	3	3	3	1	72

例題 9.3　分散分析表の作成とプーリング ★★★

オリジナル表 9.3 のデータについて、 $X=x-70$ を使って次に答えよ。

$CT$ と $S_T$ を求めよ。
13本の列平方和を求め、 $\sum_kS_{[k]}=S_T$ を確かめよ。
誤差を列[8]・[10]・[11]・[12]・[13]とした分散分析表を作れ。次の値を使ってよい。

$F_{2,10}(0.05)=4.10,\quad F_{4,10}(0.05)=3.48,\quad F_{2,10}(0.01)=7.56,\quad F_{4,10}(0.01)=5.99.$ 4. $F_0<2$ の要因をプーリングして分散分析表を作り直し、有意水準5%と1%で判定せよ。次の値を使ってよい。

$F_{2,16}(0.05)=3.63,\quad F_{2,16}(0.01)=6.23,\quad F_{4,16}(0.05)=3.01,\quad F_{4,16}(0.01)=4.77.$

解答

(1) $X$ は表の $x$ から70を引いた値で、次のとおりである。

$\begin{aligned}&\text{No.\ 1〜9}: && -6,-3,-2,-3,0,-1,-7,-5,-3\\ &\text{No.\ 10〜18}: && -1,0,-2,-4,3,1,-3,2,1\\ &\text{No.\ 19〜27}: && -2,1,1,4,6,6,2,5,2\end{aligned}$ 和は $T=-8$ 、2乗和は $\sum X^2=314$ 。 $CT=(-8)^2/27=64/27\approx2.370$ 、 $S_T=314-64/27=8414/27\approx311.630$ 。

(2) 表 9.2 の水準を読んで列ごとに和を取る。たとえば列[3]の水準1は No. 1,2,3,16,17,18,22,23,24 なので $T_{31}=-6-3-2-3+2+1+4+6+6=5$ である。各水準のデータ数は9なので $S_{[k]}=\sum_lT_{kl}^2/9-64/27=(3\sum_lT_{kl}^2-64)/27$ 。結果は次のとおりである。

列	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[8]	[9]	[10]	[11]	[12]	[13]
$T_{k1}$	$-30$	$-14$	5	$-2$	$-20$	$-4$	$-2$	$-1$	$-7$	$-6$	0	$-4$	$-1$
$T_{k2}$	$-3$	12	2	$-4$	9	$-7$	$-4$	$-5$	2	$-2$	$-4$	2	$-9$
$T_{k3}$	25	$-6$	$-15$	$-2$	3	3	$-2$	$-2$	$-3$	0	$-4$	$-6$	2
$27S_{[k]}$	4538	1064	698	8	1406	158	8	26	122	56	32	104	194
$S_{[k]}$	168.074	39.407	25.852	0.296	52.074	5.852	0.296	0.963	4.519	2.074	1.185	3.852	7.185

たとえば列[1]は $\sum_lT_{1l}^2=900+9+625=1534$ 、 $27S_{[1]}=3\times1534-64=4538$ 。 $27S_{[k]}$ の合計は、次のように $27S_T$ に一致する。

$4538+1064+698+8+1406+158+8+26+122+56+32+104+194=8414 .$

(3) 各要因の平方和は次のとおりである。

$\begin{aligned}S_A&=S_{[1]}, & S_B&=S_{[2]}, & S_{A\times B}&=S_{[3]}+S_{[4]}=706/27,\\ S_C&=S_{[5]}, & S_{A\times C}&=S_{[6]}+S_{[7]}=166/27, & S_D&=S_{[9]}.\end{aligned}$

誤差は次のようになる。

$S_e=S_{[8]}+S_{[10]}+S_{[11]}+S_{[12]}+S_{[13]}=412/27=15.259,\qquad \phi_e=10,\qquad V_e=1.5259 .$

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$	判定
$A$	168.074	2	84.037	55.07	1%で有意
$B$	39.407	2	19.704	12.91	1%で有意
$A\times B$	26.148	4	6.537	4.28	5%で有意
$C$	52.074	2	26.037	17.06	1%で有意
$A\times C$	6.148	4	1.537	1.01
$D$	4.519	2	2.259	1.48
$e$	15.259	10	1.526
計	311.630	26

(4) $F_0<2$ の要因を誤差にプールする。該当するのは $A\times C$ と $D$ である。プールすると次のようになる。

$S_e'=\frac{412+166+122}{27}=\frac{700}{27}=25.926,\qquad \phi_e'=10+4+2=16,\qquad V_e'=\frac{25.926}{16}=1.6204 .$

要因	$S$	$\phi$	$V$	$F_0$	判定
$A$	168.074	2	84.037	51.86	1%で有意
$B$	39.407	2	19.704	12.16	1%で有意
$A\times B$	26.148	4	6.537	4.03	5%で有意
$C$	52.074	2	26.037	16.07	1%で有意
$e'$	25.926	16	1.620
計	311.630	26

$A\times B$ は、5%点 $F_{4,16}(0.05)=3.01$ を超える。しかし1%点 $F_{4,16}(0.01)=4.77$ を下回るので、5%で有意である。 $A,B,C$ は1%で有意である。

$A\times B$ が有意なので、2因子の最適水準は2元表の平均で決める。 $A_iB_j$ の各組合せは3回ずつ実験されていて、 $X$ の和は次のとおりである。

	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$-11$	$-4$	$-15$
$A_2$	$-3$	$0$	$0$
$A_3$	$0$	$16$	$9$

元の単位の平均 $70+T_{A_iB_j}/3$ を図 9.2 に示す。 $A$ の水準を上げると収率は上がるが、その上がり方は $B$ の水準によって違う。とくに $A_3$ では $B_2$ が明らかに高い。

3本の線が平行でないことが交互作用である。最大は $A_3B_2$ （平均 75.33）である。

図 9.2　適用例の $A\times B$ の2元表の平均。実線＝ $B_1$ 、破線＝ $B_2$ 、点線＝ $B_3$

$C$ の水準別の和と平均（ $X$ の単位）は次のとおりである。

$T_{C_1}=-20,\ T_{C_2}=9,\ T_{C_3}=3;\qquad \bar X_{C_1}=-2.222,\ \bar X_{C_2}=1.000,\ \bar X_{C_3}=0.333 .$

よって $C_2$ がよい。 $D$ はプーリングしたので、技術的な都合（費用や作業のしやすさ）で決めてよい。

例題 9.4　最適条件での母平均の推定 ★★★

オリジナル例題 9.3 の結果を使う。残った要因は $A,B,A\times B,C$ である。誤差は $V_e'=1.6204$ 、 $\phi_e'=16$ である。

最適条件を求め、その母平均の点推定値を元の単位で求めよ。
有効反復数を田口の式と伊奈の式で求めよ。
母平均の95%信頼区間と、最適条件で新たに1回実験したときの値の95%予測区間を求めよ（ $t_{16}(0.025)=2.120$ ）。

解答

(1) 2元表の平均が最大の $A_3B_2$ と、 $C_2$ を組み合わせる。最適条件は $A_3B_2C_2$ である。 $X$ の単位では、次の3つの平均を使う。

$\bar X_{A_3B_2}=16/3,\qquad \bar X_{C_2}=9/9=1,\qquad \bar X=-8/27 .$

よって

$\hat\mu(A_3B_2C_2)=\bar X_{A_3B_2}+\bar X_{C_2}-\bar X=\frac{16}3+1+\frac8{27}=\frac{144+27+8}{27}=\frac{179}{27}\approx6.630 .$

元の単位では $70+6.630=76.630$ （%）である。

(2) 田口の式：推定に用いた要因 $A,B,A\times B,C$ の自由度の和は $2+2+4+2=10$ である。よって $n_e=27/(1+10)=27/11\approx2.455$ 。伊奈の式： $\frac1{n_e}=\frac13+\frac19-\frac1{27}=\frac{9+3-1}{27}=\frac{11}{27}$ で一致する。

(3) $\sqrt{V_e'/n_e}=\sqrt{1.6204\times11/27}=\sqrt{0.6602}=0.8125$ 、半幅は $2.120\times0.8125=1.722$ 。信頼区間は $76.630\pm1.722$ 、すなわち $[74.91,\ 78.35]$ 。

予測区間では $\sqrt{V_e'(1+1/n_e)}=\sqrt{1.6204\times38/27}=\sqrt{2.2806}=1.5101$ を使う。半幅は $2.120\times1.5101=3.201$ である。予測区間は $76.630\pm3.201$ 、すなわち $[73.43,\ 79.83]$ 。

最適条件は実験されていることもある

$A_3B_2C_2$ は実験 No. 23 で実際に試されていて、観測値は76である。点推定値 76.63 はこの1個の観測値ではない。 $A_3B_2$ の3個と $C_2$ の9個の情報を、構造式に沿って合わせたものである。分散は1回の観測の $1/n_e=11/27$ 倍に小さい。

$L_{27}$ の27通りは $3^4=81$ 通りの組合せの一部なので、最適条件が実験に含まれていないことの方が多く、そのときもこの推定式で母平均を推定する。

確認テスト

オリジナル

9.2-1 適用例で、最適条件 $A_3B_2C_2$ と現行条件 $A_1B_1C_1$ の母平均の差の点推定値を求めよ。その推定量の分散が $\frac89\sigma^2$ であることを示し、95%信頼区間を求めよ。
9.2-2 適用例のプーリング後の分散分析表について、 $A,B,A\times B,C$ と誤差の寄与率を求め、合計が100%になることを確かめよ。寄与率は $\rho=(S-\phi V_e')/S_T$ 、誤差は $\rho_e=\phi_TV_e'/S_T$ とする。
9.2-3 適用例で $A\times B$ を無視したとする。3つの主効果だけで $A_3B_2C_2$ を推定すると、点推定値（元の単位）と $n_e$ はいくつになるか。例題 9.4 との差を、列[3]・[4]の偏差で説明せよ。
9.2-4 適用例の $A\times B$ の2元表から、 $S_{AB}=\sum_{i,j}T_{A_iB_j}^2/3-CT$ を計算せよ。さらに $S_{AB}=S_A+S_B+S_{[3]}+S_{[4]}$ を確かめよ。
9.2-5 適用例で $D$ を列[9]でなく列[8]に置いていたとする。 $D$ の平方和に何が混ざりうるかを述べ、この割り付けが許される条件を答えよ。

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No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$
1	1	1	1	1	64	10	2	1	1	2	69	19	3	1	1	3	68
2	1	1	2	2	67	11	2	1	2	3	70	20	3	1	2	1	71
3	1	1	3	3	68	12	2	1	3	1	68	21	3	1	3	2	71
4	1	2	1	2	67	13	2	2	1	3	66	22	3	2	1	1	74
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6	1	2	3	1	69	15	2	2	3	2	71	24	3	2	3	3	76
7	1	3	1	3	63	16	2	3	1	1	67	25	3	3	1	2	72
8	1	3	2	1	65	17	2	3	2	2	72	26	3	3	2	3	75
9	1	3	3	2	67	18	2	3	3	3	71	27	3	3	3	1	72

No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$
1	1	1	1	1	64	10	2	1	1	2	69	19	3	1	1	3	68
2	1	1	2	2	67	11	2	1	2	3	70	20	3	1	2	1	71
3	1	1	3	3	68	12	2	1	3	1	68	21	3	1	3	2	71
4	1	2	1	2	67	13	2	2	1	3	66	22	3	2	1	1	74
5	1	2	2	3	70	14	2	2	2	1	73	23	3	2	2	2	76
6	1	2	3	1	69	15	2	2	3	2	71	24	3	2	3	3	76
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8	1	3	2	1	65	17	2	3	2	2	72	26	3	3	2	3	75
9	1	3	3	2	67	18	2	3	3	3	71	27	3	3	3	1	72

No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$	No.	$A$	$B$	$C$	$D$	$x$
1	1	1	1	1	64	10	2	1	1	2	69	19	3	1	1	3	68
2	1	1	2	2	67	11	2	1	2	3	70	20	3	1	2	1	71
3	1	1	3	3	68	12	2	1	3	1	68	21	3	1	3	2	71
4	1	2	1	2	67	13	2	2	1	3	66	22	3	2	1	1	74
5	1	2	2	3	70	14	2	2	2	1	73	23	3	2	2	2	76
6	1	2	3	1	69	15	2	2	3	2	71	24	3	2	3	3	76
7	1	3	1	3	63	16	2	3	1	1	67	25	3	3	1	2	72
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