この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第9章 §9.3　★★ 割り付け（交互作用は2列）→ 列平方和（自由度2）→ プーリング → 推定式 → 自由度で数える $n_e$ → 区間

3水準の直交配列表は、どの2列でも水準の組9種類が同じ回数ずつ現れる表である。各列に「その列の水準だけで決まり和が0のベクトル」全体（2次元の効果空間）を対応させると、この釣り合いは効果空間どうしが直交することと同じ内容になる。

$\bm 1$ と各列の効果空間（$(N-1)/2$ 本）は、全体の空間を直交分解する。そのため総平方和は列平方和 $S_{[k]}=\sum_lT_{kl}^2/(N/3)-CT$ の和に分かれ、各列平方和は独立に $\sigma^2\chi^2_2$（効果があれば非心）に従う。2つの3水準因子の交互作用は自由度4で、成分記号の積 $PQ$ と $PQ^2$ の2列に現れ、その平方和は2列の和である。

推定では、残った交互作用を2元表の平均で、ほかの因子を1元の平均で扱い、有効反復数は $n_e=N/(1+\text{推定に用いた要因の自由度の和})$ で、主効果を2、交互作用を4と数える。

1級の統計応用（理工学）は90分で5問から3問を選ぶ記述式で、2025年の理工学には実験計画法の大問は無かった。出題される場合、3水準系の直交配列表は次のような小問の連鎖で問われると考えられる。

1. 要求された交互作用を満たす割り付けを $L_{27}$ で示す（交互作用の2列を成分記号で求める）。
2. 与えられた列ごとの和から列平方和を計算する。
3. 交互作用の平方和を2列の和として分散分析表を作り、プーリングして検定する。
4. 最適条件の推定式を2元表の平均で書く。
5. $n_e$ を自由度で数えて信頼区間・予測区間を作る。

証明の小問としては、命題 9.3（釣り合いと効果空間の直交）、$E(S_A)=2\sigma^2+\frac N3\sum a_i^2$ の導出、交互作用が2列に現れることの説明、田口の式と伊奈の式の一致の確認が候補になる。2水準系との違いとして、$n_e$ を要因の数で数える誤りと、交互作用の2列の一方だけをプールする誤りに注意する。