確認テストの解答

実験計画法　第9章 §9.4

1. 9.1-1 27行13列。各列の各水準は $27/3=9$ 回、任意の2列で各組は $27/9=3$ 回現れる。列平方和の自由度の合計は $13\times2=26=27-1$ で、総平方和の自由度に等しい。
2. 9.1-2 (a) $T=\sum_lT_{kl}$ とおく。$\bar x_{kl}=T_{kl}/n$、$\bar x=T/(3n)$ なので

$$\begin{aligned}n\sum_l(\bar x_{kl}-\bar x)^2&=n\sum_l\bar x_{kl}^2-2n\bar x\sum_l\bar x_{kl}+3n\bar x^2\\ &=\sum_l\frac{T_{kl}^2}{n}-2n\bar x\cdot3\bar x+3n\bar x^2=\sum_l\frac{T_{kl}^2}{n}-3n\bar x^2 .\end{aligned}$$

$3n\bar x^2=T^2/(3n)=T^2/N=CT$ なので $S_{[k]}$ に等しい。(b) $\sum_lT_{kl}^2/n-T^2/(3n)=\{3\sum_lT_{kl}^2-(\sum_lT_{kl})^2\}/(3n)$。分子は次のようになる。

$$3\sum T_l^2-\sum T_l^2-2\sum_{l<m}T_lT_m=2\sum T_l^2-2\sum_{l<m}T_lT_m=\sum_{l<m}(T_l-T_m)^2 .$$

3項の場合、各 $T_l^2$ は差の2乗の和の中にちょうど2回現れるからである。$3n=N$ なので主張を得る。3. 9.1-3 (a) $b\cdot c=bc$ が列[8]、$b\cdot c^2=bc^2$ が列[11]。(b) $ab^2\cdot c=ab^2c$ が列[12]、$ab^2\cdot c^2=ab^2c^2$ が列[10]。 (c) 列[9]は $abc$。$a\cdot abc=a^2bc$ は2乗して $a^4b^2c^2=ab^2c^2$ で列[10]。$a\cdot(abc)^2=a^3b^2c^2=b^2c^2$ は2乗して $bc$ で列[8]。4. 9.1-4 列[1]で水準 $l$ のデータは9個で、構造式から $T_{1l}=9\mu+9a_l+\sum_{r:\,t_{r1}=l}\varepsilon_r$。ここで $\bar\varepsilon_l$ を水準 $l$ の9個の誤差の平均とする。$\sum_la_l=0$ を使うと $\bar x_{1l}-\bar x=a_l+(\bar\varepsilon_{l}-\bar\varepsilon)$。

$$S_A=9\sum_l(\bar x_{1l}-\bar x)^2=9\sum_la_l^2+18\sum_la_l(\bar\varepsilon_l-\bar\varepsilon)+9\sum_l(\bar\varepsilon_l-\bar\varepsilon)^2 .$$

中央の項の期待値は0である。最後の項の $\bar\varepsilon_l$ は、独立に $\mathrm N(0,\sigma^2/9)$ に従う3個の変数である。その偏差平方和の期待値は $(3-1)\sigma^2/9$ なので、9倍して $2\sigma^2$。よって $E(S_A)=2\sigma^2+9\sum_la_l^2$。5. 9.1-5 $\hat\mu(A_1B_1C_1D_1)=\bar x_{A_1}+\bar x_{B_1}+\bar x_{C_1}+\bar x_{D_1}-3\bar x$。伊奈の式：$\frac49-\frac3{27}=\frac{12-3}{27}=\frac13$、$n_e=3$。田口の式：自由度の和は $4\times2=8$ で $n_e=27/(1+8)=3$。6. 9.2-1 点推定値は次のとおりである（元の単位でも差は同じ）。

$$(\bar X_{A_3B_2}-\bar X_{A_1B_1})+(\bar X_{C_2}-\bar X_{C_1})=\Bigl(\frac{16}3+\frac{11}3\Bigr)+\Bigl(1+\frac{20}9\Bigr)=9+\frac{29}9=\frac{110}9\approx12.222 .$$

$D_1=\bar x_{A_3B_2}-\bar x_{A_1B_1}$ は、互いに素な3個ずつの平均の差である。よって $V[D_1]=\frac23\sigma^2$。$D_2=\bar x_{C_2}-\bar x_{C_1}$ は9個ずつの平均の差で、$V[D_2]=\frac29\sigma^2$。

$A_iB_j$ の3個の実験には、$C$ の3水準が1回ずつ入る。よって次の共分散は $l$ によらない。

$$\mathrm{Cov}(\bar x_{A_iB_j},\bar x_{C_l})=\frac13\cdot\frac19\cdot1\cdot\sigma^2=\frac{\sigma^2}{27}.$$

したがって $\mathrm{Cov}(\bar x_{A_iB_j},D_2)=0$ である。よって $\mathrm{Cov}(D_1,D_2)=0$ で、$V[D_1+D_2]=\frac23\sigma^2+\frac29\sigma^2=\frac89\sigma^2$。95%信頼区間は $12.222\pm2.120\sqrt{\frac89\times1.6204}=12.222\pm2.120\times1.2001=12.222\pm2.544$、すなわち $[9.68,\ 14.77]$。7. 9.2-2 $S_T=311.630$、$V_e'=1.6204$。

$$\begin{aligned}\rho_A&=(168.074-2\times1.6204)/311.630=52.9\%,\\ \rho_B&=(39.407-3.241)/311.630=11.6\%,\\ \rho_{A\times B}&=(26.148-4\times1.6204)/311.630=6.3\%,\\ \rho_C&=(52.074-3.241)/311.630=15.7\%,\\ \rho_e&=26\times1.6204/311.630=13.5\%.\end{aligned}$$

分子の和は次のようになる。

$$S_A+S_B+S_{A\times B}+S_C-10V_e'+26V_e'=(S_T-S_e')+16V_e' .$$

$S_e'=16V_e'$ なので、これは $S_T$ に等しい。したがって合計はちょうど100%である（数値でも $52.9+11.6+6.3+15.7+13.5=100.0$）。8. 9.2-3 使う平均は次のとおりである。

$$\bar X_{A_3}=25/9,\qquad \bar X_{B_2}=12/9,\qquad \bar X_{C_2}=1 .$$

よって

$$\hat\mu=\frac{25}9+\frac{12}9+1-2\times\Bigl(-\frac8{27}\Bigr)=\frac{154}{27}\approx5.704$$

で、元の単位では 75.704 である。$n_e=27/(1+6)=27/7\approx3.857$。例題 9.4 の $179/27$ との差は $25/27\approx0.926$ である。

$A_3B_2$ は $x_a=2,x_b=1$ である。列[3]の水準は $(2+1)\bmod3=0$ で水準1、偏差は $\bar X_{31}-\bar X=5/9+8/27=23/27$。列[4]の水準は $(2\cdot2+1)\bmod3=2$ で水準3、偏差は $-2/9+8/27=2/27$。両者の和 $25/27$ が差に一致し、$A\times B$ を無視するとこの分だけ偏る。

$n_e$ は大きくなるが、有意な交互作用を落とした推定は偏るので使わない。9. 9.2-4 $\sum_{i,j}T_{A_iB_j}^2=121+16+225+9+0+0+0+256+81=708$、$S_{AB}=708/3-64/27=6308/27\approx233.630$。$27(S_A+S_B+S_{[3]}+S_{[4]})=4538+1064+698+8=6308$ で一致する。10. 9.2-5 列[8]（成分記号 $bc$）は、$B\times C$ の2列（[8]・[11]）の1本である。そのため $D$ を列[8]に置くと、その平方和に $B\times C$ の一部が混ざる。$B\times C$ が存在すれば $D$ の効果を過大に（または誤って）評価することになる。この割り付けが許されるのは、$B\times C$ が無視できると技術的に判断できるときに限る。適用例では $B\times C$ を無視すると仮定していたので、割り付けとしては成り立つ。ただし列[9]に置けば、この交互作用との交絡は避けられる（列[9]は $A\times B\times C$ の一部と交絡する）。