多水準法

実験計画法　第10章 §10.1　★★ 2水準系では「2列とその交互作用の列」の3列を1本の4水準の列とみなす。平方和は3列の列平方和の和

第8章と第9章では、2水準の因子を2水準系の表に、3水準の因子を3水準系の表に置いた。実際の実験では、4水準の因子を2水準系の表に入れたい場合や、3水準の因子と2水準の因子が混在する場合がある。この章では、そのための2つの方法を道具として作る。

1つ目の多水準法は、2水準系の表の3本の列をまとめて1本の4水準の列として使う方法である（§10.1）。最初に、どの3列をまとめればよいかを第8章の交互作用の規則から決め、その3列の列平方和の和が4水準の因子の平方和に一致することを証明する。続いて、4水準の因子とほかの因子の交互作用が現れる列、期待平均平方、有効反復数を導く。

2つ目の擬水準法は、列の水準数より因子の水準数が少ないとき、因子のある水準を重複させて列の水準を埋める方法である（§10.2）。3水準の因子を多水準法で作った4水準の列に置く場合と、2水準の因子を3水準系の表の列に置く場合を扱う。擬水準法では水準ごとのデータ数がそろわないので、平方和の計算と有効反復数の求め方が第8章とは変わる。とくに、有効反復数について田口の式は使えず、伊奈の式は使えることを、推定量の分散を直接計算して示す。

1級の統計応用（理工学）で直交配列表の問題が出る場合、この章の道具は「因子の水準数と表の列を見比べて割り付けを決める → 自由度を数えて誤差の自由度を確かめる → 水準ごとのデータ数に注意して平方和を計算する →推定式と有効反復数を書く」という形で使う。

3列をまとめると4水準の列になる

第8章の $L_8(2^7)$ の列[1]と列[2]を並べると、実験 No. 1〜8 の水準の組は$(1,1),(1,1),(1,2),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2)$ であり、4種類の組がちょうど2回ずつ現れる。そこで4つの組に新しい水準の番号を

$$(1,1)\mapsto 1,\qquad (1,2)\mapsto 2,\qquad (2,1)\mapsto 3,\qquad (2,2)\mapsto 4\tag{10.1}$$

と対応させれば、4水準の因子 $A$ を各水準2回ずつの形で実験に入れることができる（表 10.1）。

このとき列[3]をほかの因子に使うことはできない。第8章の定理（交互作用の列）により、列[3]の水準は列[1]と列[2]の水準から決まる（成分記号で $ab=a\cdot b$）。したがって列[1]・[2]の組が $A$ の水準を決めた時点で、列[3]の水準も $A$ の水準の関数になっている。

列[3]に別の因子 $B$ を置くと、その水準は $A$ の水準から決まってしまう。すると2つの因子の効果を分けることができない。このため、4水準の因子は「2本の列とその交互作用の列」の3本をまとめて使う。自由度で見ても、4水準の因子の自由度は 3 で、3本の列の自由度 $1+1+1$ に等しい。

ここで「互いに独立な列」とは、どの列も残りの列の成分記号の積として書けない列のことである。たとえば $L_{16}$ の列[1]・[2]・[4]は独立で、列[1]・[2]・[3]は $3=1\oplus2$ なので独立でない。

線点図で言えば、4水準の因子は1本の線とその両端の2点、合わせて3列を占める。図 10.1 は、$L_8$ の三角形型の線点図で列[1]・[3]・[2]を $A$ にまとめた様子を表している。

4水準の因子の平方和

データを $x_1,\dots,x_N$ とする。第8章と同じく、列[$k$]の符号ベクトルを $\bm u_k$ と書く。成分は水準1で $+1$、水準2で $-1$ である。列平方和は

$$S_{[k]}=\frac{(\bm u_k^\top\bm x)^2}N=\frac{(T_{k1}-T_{k2})^2}N$$

と書く。4水準の因子の水準 $i$ のデータの和を、$T_{A_i}$ と書く。各水準のデータ数は $N/4$ である。

証明

2本の列の符号の組 $(s,t)\in\{+1,-1\}^2$ が、$A$ の1つの水準に対応する。その水準に当たる行で 1、それ以外で 0 となる指示ベクトルを $\bm g_{(s,t)}$ とする。その第 $r$ 行の成分は

$$\frac{(1+s\,u_{rj})(1+t\,u_{rk})}4$$

に等しい。$u_{rj}=s$ かつ $u_{rk}=t$ のときだけ 1 になり、それ以外は 0 になるからである。展開すると

$$\bm g_{(s,t)}=\frac14\bigl(\bm 1+s\,\bm u_j+t\,\bm u_k+st\,\bm u_j\odot\bm u_k\bigr)=\frac14\bigl(\bm 1+s\,\bm u_j+t\,\bm u_k+st\,\bm u_{j\oplus k}\bigr)\tag{10.3}$$

である。ここで第8章の定理（交互作用の列）により、成分ごとの積 $\bm u_j\odot\bm u_k$ は列[$j\oplus k$]の符号ベクトルである。式 (10.3) から、4本の指示ベクトルが張る空間 $W$ は、次の4本が張る空間に含まれる。

$$\bm 1,\quad \bm u_j,\quad \bm u_k,\quad \bm u_{j\oplus k}$$

どちらの組も互いに直交する0でない4本のベクトルなので、両方とも4次元であり、2つの空間は一致する。

$\bm x$ の $W$ への正射影の長さの2乗を2通りに計算する。4本の指示ベクトルは互いに直交し、長さの2乗はどれも $N/4$ である。よって

$$\lVert P_W\bm x\rVert ^2=\sum_{(s,t)}\frac{(\bm g_{(s,t)}^\top\bm x)^2}{\bm g_{(s,t)}^\top\bm g_{(s,t)}}=\sum_{i=1}^4\frac{T_{A_i}^2}{N/4}.$$

一方、上の4本をそれぞれ $\sqrt N$ で割った正規直交基底で計算すると

$$\lVert P_W\bm x\rVert ^2=\frac{(\bm 1^\top\bm x)^2}{N}+\frac{(\bm u_j^\top\bm x)^2}{N}+\frac{(\bm u_k^\top\bm x)^2}{N}+\frac{(\bm u_{j\oplus k}^\top\bm x)^2}{N} =CT+S_{[j]}+S_{[k]}+S_{[j\oplus k]} .$$

両者を等しいとおいて $CT$ を移項すれば式 (10.2) を得る。

定理の左の式は、4水準・繰返し $N/4$ の1元配置の要因平方和そのものである。したがって、次の2つの計算は同じ値を与える。

• 表の上で3列の列平方和を足す。
• $A$ の水準ごとの和から、1元配置の公式で計算する。

試験の計算では後者の方が手早く、前者は検算に使う。

ほかの因子との直交性と交互作用の列

多水準の因子を置いた3列以外の列[$m$]は、上の4本のベクトルのすべてと直交する。式 (10.3) から $\bm g_{(s,t)}^\top\bm u_m=0$ となる。つまり $A$ のどの水準のデータの中でも、この列の水準1と水準2が $N/8$ 回ずつ現れる。

これが、4水準の因子とほかの列の因子が互いに釣り合っているということである。$A$ の水準ごとの平均を比べるとき、ほかの因子の効果は打ち消し合う。

4水準の因子 $A$ を列 $[j],[k],[j\oplus k]$ に置く。2水準の因子 $B$ は列[$l$]に置く。2つの交互作用は、3本の列

$$[j\oplus l],\qquad [k\oplus l],\qquad [j\oplus k\oplus l]\tag{10.4}$$

に現れ、自由度は $3\times1=3$ である。

理由は次のとおりである。$A_iB_m$ の組合せ8種類の指示ベクトルは、式 (10.3) に $(1\pm\bm u_l)/2$ を成分ごとに掛けたものである。よってこれらは次の8本が張る空間に入る。

$$\bm 1,\ \bm u_j,\ \bm u_k,\ \bm u_{j\oplus k},\ \bm u_l\quad\text{と}\quad \bm u_{j\oplus l},\ \bm u_{k\oplus l},\ \bm u_{j\oplus k\oplus l}$$

このうち主効果に当たらない後ろの3本が、交互作用の自由度3を担う。したがって

$$S_{A\times B}=S_{[j\oplus l]}+S_{[k\oplus l]}+S_{[j\oplus k\oplus l]}$$

である。

期待平均平方と推定

水準 $i$ の主効果を $a_i$ とし、その和は 0 とする。前段で示したとおり、ほかの列の因子は $A$ の各水準の中で釣り合っている。よって水準ごとの平均 $\bar x_{A_i}=T_{A_i}/(N/4)$ の期待値は $\mu+a_i$ である。第4章の1元配置の期待平均平方に、水準数 4、繰返し $N/4$ を代入して

$$E(V_A)=\sigma^2+\frac{N}{4}\cdot\frac{\sum_{i=1}^4a_i^2}{3}\tag{10.5}$$

を得る（確認テスト 10.1-4 で、列の符号から直接導く）。検定は $F_0=V_A/V_e$ を $F_{3,\phi_e}(\alpha)$ と比べる。

母平均の点推定と有効反復数は第8章と同じ形である。たとえば $A$ と2水準の $B$ が残り、交互作用が無視できるときは

$$\hat\mu(A_iB_m)=\bar x_{A_i}+\bar x_{B_m}-\bar x,\qquad \frac{1}{n_e}=\frac{1}{N/4}+\frac{1}{N/2}-\frac1N=\frac{5}{N}$$

である（伊奈の式）。田口の式でも、推定に用いた要因の自由度の和は $\phi_A+\phi_B=3+1=4$ である。よって $1/n_e=(1+4)/N=5/N$ となり一致する。多水準法では各水準のデータ数がそろっているので、田口の式はそのまま使える。

確認テスト

オリジナル

1. 10.1-1 $L_8(2^7)$ で4水準の因子を置くことができる3列の組をすべて挙げよ。組はいくつあるか。
2. 10.1-2 表 10.1 の割り付けで $A$ を列[1]・[2]・[3]に置き、実験 No. 1〜8 の順に 12, 10, 15, 13, 18, 16, 11, 9 を得た。$S_A$ を水準ごとの和から求め、列平方和 $S_{[1]},S_{[2]},S_{[3]}$ の和と一致することを確かめよ。さらに $S_T$ と、列[4]の列平方和を求めよ。
3. 10.1-3 $L_{16}(2^{15})$ で、4水準の因子 $A$ を列[1]・[2]・[3]に置いた。もう1つの4水準の因子 $C$ は列[4]・[8]・[12]に置いた。$C$ の3列の組が4水準の列として正しいことを確かめよ。$A\times C$ が現れる列とその自由度を求めよ。
4. 10.1-4 4水準の因子 $A$ を列 $[j],[k],[j\oplus k]$に置き、構造式を

$$\bm x=\mu\bm 1+\sum_{i=1}^4a_i\bm g_i+(\text{ほかの列の効果})+\bm\varepsilon$$

とする。$\bm g_i$ は $A_i$ の指示ベクトルで、主効果の和は 0 とする。次の式を導け。

$$E(S_A)=3\sigma^2+\frac N4\sum_{i}a_i^2$$

使ってよいのは、定理 10.2 の分解 $S_A=S_{[j]}+S_{[k]}+S_{[j\oplus k]}$ と、第8章で示した次の式である。

$$E(S_{[m]})=\sigma^2+\frac{(E[\bm u_m^\top\bm x])^2}N$$ 5. 10.1-5 例題 10.1 で、最適条件 $A_3B_1$ と $A_1B_1$ の母平均の差を点推定せよ。その推定量の分散を誤差分散で表し、95%信頼区間を求めよ（プール後の誤差を使う）。