適用例

1. 水準数 4、ブロック数 5、総データ数 20 である。修正項は $CT=1526^2/20=2328676/20=116433.8$。

$$\begin{aligned}S_T&=116798-116433.8=364.2,\\ S_A&=\frac{375^2+388^2+370^2+393^2}{5}-CT=\frac{582518}{5}-116433.8\\ &=116503.6-116433.8=69.8,\\ S_R&=\frac{292^2+318^2+286^2+304^2+326^2}{4}-CT=\frac{466876}{4}-116433.8\\ &=116719-116433.8=285.2,\\ S_e&=S_T-S_A-S_R=364.2-69.8-285.2=9.2 .\end{aligned}$$

自由度は因子が 3、ブロックが 4、誤差が $3\times4=12$、全体が 19 である。分散分析表は次のとおり。

2つの $F_0$ はどちらも 1% 点を上回る。

$$\begin{aligned}F_0(A)&=23.27/0.767=30.3>F_{3,12}(0.01)=5.95,\\ F_0(R)&=71.30/0.767=93.0>F_{4,12}(0.01)=5.41 .\end{aligned}$$

よって因子もブロックも有意水準 1% で有意である（$^{**}$ は 1% 有意の印）。2. 平均が最大の水準は $A_4$ で、点推定は $\hat\mu(A_4)=\bar x_{4\cdot}=393/5=78.6$。(11.11) より

$$\widehat V[\bar x_{4\cdot}]=\frac{V_R+(a-1)V_e}{ar}=\frac{71.30+3\times0.7667}{20}=\frac{73.60}{20}=3.680 .$$

等価自由度は (11.12) で

$$\phi^*=\frac{73.60^2}{71.30^2/4+2.30^2/12}=\frac{5417.0}{1270.9+0.44}=4.26\ \to\ 4 .$$

よって

$$78.6\pm t_4(0.025)\sqrt{3.680}=78.6\pm2.776\times1.918=78.6\pm5.33,$$

すなわち $73.3\le\mu(A_4)\le83.9$。3. 差の点推定は $\bar x_{4\cdot}-\bar x_{1\cdot}=(393-375)/5=3.6$。(11.10) より

$$3.6\pm t_{12}(0.025)\sqrt{2\times0.7667/5}=3.6\pm2.179\times0.5538=3.6\pm1.21,$$

すなわち $2.39\le\mu(A_4)-\mu(A_1)\le4.81$。4. 点推定は $\hat\sigma_R^2=(71.30-0.767)/4=17.63$。等価自由度は (11.14) で

$$\phi^*=\frac{(71.30-0.767)^2}{71.30^2/4+0.767^2/12}=\frac{4975.0}{1270.9+0.049}=3.91\ \to\ 4 .$$

よって

$$\frac{4\times17.63}{11.14}\le\sigma_R^2\le\frac{4\times17.63}{0.484},\qquad\text{すなわち}\qquad 6.33\le\sigma_R^2\le145.6 .$$

標準偏差に直すと $2.5\le\sigma_R\le12.1$ である。

1. 自由度は次のとおりで、合計は $23=abr-1$ である。

$$\phi_A=2,\quad \phi_B=1,\quad \phi_{A\times B}=2,\quad \phi_R=3,\quad \phi_e=(ab-1)(r-1)=5\times3=15 .$$

期待平均平方は、平均を取るときに各効果が何個のデータに乗っているかで決まり、

$$E(V_A)=\sigma^2+br\sigma_A^2=\sigma^2+8\sigma_A^2,\quad E(V_B)=\sigma^2+12\sigma_B^2,\quad E(V_{A\times B})=\sigma^2+4\sigma_{A\times B}^2,$$

$$E(V_R)=\sigma^2+ab\sigma_R^2=\sigma^2+6\sigma_R^2,\qquad E(V_e)=\sigma^2 .$$

ここで母数因子の大きさは次のように定める。

$$\sigma_A^2=\frac{\sum a_i^2}{a-1},\qquad \sigma_B^2=\frac{\sum b_j^2}{b-1},\qquad \sigma_{A\times B}^2=\frac{\sum(ab)_{ij}^2}{(a-1)(b-1)}.$$

導き方は定理 11.2 と同じである。$\bar x_{i\cdot\cdot}$ などの平均ではブロック効果が $\bar\gamma$ として共通に入り、総平均との差で消える。2. 組合せの平均は次のとおりである。

$$\bar x_{ij\cdot}=\mu+a_i+b_j+(ab)_{ij}+\bar\gamma+\bar\varepsilon_{ij\cdot}$$

差ではブロック効果の平均が消えるので

$$V[\bar x_{ij\cdot}-\bar x_{i'j'\cdot}]=V[\bar\varepsilon_{ij\cdot}]+V[\bar\varepsilon_{i'j'\cdot}]=2\sigma^2/r=\sigma^2/2 .$$ 3. 交互作用をプールした構造式で考えると、各平均は次のとおりである。

$$\bar x_{i\cdot\cdot}=\mu+a_i+\bar\gamma+\bar\varepsilon_{i\cdot\cdot},\qquad \bar x_{\cdot j\cdot}=\mu+b_j+\bar\gamma+\bar\varepsilon_{\cdot j\cdot},\qquad \bar x=\mu+\bar\gamma+\bar\varepsilon .$$

よって

$$\hat\mu(A_iB_j)=\mu+a_i+b_j+\bar\gamma+(\bar\varepsilon_{i\cdot\cdot}+\bar\varepsilon_{\cdot j\cdot}-\bar\varepsilon).$$

ブロック効果の平均の分散は $\sigma_R^2/r$ である。誤差の部分は、誤差 $\varepsilon_{i'j'k}$ の1次結合で、係数は

$$c_{i'j'}=\frac{\delta_{ii'}}{br}+\frac{\delta_{jj'}}{ar}-\frac{1}{abr}$$

である。分散は $\sigma^2\sum_{i',j',k}c_{i'j'}^2$ になる。係数の値と個数は次のとおりである。

よって

$$\sum c^2=\frac{4\times(16+4+2\times1+2\times1)}{576}=\frac{4\times24}{576}=\frac{1}{6}.$$

よって次のようになり、有効反復数は $n_e=6$ である。

$$V[\hat\mu(A_iB_j)]=\frac{\sigma_R^2}{4}+\frac{\sigma^2}{6}.$$

これは第5章の2つの式と一致する。

$$\begin{aligned}&\text{伊奈の式}: && \frac{1}{n_e}=\frac{1}{br}+\frac{1}{ar}-\frac{1}{abr}=\frac18+\frac1{12}-\frac1{24}=\frac16,\\ &\text{田口の式}: && n_e=\frac{abr}{1+\phi_A+\phi_B}=\frac{24}{4}=6 .\end{aligned}$$

ブロックの項 $\sigma_R^2/r$ は、有効反復数の式の外に別に加わる。