この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第11章 §11.3　★★★ 分散分析表は繰返しのない2元配置と同じ、違いは $E(V_R)$ と推定の分散にある

乱塊法は、実験の場の不均一さをブロックとしてまとめ、各ブロックで全水準を1回ずつ無作為な順に実施する計画である。要点を4つにまとめる。

1. 構造式。$x_{ij}=\mu+a_i+\gamma_j+\varepsilon_{ij}$ で、ブロック効果を分散 $\sigma_R^2$ の変量とする。
2. 分散分析表。平方和の分解と自由度は、繰返しのない2元配置とまったく同じである。期待平均平方は次のとおりである。

$$E(V_A)=\sigma^2+r\sigma_A^2,\qquad E(V_R)=\sigma^2+a\sigma_R^2,\qquad E(V_e)=\sigma^2 .$$

どの水準の平均も全ブロックを1回ずつ通るので、水準間の比較からブロック効果が消える。よって因子の検定は $V_A/V_e$ で正確に行える。3. 推定の非対称性。水準間の差の分散 $2\sigma^2/r$ には、ブロックの分散成分が入らない。水準の母平均の分散 $(\sigma_R^2+\sigma^2)/r$ には入る。後者は2つの平均平方の1次結合で推定するので、Satterthwaite の等価自由度を使う。4. 分散成分。ブロックの分散成分は $\hat\sigma_R^2=(V_R-V_e)/a$ で点推定する。区間は Satterthwaite の近似か、分散比の $F$ 分布による正確な区間で作る。

統計応用（理工学）の実験計画法の大問は90分で5問から3問を選ぶ形式の1問で、乱塊法なら次の連鎖で問われると見込まれる。

1. データの表から修正項と平方和を計算し、分散分析表を完成させる（(11.5)）。
2. 構造式を書き、期待平均平方を導く。ブロックを変量とする理由を述べる（定理 11.2）。
3. $F$ 検定で因子とブロックの有意性を判定する。ブロックを無視した解析と比べて、ブロック化で何が得られたかを説明する。
4. 最適水準の母平均と、水準間の差の信頼区間を作る。前者で Satterthwaite の等価自由度を計算する（(11.11)・(11.10)）。
5. ブロックの分散成分を点推定し、区間推定する（(11.13)・(11.14)・(11.16)）。

2因子をブロックに入れた形では、分散分析表の行が増え、組合せの母平均の推定で有効反復数（伊奈の式・田口の式）にブロックの分散成分 $\sigma_R^2/r$ が加わる（例題 11.3）。2水準の乱塊法が対応のある $t$ 検定と同じになること（例題 11.1）は、統計数理の側から「ブロック内相関を差で消す」構造を問う形でも出しやすい。