確認テストの解答

実験計画法　第11章 §11.4

1. 11.1-1 3原則は反復・無作為化・局所管理である。ブロックを作ることは局所管理に当たり、ブロックの中で実施順を乱数で決めることは無作為化に当たる。各水準を全ブロックで行うことで、各水準が $r$ 回ずつ反復されることにもなる。
2. 11.1-2 構造式から、$\sum_i a_i=0$ を使って

$$\bar x_{\cdot j}=\mu+\gamma_j+\bar\varepsilon_{\cdot j},\qquad \bar x=\mu+\bar\gamma+\bar\varepsilon .$$

よって $u_j=\gamma_j+\bar\varepsilon_{\cdot j}$ とおくと、$\bar x_{\cdot j}-\bar x=u_j-\bar u$ である。これらは互いに独立で、平均 0、分散 $\sigma_R^2+\sigma^2/a$ をもつ。

独立同分布の標本の偏差平方和の期待値は、$(r-1)\times$（分散）である。よって

$$E\Bigl[\sum_j(u_j-\bar u)^2\Bigr]=(r-1)\Bigl(\sigma_R^2+\frac{\sigma^2}{a}\Bigr),\qquad E(S_R)=a(r-1)\Bigl(\sigma_R^2+\frac{\sigma^2}{a}\Bigr)=(r-1)(\sigma^2+a\sigma_R^2).$$ 3. 11.1-3 2つの水準平均は次のとおりである。

$$\bar x_{1\cdot}=\mu+a_1+\bar\gamma+\bar\varepsilon_{1\cdot},\qquad \bar x_{2\cdot}=\mu+a_2+\bar\gamma+\bar\varepsilon_{2\cdot}.$$

2つの誤差平均は異なる誤差の平均なので独立で、ブロック効果の平均とも独立である。よって

$$\mathrm{Cov}(\bar x_{1\cdot},\bar x_{2\cdot})=V[\bar\gamma]=\sigma_R^2/r .$$

また $V[\bar x_{i\cdot}]=(\sigma_R^2+\sigma^2)/r$。したがって

$$V[\bar x_{1\cdot}-\bar x_{2\cdot}]=2\cdot\frac{\sigma_R^2+\sigma^2}{r}-2\cdot\frac{\sigma_R^2}{r}=\frac{2\sigma^2}{r}.$$ 4. 11.1-4 水準数 3、ブロックの自由度 5、誤差の自由度 10 で、$F_0=V_R/V_e=10$ である。点推定は

$$\hat\theta=\frac{\hat\sigma_R^2}{V_e}=\frac{(V_R-V_e)/a}{V_e}=\frac{F_0-1}{a}=3 .$$

(11.15) より $F_0/(1+3\theta)\sim F_{5,10}$。下側の点は $F_{5,10}(0.975)=1/F_{10,5}(0.025)=1/6.619=0.1511$。(11.16) より

$$\frac13\Bigl(\frac{10}{4.236}-1\Bigr)=0.454\ \le\theta\le\ \frac13\Bigl(\frac{10}{0.1511}-1\Bigr)=21.7 .$$ 5. 11.1-5 定理 11.2 から

$$E(S_R)=(r-1)(\sigma^2+a\sigma_R^2),\qquad E(S_e)=(a-1)(r-1)\sigma^2 .$$

足すと

$$E(S_R+S_e)=(r-1)\{\sigma^2+a\sigma_R^2+(a-1)\sigma^2\}=a(r-1)(\sigma^2+\sigma_R^2).$$

自由度 $a(r-1)$ で割って $E(V_e')=\sigma^2+\sigma_R^2$。

1元配置の $F$ 検定は、各データの誤差が互いに独立であることを前提にしている。ブロックを無視したときの「誤差」は $\gamma_j+\varepsilon_{ij}$ である。同じブロックの異なる水準のデータの間には、共分散 $\sigma_R^2$ がある（(11.2)）。このため次の2つのことが起きる。

• 2つの平方和は異なる倍率のカイ二乗の和になり、$S_R+S_e$ は $(\sigma^2+\sigma_R^2)$ 倍のカイ二乗分布に従わない。よって $F_0'$ は $F$ 分布に従わない。
• 分子の期待値にはブロックの分散成分が入らないのに、分母の期待値には入る。よって帰無仮説のもとでも $F_0'$ は小さめになり、検定は保守的（有意になりにくい）になる。

6. 11.2-1 水準数 3、ブロック数 4、総データ数 12 である。合計は次のとおりである。

$$\begin{gathered}T_{1\cdot}=50,\quad T_{2\cdot}=60,\quad T_{3\cdot}=44,\\ T_{\cdot1}=37,\quad T_{\cdot2}=46,\quad T_{\cdot3}=32,\quad T_{\cdot4}=39,\quad T=154 .\end{gathered}$$

修正項は $CT=154^2/12=23716/12=1976.33$、2乗和は $\sum x^2=638+914+492=2044$。

$$\begin{aligned}S_T&=2044-1976.33=67.67,\\ S_A&=\frac{50^2+60^2+44^2}{4}-CT=\frac{8036}{4}-1976.33=2009-1976.33=32.67,\\ S_R&=\frac{37^2+46^2+32^2+39^2}{3}-CT=\frac{6030}{3}-1976.33=2010-1976.33=33.67,\\ S_e&=67.67-32.67-33.67=1.33 .\end{aligned}$$

$73.5>F_{2,6}(0.01)=10.92$、$50.5>F_{3,6}(0.01)=9.78$ なので、因子もブロックも 1% で有意。7. 11.2-2 (a) 差の点推定は $\bar x_{2\cdot}-\bar x_{3\cdot}=(60-44)/4=4$。区間は

$$4\pm t_6(0.025)\sqrt{2V_e/r}=4\pm2.447\sqrt{2\times0.2222/4}=4\pm2.447\times0.3333=4\pm0.82,$$

すなわち $3.18\le\mu(A_2)-\mu(A_3)\le4.82$。

(b) 点推定は $\bar x_{2\cdot}=15$。分散の推定値と等価自由度は

$$\begin{aligned}\widehat V[\bar x_{2\cdot}]&=\frac{V_R+(a-1)V_e}{ar}=\frac{11.222+2\times0.2222}{12}=\frac{11.667}{12}=0.9722,\\ \phi^*&=\frac{11.667^2}{11.222^2/3+0.4444^2/6}=\frac{136.1}{41.98+0.033}=3.24\to3 .\end{aligned}$$

区間は

$$15\pm t_3(0.025)\sqrt{0.9722}=15\pm3.182\times0.986=15\pm3.14,$$

すなわち $11.86\le\mu(A_2)\le18.14$。8. 11.2-3 欠測値を含めた合計は、次のとおりである。

$$\text{総合計}\ T'+y,\qquad \text{水準 1}\ T'_{1\cdot}+y,\qquad \text{ブロック 1}\ T'_{\cdot1}+y .$$

$S_e=S_T-S_A-S_R$ のうち欠測値に依存する部分は

$$S_e(y)=y^2-\frac{(T'_{1\cdot}+y)^2}{r}-\frac{(T'_{\cdot1}+y)^2}{a}+\frac{(T'+y)^2}{ar}+({y}\text{ によらない項}).$$

$y$ で微分して 0 とおくと

$$y-\frac{T'_{1\cdot}+y}{r}-\frac{T'_{\cdot1}+y}{a}+\frac{T'+y}{ar}=0 \iff y\Bigl(1-\frac1r\Bigr)\Bigl(1-\frac1a\Bigr)=\frac{aT'_{1\cdot}+rT'_{\cdot1}-T'}{ar}.$$

$(1-1/r)(1-1/a)=(a-1)(r-1)/(ar)$ なので

$$y=\frac{aT'_{1\cdot}+rT'_{\cdot1}-T'}{(a-1)(r-1)}.$$

2次の係数は $(a-1)(r-1)/(ar)>0$ なので、これは最小点である。

11.2-1 のデータでは、欠測値を除いた合計は次のとおりである（$a=3$、$r=4$）。

$$T'_{1\cdot}=50-12=38,\qquad T'_{\cdot1}=37-12=25,\qquad T'=154-12=142 .$$

よって $y=(3\times38+4\times25-142)/(2\times3)=72/6=12$。この表は因子とブロックの効果がほぼ加法的なので、欠測値の推定が実際の値に一致した。欠測値を埋めて解析するときは、誤差の自由度を $\phi_e=6-1=5$ に減らす。9. 11.2-4 ブロックを区別しないので、誤差平方和は $S_R+S_e=285.2+9.2=294.4$、自由度は $4+12=16$。

$F_0'=23.27/18.40=1.26<F_{3,16}(0.05)=3.24$ なので、因子は有意水準 5% で有意でない。ブロックを立てた解析では $F_0=30.3$ で 1% 有意だったので、日間変動を誤差から分けなかったことで、触媒の差を検出できなくなった。