解析方法

実験計画法　第12章 §12.2　★ 2つの2元表から平方和を計算し、検定の分母を選び、比べる量ごとの分散で推定の区間を作る

平方和の計算

データから平方和を計算するには、次の2つの2元表を作る。

• $A$ と $R$ の2元表。各セルは1次単位の合計 $T_{i\cdot k}=\sum_jx_{ijk}$ である。
• $A$ と $B$ の2元表。各セルは $T_{ij\cdot}=\sum_kx_{ijk}$ である。

修正項を $CT=T^2/N$ として

$$\begin{align*}S_T&=\sum_{i,j,k}x_{ijk}^2-CT,\qquad S_{AR}=\sum_{i,k}\frac{T_{i\cdot k}^2}{b}-CT,\qquad S_{AB}=\sum_{i,j}\frac{T_{ij\cdot}^2}{r}-CT,\\S_A&=\sum_i\frac{T_{i\cdot\cdot}^2}{br}-CT,\qquad S_B=\sum_j\frac{T_{\cdot j\cdot}^2}{ar}-CT,\qquad S_R=\sum_k\frac{T_{\cdot\cdot k}^2}{ab}-CT,\\S_{e(1)}&=S_{AR}-S_A-S_R,\qquad S_{A\times B}=S_{AB}-S_A-S_B,\qquad S_{e(2)}=S_T-S_{AR}-S_B-S_{A\times B}\tag{12.10}\end{align*}$$

とする。$S_{AR}$ は1次単位の間の平方和で、(12.4) の前の3項の和に当たる。$S_{e(2)}$ は、総平方和から1次単位の間の平方和と2次因子に関係する平方和を引いた残りとして求めるのが手早い。

分散分析表は表 12.1 の形になる。1次単位の部分と2次単位の部分の間に線を引き、それぞれの誤差を各部分の最後の行に置くと、どの行をどの誤差で割るかが表の形で分かる。

分散分析後の推定

推定の対象は、第11章と同じく「実験に使った $r$ 個の反復で平均した値」とする。つまり $\bar\gamma$ は推定対象の側に含め、分散には入れない。反復の母集団全体での値を推定するなら、各分散に $\sigma_R^2/r$ を足し、Satterthwaite の近似に $V_R$ を含める。手順は第11章の乱塊法の母平均の区間と同じである。

比べる量ごとの分散と推定量を表 12.2 にまとめる。導出は例題 12.1 と同じで、平均を構造式で書き、どの誤差が消えるかを見る。

上の4行は、分散が1つの誤差だけで決まるので、その平均平方と自由度の $t$ 分布で正確な区間が作れる。たとえば $A$ の水準の差の信頼率 $1-\alpha$ の区間は

$$\bar x_{i\cdot\cdot}-\bar x_{i'\cdot\cdot}\ \pm\ t_{\phi_{e(1)}}(\alpha/2)\sqrt{\frac{2V_{e(1)}}{br}}$$

である。下の2行は、分散に $\sigma_{(1)}^2$ と $\sigma_{(2)}^2$ が係数1ずつで入る。そこで次の命題を使う。

証明

定理 12.2 より、2つの誤差の平均平方の期待値は次のとおり。

$$E(V_{e(1)})=\sigma_{(2)}^2+b\sigma_{(1)}^2,\qquad E(V_{e(2)})=\sigma_{(2)}^2$$

よって $E[(V_{e(1)}-V_{e(2)})/b]=\sigma_{(1)}^2$ である。これに $V_{e(2)}$ を足せば、(12.11) の期待値は $\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2$ になる。

$\hat\theta=\frac1bV_{e(1)}+\frac{b-1}{b}V_{e(2)}$ は独立な平均平方の正の係数の1次結合なので、第11章で導いた Satterthwaite の等価自由度

$$\phi^*=\frac{\bigl(\sum_kc_kV_k\bigr)^2}{\sum_k(c_kV_k)^2/\phi_k}$$

をそのまま使う。ここでは $c_1V_1=V_{e(1)}/b$、$c_2V_2=(b-1)V_{e(2)}/b$ である。共通の因子 $1/b$ は分子と分母で2乗ずつ出て消え、(12.12) を得る。

最後に、推定量の誤差は次の正規変数で、分散は $(\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2)/r$ である。

$$\bar x_{ij\cdot}-\mu(A_iB_j)-\bar\gamma=\bar\varepsilon_{(1)i\cdot}+\bar\varepsilon_{(2)ij\cdot}$$

これは $\hat\theta$ と独立である。右辺は、1次単位の平均 $y_{ik}$ の水準ごとの平均と、1次単位内の偏差の平均の和で、どちらも誤差平方和を作る残差と直交するからである。標準化した量を $\sqrt{\hat\theta/(\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2)}$ で割ると近似的に $t_{\phi^*}$ になり、(12.13) が従う。

Satterthwaite の近似は、係数がすべて正の1次結合では精度がよい。$\phi^*$ の値は2つの項の大きさの比で動く。

• 1次誤差の項 $V_{e(1)}$ が十分大きいと、$\phi^*$ は1次誤差の自由度に近づく。
• 逆なら、$\phi^*$ は $\phi_{e(2)}$ に近づく。

一般に $\phi^*$ は次の範囲の値を取る（上限は Cauchy–Schwarz の不等式による）。

$$\min(\phi_{e(1)},\phi_{e(2)})\le\phi^*\le\phi_{e(1)}+\phi_{e(2)}$$

交互作用をプールしたときの組合せの推定。

$A\times B$ が有意でなく、2次誤差にプールしたとする。プール後の2次誤差を改めて $V_{e(2)}$、自由度を $\phi_{e(2)}$ と書く。このとき組合せの母平均を次のように推定する。

$$\mu(A_iB_j)=\mu+a_i+b_j,\qquad \hat\mu(A_iB_j)=\bar x_{i\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot}-\bar x$$

誤差の部分は

$$\hat\mu(A_iB_j)-\mu(A_iB_j)-\bar\gamma=\bar\varepsilon_{(1)i\cdot}+\bigl(\bar\varepsilon_{(2)i\cdot\cdot}+\bar\varepsilon_{(2)\cdot j\cdot}-\bar\varepsilon_{(2)}\bigr)$$

である（1次誤差の部分は $\bar\varepsilon_{(1)i\cdot}+\bar\varepsilon_{(1)\cdot\cdot}-\bar\varepsilon_{(1)\cdot\cdot}=\bar\varepsilon_{(1)i\cdot}$）。1次誤差の部分と2次誤差の部分は独立で、2次誤差の部分の分散は、繰返し $r$ の2元配置で交互作用をプールしたときの伊奈の式（第5章）と同じ計算で $\sigma_{(2)}^2(a+b-1)/(abr)$ になる。よって

$$V[\hat\mu(A_iB_j)]=\frac{\sigma_{(1)}^2}{r}+\frac{(a+b-1)\sigma_{(2)}^2}{abr} =\frac{\sigma_{(2)}^2+b\sigma_{(1)}^2}{br}+\frac{(b-1)\sigma_{(2)}^2}{abr}.\tag{12.14}$$

右の形の分散成分を、期待値が等しい平均平方で置き換える。

$$\sigma_{(2)}^2+b\sigma_{(1)}^2\ \to\ V_{e(1)},\qquad \sigma_{(2)}^2\ \to\ V_{e(2)}$$

すると不偏推定量

$$\widehat V[\hat\mu(A_iB_j)]=\frac{V_{e(1)}}{br}+\frac{(b-1)V_{e(2)}}{abr}=\frac{aV_{e(1)}+(b-1)V_{e(2)}}{abr}\tag{12.15}$$

を得る。等価自由度は $\phi^*=\{aV_{e(1)}+(b-1)V_{e(2)}\}^2/\{a^2V_{e(1)}^2/\phi_{e(1)}+(b-1)^2V_{e(2)}^2/\phi_{e(2)}\}$ である。(12.14) の右の形は、「$A$ の水準の平均の分散」に「$B$ の効果を足したことによる2次誤差の分の上乗せ」が加わったものと読める。

確認テスト

オリジナル

1. 12.2-1 1次因子（2水準）・2次因子（3水準）・反復4回の分割法で、次の平方和を得た。

$$S_R=9.0,\quad S_A=24.0,\quad S_{e(1)}=6.0,\quad S_B=30.0,\quad S_{A\times B}=2.0,\quad S_{e(2)}=12.0$$

分散分析表を作り、各要因を有意水準 5% で検定せよ。また1次誤差の分散 $\sigma_{(1)}^2$ の点推定値を求めよ。次の値を用いてよい。

$$\begin{gathered} F_{1,3}(0.05)=10.13,\quad F_{3,3}(0.05)=9.28,\quad F_{3,12}(0.05)=3.49,\\ F_{2,12}(0.05)=3.89,\quad F_{2,12}(0.01)=6.93 \end{gathered}$$ 2. 12.2-2 例題 12.2 の (1) の表（プール前、$V_{e(1)}=4.0$、$V_{e(2)}=1.0$）を使う。ある $B_j$ で $\bar x_{3j\cdot}-\bar x_{1j\cdot}=3.0$ であった。$\mu(A_3B_j)-\mu(A_1B_j)$ の分散の推定量を表 12.2 から書き、等価自由度を求めて、信頼率 95% の近似信頼区間を作れ。$t_{11}(0.025)=2.201$ を用いてよい。3. 12.2-3 例題 12.2 のデータを、分割法であることを無視して繰返し3回の2元配置として解析したとする（$R$ も区別しない）。誤差平方和・自由度・誤差分散を求め、2つの主効果の $F_0$ を計算せよ。分割法の解析と比べて何が起きたかを述べよ。$F_{2,24}(0.01)=5.61$ を用いてよい。4. 12.2-4 交互作用をプールした分割法で、$\hat\mu(A_iB_j)=\bar x_{i\cdot\cdot}+\bar x_{\cdot j\cdot}-\bar x$ の分散が (12.14) になることを、2次誤差の部分の分散 $\sigma_{(2)}^2(a+b-1)/(abr)$ を各平均の分散と共分散から計算するところまで含めて導け。