適用例

2026年10月15日14分で読めますAI生成教科書『資格試験』第12章分割法

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実験計画法　第12章 §12.3　★ 生データから2つの2元表を作り、分散分析表・検定・最適条件の区間推定まで通す

前節の手順を1つのデータに最後まで適用する。数値は練習用に作った。

例題 12.3　焼成温度と添加剤の分割法実験 ★

オリジナル§12.1 の例の実験で、製品の強度 $x$ を表 12.3 のとおり得た。焼成温度 $A$ が1次因子、添加剤 $B$ が2次因子で、1日を1反復として3日行った。

表 12.3　分割法の実験の強度データ（各行が1つの1次単位）

$A$	$R$	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$R_1$	28	30	28
	$R_2$	25	24	25
	$R_3$	29	31	30
$A_2$	$R_1$	26	29	29
	$R_2$	29	28	32
	$R_3$	28	30	30
$A_3$	$R_1$	29	32	35
	$R_2$	30	32	34
	$R_3$	33	38	39

$u=x-30$ と変換して平方和を計算し、分散分析表を作って各要因を検定せよ。
強度が最大になる条件を選び、その母平均の点推定値と信頼率 95% の近似信頼区間を求めよ。
同じ $A_3$ の中での2次因子の差 $\mu(A_3B_3)-\mu(A_3B_2)$ について、信頼率 95% の信頼区間を求めよ。

数表は次の値を用いる。

$\begin{aligned}&F_{2,4}(0.05)=6.94,\quad F_{2,4}(0.01)=18.00,\quad F_{4,12}(0.05)=3.26,\quad F_{4,12}(0.01)=5.41,\\ &F_{2,12}(0.05)=3.89,\quad F_{2,12}(0.01)=6.93,\quad t_6(0.025)=2.447,\quad t_{12}(0.025)=2.179.\end{aligned}$

解答

$a=b=r=3$ 、 $N=27$ 。 $u=x-30$ の2つの2元表を作る（平方和は定数を引いても変わらない）。

$T_{i\cdot k}$	$R_1$	$R_2$	$R_3$	$T_{i\cdot\cdot}$
$A_1$	$-4$	$-16$	$0$	$-20$
$A_2$	$-6$	$-1$	$-2$	$-9$
$A_3$	$6$	$6$	$20$	$32$
$T_{\cdot\cdot k}$	$-4$	$-11$	$18$	$3$

$T_{ij\cdot}$	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$T_{i\cdot\cdot}$
$A_1$	$-8$	$-5$	$-7$	$-20$
$A_2$	$-7$	$-3$	$1$	$-9$
$A_3$	$2$	$12$	$18$	$32$
$T_{\cdot j\cdot}$	$-13$	$4$	$12$	$3$

$\sum u^2=331$ 、 $CT=3^2/27=0.333$ 。(12.10) より

$\begin{aligned}S_T&=331-0.333=330.67,\\ S_{AR}&=\frac{(-4)^2+(-16)^2+0^2+(-6)^2+(-1)^2+(-2)^2+6^2+6^2+20^2}{3}-CT\\ &=\frac{785}{3}-0.333=261.33,\\ S_{AB}&=\frac{(-8)^2+(-5)^2+\dots+18^2}{3}-CT=\frac{669}{3}-0.333=222.67,\\ S_A&=\frac{(-20)^2+(-9)^2+32^2}{9}-CT=\frac{1505}{9}-0.333=166.89,\\ S_B&=\frac{(-13)^2+4^2+12^2}{9}-CT=\frac{329}{9}-0.333=36.22,\\ S_R&=\frac{(-4)^2+(-11)^2+18^2}{9}-CT=\frac{461}{9}-0.333=50.89,\\ S_{e(1)}&=261.33-166.89-50.89=43.56,\\ S_{A\times B}&=222.67-166.89-36.22=19.56,\\ S_{e(2)}&=330.67-261.33-36.22-19.56=13.56 .\end{aligned}$

自由度は次のとおりで、合計は26である。

$\phi_R=\phi_A=2,\quad \phi_{e(1)}=4,\quad \phi_B=2,\quad \phi_{A\times B}=4,\quad \phi_{e(2)}=3\times2\times2=12$

要因	平方和	自由度	平均平方	$F_0$	分母
$R$	50.89	2	25.44	2.34	$V_{e(1)}$
$A$	166.89	2	83.44	7.66 $^{*}$	$V_{e(1)}$
$e_{(1)}$	43.56	4	10.89	9.64 $^{**}$	$V_{e(2)}$
$B$	36.22	2	18.11	16.0 $^{**}$	$V_{e(2)}$
$A\times B$	19.56	4	4.889	4.33 $^{*}$	$V_{e(2)}$
$e_{(2)}$	13.56	12	1.130
計	330.67	26

各要因の判定は次のとおり。

$A$ ： $6.94<7.66<18.00$ で 5% 有意。
$R$ ： $2.34<6.94$ で有意でない。
$e_{(1)}$ ： $9.64>F_{4,12}(0.01)=5.41$ で 1% 有意。1次誤差は大きい。
$B$ ： $16.0>6.93$ で 1% 有意。
$A\times B$ ： $3.26<4.33<5.41$ で 5% 有意。

$A\times B$ が有意なので、組合せの平均 $\bar x_{ij\cdot}=30+T_{ij\cdot}/3$ を比べる。最大は $A_3B_3$ で、点推定値は $\hat\mu(A_3B_3)=30+18/3=36.0$ 。命題 12.3 より

$\widehat V[\bar x_{33\cdot}]=\frac{V_{e(1)}+(b-1)V_{e(2)}}{br}=\frac{10.889+2\times1.130}{9}=\frac{13.148}{9}=1.461,$

$\phi^*=\frac{13.148^2}{10.889^2/4+2.259^2/12}=\frac{172.87}{29.64+0.425}=5.75\ \to\ 6 .$

よって区間は次のとおり。

$\begin{gathered}36.0\pm t_6(0.025)\sqrt{1.461}=36.0\pm2.447\times1.209=36.0\pm2.96,\\ \text{すなわち}\quad 33.0\le\mu(A_3B_3)\le39.0.\end{gathered}$ 3. 差の点推定値は $\bar x_{33\cdot}-\bar x_{32\cdot}=(18-12)/3=2.0$ である。同じ1次因子の水準の中の比較なので、分散は $2\sigma_{(2)}^2/r$ で、区間は

$\begin{aligned}&2.0\pm t_{12}(0.025)\sqrt{2\times1.130/3}=2.0\pm2.179\times0.868=2.0\pm1.89,\\ &\text{すなわち}\quad 0.11\le\mu(A_3B_3)-\mu(A_3B_2)\le3.89.\end{aligned}$

結果の読み方

この例では、1次誤差の平均平方 $V_{e(1)}=10.89$ が2次誤差の $V_{e(2)}=1.13$ の約10倍ある。 $\sigma_{(1)}^2$ の点推定値は

$(V_{e(1)}-V_{e(2)})/b=(10.89-1.13)/3=3.25$

で、2次誤差の分散1.13の約3倍になる。焼成ごとの出来具合のばらつきが、同じ焼成の中の試料間のばらつきよりずっと大きい。

もし分割法であることを無視して2次誤差で割ると、分散比は $V_A/V_{e(2)}=83.44/1.130=73.9$ となる。これは1% 点6.93を大きく超え、「高度に有意」に見える。正しい分母 $V_{e(1)}$ で割ると $F_0=7.66$ で、5% でかろうじて有意という結論になる。結論の強さが1桁違う。

推定でも同じ構造が現れる。(3) の $B$ の差の区間の半幅は 1.89 で、2次誤差だけで決まる。(2) の母平均の区間の半幅は 2.96 で、1次誤差の分が加わる。

同じ $A_3$ の中で2つの添加剤のどちらがよいかは、 $V_{e(2)}$ の精度で判定できる。一方、 $A_3B_3$ の強度の水準そのものは、焼成ごとのばらつきの分だけ不確かになる。

図 12.2 は、組合せの平均を1次因子の水準ごとに線で結んだものである。 $A_3$ では添加剤による上昇が大きく、 $A_1$ ではほとんど変わらない。この傾きの違いが交互作用 $A\times B$ で、その検定には1次単位の中の比較だけが使われるので、分母は $V_{e(2)}$ になる。

図 12.2　表 12.3 の組合せの平均。黒の実線が $A_1$ 、青の破線が $A_2$ 、緑の実線が $A_3$ 。線の上下の位置の差（ $A$ の主効果）は1次誤差と比べ、線の傾きの差（ $A\times B$ ）は2次誤差と比べて判定する。

確認テスト

オリジナル

12.3-1 例題 12.3 のデータで、 $\mu(A_3)-\mu(A_1)$ の信頼率 95% の信頼区間を求めよ。 $t_4(0.025)=2.776$ を用いてよい。
12.3-2 例題 12.3 のデータで、同じ $B_3$ での1次因子の2水準の差 $\mu(A_3B_3)-\mu(A_2B_3)$ を考える。その信頼率 95% の近似信頼区間を求めよ。
12.3-3 例題 12.3 の分散分析表で、1次因子を誤って $V_{e(2)}$ で割った検定と、正しく $V_{e(1)}$ で割った検定を比べよ。誤った検定で第1種の誤りの確率が名目より大きくなる理由を期待平均平方で説明せよ。
12.3-4 例題 12.3 のデータで、1次誤差の分散 $\sigma_{(1)}^2$ の点推定値と、 $\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2$ の点推定値を求めよ。また、同じ27回の実験を完全無作為化の2元配置で行ったとき、誤差分散の見込みとして $\sigma_{(1)}^2+\sigma_{(2)}^2$ を使う理由を述べよ。

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