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適用例

2026年10月15日12分で読めますAI生成教科書『資格試験』第14章 測定の繰返し
目次
  1. 結果の読み方
  2. 2元配置で測定を繰り返す場合
  3. 確認テスト
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

実験計画法　第14章 §14.2　★ 数値の表から3段の平方和・2つの FF 検定・母平均の区間・分散成分までを一通り計算する

次の例題で、前節の道具を1つのデータに最後まで適用する。数値は練習用に作った。

例題 14.3　熱処理温度と硬さの実験を2段の誤差で解析する ★

オリジナル鋼の熱処理温度 AA を3水準 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 に変えたとき、硬さがどう変わるかを調べる。各水準で試験片を3回独立に作り（実験は計9回、順序は乱数で決めた）、各試験片の硬さを2回ずつ測定した。測定値から 60 を引いた値を表 14.2 に示す。

表 14.2　硬さの測定値（60 を引いた値）
試験片 11試験片 22試験片 33計 Ti⋅⋅T_{i\cdot\cdot}
A1A_15, 65,\ 67, 77,\ 74, 54,\ 534
A2A_29, 109,\ 1011, 1111,\ 118, 98,\ 958
A3A_312, 1312,\ 1310, 1110,\ 1114, 1414,\ 1474
T=166T=166
  1. 分散分析表を作り、AA と1次誤差 e(1)e_{(1)} をそれぞれ有意水準 5%・1% で検定せよ。
  2. 硬さが最大の水準の母平均の信頼率 95% の信頼区間を求めよ（60 を引いた尺度でよい）。
  3. 最大の水準と A1A_1 の母平均の差の信頼率 95% の信頼区間を求めよ。
  4. σ(1)2\sigma_{(1)}^2 と σ(2)2\sigma_{(2)}^2 の点推定値を求めよ。さらに試験片1個の費用を c1=6c_1=6、測定1回の費用を c2=1c_2=1 とする。推定値を真の値とみなして命題 14.3 の m∗m^* を求め、今回の2回測定が妥当かを論じよ。

数表の値は F2,6(0.05)=5.14, F2,6(0.01)=10.92, F6,9(0.05)=3.37, F6,9(0.01)=5.80F_{2,6}(0.05)=5.14,\ F_{2,6}(0.01)=10.92,\ F_{6,9}(0.05)=3.37,\ F_{6,9}(0.01)=5.80、t6(0.025)=2.447t_6(0.025)=2.447 を用いる。

解答
  1. a=3, r=3, m=2, N=18a=3,\ r=3,\ m=2,\ N=18。∑xijk2=1694, CT=1662/18=27556/18=1530.889\sum x_{ijk}^2=1694,\ CT=166^2/18=27556/18=1530.889。試験片ごとの合計 Tij⋅T_{ij\cdot} は次のとおりである。

A1: 11,14,9,A2: 19,22,17,A3: 25,21,28A_1:\ 11,14,9,\qquad A_2:\ 19,22,17,\qquad A_3:\ 25,21,28

ST=1694−1530.889=163.111,SA=342+582+7426−CT=99966−1530.889=1666−1530.889=135.111,SAR=112+142+92+192+222+172+252+212+2822−CT=33822−1530.889=160.111,Se(1)=SAR−SA=160.111−135.111=25.000,Se(2)=ST−SAR=1694−1691=3.000.\begin{aligned}S_T&=1694-1530.889=163.111,\\ S_A&=\frac{34^2+58^2+74^2}{6}-CT=\frac{9996}{6}-1530.889\\ &=1666-1530.889=135.111,\\ S_{AR}&=\frac{11^2+14^2+9^2+19^2+22^2+17^2+25^2+21^2+28^2}{2}-CT\\ &=\frac{3382}{2}-1530.889=160.111,\\ S_{e(1)}&=S_{AR}-S_A=160.111-135.111=25.000,\\ S_{e(2)}&=S_T-S_{AR}=1694-1691=3.000 .\end{aligned}

自由度は ϕA=2, ϕe(1)=3×2=6, ϕe(2)=9×1=9, ϕT=17\phi_A=2,\ \phi_{e(1)}=3\times2=6,\ \phi_{e(2)}=9\times1=9,\ \phi_T=17。分散分析表は表 14.3 になる。

表 14.3　例題 14.3 の分散分析表（∗∗^{**} は 1% 有意）
要因平方和自由度平均平方F0F_0E(V)E(V)
AA135.111267.55616.21∗∗16.21^{**}σ(2)2+2σ(1)2+6σA2\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2+6\sigma_A^2
e(1)e_{(1)}25.00064.16712.50∗∗12.50^{**}σ(2)2+2σ(1)2\sigma_{(2)}^2+2\sigma_{(1)}^2
e(2)e_{(2)}3.00090.333σ(2)2\sigma_{(2)}^2
計163.11117

判定は次のとおりである。

  • AA：F0=67.556/4.167=16.21≥F2,6(0.01)=10.92F_0=67.556/4.167=16.21\geq F_{2,6}(0.01)=10.92 で 1% 有意。
  • e(1)e_{(1)}：F0=4.167/0.333=12.50≥F6,9(0.01)=5.80F_0=4.167/0.333=12.50\geq F_{6,9}(0.01)=5.80 で 1% 有意。試験片を作る段階のばらつきが、測定のばらつきに比べて無視できない。

したがってプールはしない。2. 最大は A3A_3 で、μ^(A3)=74/6=12.333\hat\mu(A_3)=74/6=12.333。(14.11) より

12.333±t6(0.025)Ve(1)rm=12.333±2.4474.1676=12.333±2.447×0.833=12.333±2.039,\begin{aligned} &12.333\pm t_6(0.025)\sqrt{\frac{V_{e(1)}}{rm}}=12.333\pm2.447\sqrt{\frac{4.167}{6}}\\ &\quad=12.333\pm2.447\times0.833=12.333\pm2.039, \end{aligned}

すなわち [10.29, 14.37][10.29,\ 14.37]（元の尺度では [70.29, 74.37][70.29,\ 74.37]）。3. xˉ3⋅⋅−xˉ1⋅⋅=(74−34)/6=6.667\bar x_{3\cdot\cdot}-\bar x_{1\cdot\cdot}=(74-34)/6=6.667。

6.667±2.4472×4.1676=6.667±2.447×1.179=6.667±2.884,6.667\pm2.447\sqrt{\frac{2\times4.167}{6}}=6.667\pm2.447\times1.179=6.667\pm2.884,

すなわち [3.78, 9.55][3.78,\ 9.55]。差の区間には 60 を引いた影響は無い。4. (14.12) より σ^(2)2=Ve(2)=0.333, σ^(1)2=(4.167−0.333)/2=1.917\hat\sigma_{(2)}^2=V_{e(2)}=0.333,\ \hat\sigma_{(1)}^2=(4.167-0.333)/2=1.917。

m∗=c1σ^(2)2c2σ^(1)2=6×0.3331×1.917=1.043≈1.02.m^*=\sqrt{\frac{c_1\hat\sigma_{(2)}^2}{c_2\hat\sigma_{(1)}^2}}=\sqrt{\frac{6\times0.333}{1\times1.917}}=\sqrt{1.043}\approx1.02 .

m∗m^* はほぼ 1 なので、この測定器は実験のばらつきに比べて十分精度がよく、測定は1回にして浮いた費用で試験片の数を増やす方が、同じ費用で平均の精度を上げることができる。ただし2回測ったことで σ(2)2\sigma_{(2)}^2 を推定でき、測定器の精度が十分であることが確かめられた。次回以降の実験で測定を1回にする根拠が、このデータから得られたことになる。

結果の読み方

例題 14.3 のデータを、18個の測定値を繰返し6の1元配置とみなして解析してみる。誤差平方和は Se(1)+Se(2)=28S_{e(1)}+S_{e(2)}=28、自由度は 15 で、誤差分散は 28/15=1.86728/15=1.867 になる。分散比は F0=67.556/1.867=36.19F_0=67.556/1.867=36.19 と、正しい 16.21 の2倍以上になる。この例では要因の効果が大きいので結論は変わらないが、効果が小さいデータでは、誤った解析だけが有意になることが起きる（例題 14.1 の (3)）。

逆に、試験片ごとの平均 5.5, 7, 4.5; 9.5, 11, 8.5; 12.5, 10.5, 14 を9個のデータとし、繰返し3の1元配置で解析する。水準間平方和は 135.111/2=67.556135.111/2=67.556、誤差平方和は 25/2=12.525/2=12.5 である。分散比は F0=(67.556/2)/(12.5/6)=16.21F_0=(67.556/2)/(12.5/6)=16.21 となり、正しい解析と一致する（確認テスト 14.1-5）。

2元配置で測定を繰り返す場合

2つの母数因子 A,BA,B の全組合せで実験を1回ずつ行い、各実験の試料を何回か測定する場合を考える。水準数を a,ba,b、測定回数を mm とすると、構造式は

xijk=μ+ai+bj+ε(1)ij+ε(2)ijk(14.14)x_{ijk}=\mu+a_i+b_j+\varepsilon_{(1)ij}+\varepsilon_{(2)ijk}\tag{14.14}

である。実験の繰返しが無いので、交互作用 A×BA\times B は1次誤差と区別できない。繰返しのない2元配置（第6章）と同じく交互作用は無いと仮定する（あれば1次誤差に含まれる）。平方和は次のように分かれる。

ST=SA+SB+Se(1)+Se(2),Se(1)=SAB−SA−SB,SAB=∑i,jTij⋅2/m−CT,Se(2)=ST−SAB.\begin{aligned}S_T&=S_A+S_B+S_{e(1)}+S_{e(2)},\\ S_{e(1)}&=S_{AB}-S_A-S_B,\qquad S_{AB}=\sum_{i,j}T_{ij\cdot}^2/m-CT,\\ S_{e(2)}&=S_T-S_{AB}.\end{aligned}

自由度は a−1, b−1, (a−1)(b−1), ab(m−1)a-1,\ b-1,\ (a-1)(b-1),\ ab(m-1) である。定理 14.2 と同じ計算で

E(VA)=σ(2)2+mσ(1)2+bmσA2,E(VB)=σ(2)2+mσ(1)2+amσB2,E(Ve(1))=σ(2)2+mσ(1)2,E(Ve(2))=σ(2)2(14.15)\begin{gathered} E(V_A)=\sigma_{(2)}^2+m\sigma_{(1)}^2+bm\sigma_A^2,\qquad E(V_B)=\sigma_{(2)}^2+m\sigma_{(1)}^2+am\sigma_B^2,\\ E(V_{e(1)})=\sigma_{(2)}^2+m\sigma_{(1)}^2,\quad E(V_{e(2)})=\sigma_{(2)}^2 \end{gathered}\tag{14.15}

となる。2つの要因は、どちらも1次誤差の平均平方 Ve(1)V_{e(1)} で割って検定する。

確認テスト

オリジナル

  1. 14.2-1 3水準の因子 AA について各水準で実験を2回行い、各実験の試料を3回測定して次のデータを得た。分散分析表を作り、e(1)e_{(1)} を有意水準 5% で検定せよ。その結果に応じてプールの判断をし、AA を有意水準 5% で検定せよ。プールしない場合の判定とも比べよ。
    実験 11実験 22
    A1A_13, 5, 43,\ 5,\ 44, 6, 54,\ 6,\ 5
    A2A_26, 7, 56,\ 7,\ 55, 7, 65,\ 7,\ 6
    A3A_34, 4, 64,\ 4,\ 65, 3, 45,\ 3,\ 4
    数表の値は F3,12(0.05)=3.49, F2,3(0.05)=9.55, F2,15(0.05)=3.68, F2,15(0.01)=6.36F_{3,12}(0.05)=3.49,\ F_{2,3}(0.05)=9.55,\ F_{2,15}(0.05)=3.68,\ F_{2,15}(0.01)=6.36 を用いる。
  2. 14.2-2 14.2-1 でプールした後の解析で、μ(A2)\mu(A_2) と μ(A2)−μ(A3)\mu(A_2)-\mu(A_3) の信頼率 95% の信頼区間を求めよ。t15(0.025)=2.131t_{15}(0.025)=2.131 を用いる。
  3. 14.2-3 AA を3水準、BB を4水準とし、全組合せで実験を1回ずつ行い各試料を2回測定した。SA=40, SB=30, Se(1)=12, Se(2)=6S_A=40,\ S_B=30,\ S_{e(1)}=12,\ S_{e(2)}=6 を得た。自由度と期待平均平方を書いて分散分析表を作り、A, B, e(1)A,\ B,\ e_{(1)} を有意水準 5%・1% で検定せよ。数表の値は F2,6(0.05)=5.14, F2,6(0.01)=10.92, F3,6(0.05)=4.76, F3,6(0.01)=9.78F_{2,6}(0.05)=5.14,\ F_{2,6}(0.01)=10.92,\ F_{3,6}(0.05)=4.76,\ F_{3,6}(0.01)=9.78、F6,12(0.05)=3.00, F6,12(0.01)=4.82F_{6,12}(0.05)=3.00,\ F_{6,12}(0.01)=4.82 を用いる。
  4. 14.2-4 4水準の因子 AA の各水準で実験を1回だけ行い、その試料を3回測定した（r=1, m=3r=1,\ m=3）。AA と e(2)e_{(2)} の自由度と期待平均平方を求めよ。また、VA/Ve(2)V_A/V_{e(2)} による検定が要因の効果の検定にならない理由を述べよ。

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