この章のまとめと試験での出方

実験計画法　第14章 §14.3

測定を繰り返す実験では、同じ実験から出た測定値が1次誤差を共有するので、データの構造式に1次誤差 $\varepsilon_{(1)ij}$ と2次誤差 $\varepsilon_{(2)ijk}$ の2つの誤差項を置く。総平方和は、水準間・実験間・測定間の3つに直交分解される。期待平均平方は次のとおりである。

$$E(V_A)=\sigma_{(2)}^2+m\sigma_{(1)}^2+rm\sigma_A^2,\qquad E(V_{e(1)})=\sigma_{(2)}^2+m\sigma_{(1)}^2,\qquad E(V_{e(2)})=\sigma_{(2)}^2$$

この形から次の手順が決まる。

1. 検定：要因は $V_{e(1)}$ で割って検定する。$V_{e(1)}/V_{e(2)}$ で1次誤差の有無を調べ、有意でなければ2つの誤差をプールする。
2. 推定：水準の母平均の分散は $E(V_{e(1)})/(rm)$ に等しい。よって1次誤差の平均平方を使った $t$ 分布の正確な信頼区間が得られる。
3. 分散成分と測定回数：分散成分は $\hat\sigma_{(2)}^2=V_{e(2)},\ \hat\sigma_{(1)}^2=(V_{e(1)}-V_{e(2)})/m$ で推定する。費用 $c_1,c_2$ のもとで測定回数の最適値は $m^*=\sqrt{c_1\sigma_{(2)}^2/(c_2\sigma_{(1)}^2)}$ である。

統計応用（理工学）の5問の中で、測定の繰返しだけを主題にした大問が出る可能性は高くないが、2段の誤差を持つ期待平均平方は、分割法（第12章）・乱塊法（第11章）・変量模型の分散成分の推定と共通の道具で、次のような小問の連鎖の一部として現れうる。

1. 数値の表 → 修正項と3段の平方和 → 分散分析表 → 1次誤差の検定とプールの判断 → 要因の検定 → 最適水準の母平均の区間。
2. 構造式 → データの共分散（同じ実験の測定値の相関）→ $E(S_{e(1)})$ の導出 → 検定の分母が $V_{e(1)}$ である理由 → 全データを繰返しとみなしたときの誤差分散の期待値と誤りの程度。
3. 分散成分の点推定 → 水準平均の分散を実験回数と測定回数の関数として書く → 費用の制約のもとで最小化して $m^*$ → 数値を入れて整数の測定回数を選ぶ。

いずれも、期待平均平方の表を構造式から自分で導けることが出発点になる。期待平均平方を書けば、検定の分母・推定の分散・分散成分の推定量がすべてそこから読み取れる。