平均・中央値・最頻値の関係

(i) $x_i-c=(x_i-\bar x)+(\bar x-c)$ と分けて2乗し、和をとる。

$$Q(c)=\sum_i(x_i-\bar x)^2+2(\bar x-c)\sum_i(x_i-\bar x)+n(\bar x-c)^2=S_{xx}+n(\bar x-c)^2.\tag{2.4}$$

中央の交差項は命題 2.2 により0である。右辺の第2項は $c=\bar x$ のときだけ0で、それ以外では正なので、最小値は $c=\bar x$ でとる $S_{xx}$ である。

(ii) $A(c)$ は $c$ の連続関数で、データ点の間では1次関数である。$c$ がどのデータ点とも一致しないとき、$c$ より小さいデータの個数を $m_-$、大きいデータの個数を $m_+$ とすると、$c$ より小さい $x_i$ については $\lvert x_i-c\rvert =c-x_i$ が傾き $+1$ で、大きい $x_i$ については $\lvert x_i-c\rvert =x_i-c$ が傾き $-1$ で変化するので

$$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} c}=m_--m_+$$

である。$c$ を左から右へ動かすと $m_-$ は増え $m_+$ は減るので、傾きは負から正へ単調に増える。傾きが負の区間（$m_-<m_+$、つまり $c$ より下のデータが半分未満）では $A$ は減少し、傾きが正の区間では増加する。$n$ が奇数なら、$c<x_{((n+1)/2)}$ で $m_-\le (n-1)/2<m_+$、$c>x_{((n+1)/2)}$ で $m_->m_+$ となるので、最小は真ん中の値 $x_{((n+1)/2)}=\tilde x$ でとる。$n$ が偶数なら、$x_{(n/2)}<c<x_{(n/2+1)}$ で $m_-=m_+=n/2$ となり傾きが0なので、この区間全体（端点を含む）で $A$ は一定の最小値をとる。中央値 $\tilde x$ はこの区間の中点である。

(iii) $N(c)=n-\#\{i:x_i=c\}$ なので、$N(c)$ を最小にすることは $c$ と一致するデータの個数を最大にすることと同じで、それは最頻値の定義そのものである。

1つめの不等号は、$\bar x-\tilde x=\frac1n\sum_i(x_i-\tilde x)$ に三角不等式 $\lvert \sum a_i\rvert \le\sum\lvert a_i\rvert$ を使ったものである。2つめの不等号は、定理 2.3(ii) により $A(c)$ が $c=\tilde x$ で最小になることから、$A(\tilde x)\le A(\bar x)$ として得られる。3つめは、$d_i=\lvert x_i-\bar x\rvert$ とおいて $0\le\frac1n\sum_i(d_i-\bar d)^2=\frac1n\sum_id_i^2-\bar d^{\,2}$（$\bar d=\frac1n\sum_id_i$）を使う。右辺の第1項は $\hat\sigma^2$ なので $\bar d^{\,2}\le\hat\sigma^2$、すなわち $\bar d\le\hat\sigma$ である。